精品解析：辽宁省大连王府高级中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

大连王府高级中学2024-2025学年第一学期第二学段考试 高一（数学）试题 命题：艾光明 校对：艾光明 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数值域以及一元二次不等式解法求出，即可得出结论. 【详解】由题意可知， 易知， 所以. 故选：C 2. 若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式法求解. 【详解】解：因为，成立， 所以，解得， 故选：B 3. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值可判断AB错误，分别讨论的符号利用不等式性质可得C正确，作差法计算可得D错误. 【详解】对于A，当时，可知不成立，即A错误， 对于B，不妨取，此时满足，但不成立，即B错误； 对于C，当时，此时， 易知，所以，即 当，时，显然成立； 当，时，可得，易知，即， 当其中一个为0时，显然成立，综上可得C正确； 对于D，易知， 易知，所以，可得， 即D错误. 故选：C 4. 数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法及函数的奇偶性的定义，结合赋值法可求得结果. 【详解】由题可知，函数定义域为，即， 所以， 所以为奇函数，排除选项A； 当时，，排除选项B； 当时，分母，分子，此时函数值小于零，排除选项C； 故选：D. 5. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ） A. 据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平均数以及方差计算公式可得，由平均数性质可得A正确，由方差性质计算可得B错误，计算易知C正确，结合平均数与方差公式计算可得D正确. 【详解】依题意可得； 对于A，易知，即A正确； 对于B，依题意， 所以数据的方差为，即B错误； 对于C，由可得，即C正确； 对于D，由可得，‘ 即， 可得，即D正确. 故选：B 6. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数定义及其单调性可得符合题意，可得结论. 【详解】由是幂函数可得，解得或； 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数,不合题意， 即可得“幂函数在上是减函数”的等价条件为“”； 而“”仅是“或”的一部分， 因此“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C 7. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数图象可得，即，再由二次函数图象关于对称，可得，求得可得结果. 【详解】由关于x的方程有4个不同的实根，得函数与图象有4个交点； 作出函数与的图象，如图： 观察图象得，， 由，得，即，则， 而二次函数图象关于对称，则，因此， 由，解得或，则， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合求解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（ ） 图一 2019～2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度 图二为2023年全国居民人均消费支出及其构成 A. 2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B. 2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C. 2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D. 2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60% 【答案】AD 【解析】 【分析】根据统计图表及其数据逐个选项进行分析可得结论. 【详解】对于A，根据条形图可知，2019~2023年全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，逐年递增，即A正确； 对于B，根据折线图可知2020年、2022年增长速度在下降，即B错误； 对于C，根据扇形图可知，2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用为2904元，比衣着、生活用品及服务等要多，不是最少的，即C错误； 对于D，2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比为：，不足60%，即D正确. 故选：AD 10. 已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A、B，利用基本不等式，结合题目中的等式与一元二次不等式，可得答案； 对于C、D，整理等式，可得所求代数式的函数解析式，利用基本不等式与不等式性质，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得， ，可得，， 解得或，综上可得，当且仅当，等号成立， 所以的最大值为，故A错误； 对于B，由，则， 由，则，解得， ，可得， ，解得或， 综上可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，由，则，由，则，解得， 由题意可得，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D，由A可知，当且仅当时，等号成立，且， ，由，则，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 11. 若，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 有无数个零点 D. 值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据取整函数定义一一判断即可. 【详解】因为，所以，， 所以，故A错误； 当时，，所以， 所以在上单调递增，故B正确； 当时，，则，所以有无数个零点，故C正确； 由取整函数定义可得，所以， 所以函数的值域为，故D正确； 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，双空题前空2分，后空3分，共15分） 12. 已知函数，则__________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数解析式从内向外分别代入计算可得结果. 【详解】易知， 所以. 故答案为：2 13. 2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是______（写出一个满足条件的值即可）． 【答案】7（8，9，10均可） 【解析】 【分析】按照百分位数的定义计算即可． 【详解】7位同学成绩如下：6，7，7，8，8，9，10，其第25百分位数为第三个数据，为7， 要使第25百分位数保持不变，不小于7就可以． 故答案为：7（8，9，10均可）． 14. 定义其中表示中较大的数．对，设，函数，则：（1）__________；（2）若，则实数x的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数新定义分别判断计算可得，再由定义得出函数的解析式并判断出其单调性，解不等式可得结果. 【详解】当时，， 所以，， 所以； 因为，所以， 当时，解得， 当时，即，解得或； 所以当时，； 当时，，，可得， 当时，，，可得； 当时，，，可得； 可得， 因为在上单调递增，在上单调递增，且函数在处连续，因此在上单调递增， 要使，则，解得， 所以实数x的取值范围是 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数新定义得出函数的解析式，再由分段函数单调性解不等式可得结果. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1）77 （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可. （2）利用对数的运算性质计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，求的最小值； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】（1） 当时，若，可得， 即算术平均数与几何平均数的关系为，当且仅当时，等号成立. （2） （3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大， 【解析】 【分析】（1）由题意得，当，，即可求解； （2）由（1），当时，，即可求解； （3）设小正方形的边长为，得到盒子的容积为则，利用不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中，当，可得， 可得时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问3详解】 解：设小正方形的边长为，则盒子高为，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 17. 已知奇函数的定义域为，其中为指数函数，且过定点． （1）求函数与的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）设出指数函数解析式，根据过的点坐标可求其解析式，再由的奇偶性可得的值，求得解析式； （2）判断出函数的单调性，解不等式将问题转化为恒成立，分离参数结合二次函数性质可得答案. 【小问1详解】 设，又过定点，可得， 解得或（舍）， 所以； 又为奇函数，所以， 整理可得，可得； 即. 【小问2详解】 易知，由于在上单调递增， 所以在上单调递减， 要使任意的，不等式恒成立， 即恒成立即可， 又为奇函数，所以恒成立， 结合在上单调递减可得在上恒成立； 即在上恒成立，所以即可； 当时，取得最小值1，所以； 所以实数k的取值范围为. 18. 已知函数为奇函数． （1）求数k的值； （2）设，证明：函数在上是减函数； （3）设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知， 取，且， 则， 显然，所以， 可得， 因此函数在上是减函数. （3）在上单调递增， 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性定义可求得； （2）根据函数单调性定义化简计算可得结论； （3）利用复合函数单调性可判断在上单调递增，再根据零点存在定理解不等式可得实数m的取值范围． 【小问1详解】 由函数为奇函数可得， 即，所以， 可得，解得； 又当时，无意义，舍去； 经检验，时，为奇函数，满足题意； 可得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得函数在上是减函数， 根据复合函数单调性可知在上单调递增， 又因为为单调递增， 所以函数在上的单调递增； 若在上只有一个零点，可得， 即，解得； 可得实数m的取值范围为． 19. 设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形，理由：函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形． 理由如下：假设，使得，解得，与矛盾， 所以函数的图象不是关于原点的弱中心对称图形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据反证法，以及“弱对称中心图形”定义即可证明； （3）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解. 【小问1详解】 由，解得． 当时，，对于任意的， 都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增，所以， 所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， ， 令，则在上单调递增，所以， 所以． 综上可知，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连王府高级中学2024-2025学年第一学期第二学段考试 高一（数学）试题 命题：艾光明 校对：艾光明 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ） A. 据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 6. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（ ） 图一 2019～2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度 图二为2023年全国居民人均消费支出及其构成 A. 2019~2023年全国居民人均可支配收入逐年递增 B. 2019~2023年全国居民人均可支配收入增长速度逐年递增 C. 2023年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐支出费用最少 D. 2023年全国居民人均消费支出中食品烟酒和居住支出费用之和占比不足60% 10. 已知正实数x，y满足，下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 11. 若，表示不超过的最大整数，例如：，，已知函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 有无数个零点 D. 值域为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，双空题前空2分，后空3分，共15分） 12. 已知函数，则__________ 13. 2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是______（写出一个满足条件的值即可）． 14. 定义其中表示中较大的数．对，设，函数，则：（1）__________；（2）若，则实数x的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2） 16. 通过前面一个月的学习，大家认识了一个朋友：基本不等式.即当时有（当且仅当时不等式取“＝”）.我们称为正数a，b的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论文中首次提出.均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等. （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）利用你写出的式子，求的最小值； （3）如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子.问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 17. 已知奇函数的定义域为，其中为指数函数，且过定点． （1）求函数与的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 18. 已知函数为奇函数． （1）求数k的值； （2）设，证明：函数在上是减函数； （3）设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围． 19. 设函数的定义域为，如果，都有，满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，满足，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． （1）若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； （2）判断函数的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由； （3）若函数的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $