期末考试押题卷01（考试范围：人教A版2019必修第一册、数列）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

期末考试押题卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册、数列 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，直线的斜率为， 又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为. 故选：C. 2．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：C. 3．在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可作图如下： 由为上靠近的三等分点，则， . 故选：B. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 故选：C. 5．在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】由和是方程的两实数根，则， 由等差数列性质可得，故. 故选：C. 6．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆，左焦点，下顶点， 设，， 的中点为，，． ，． 由，， 两式相减得， 可化为， 得，即，两边平方得， 化为：，解得， 又，解得． 故选：A． 7．已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的半焦距为，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为， 则直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示， 则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的离心率， 故选：D. 8．如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 则. 设平面的法向量为，由， 取，可得， 所以为平面的一个法向量. 由题意可知，平面，则， 令，可得，令，可得， 所以点的轨迹为线段，且交于点，交于点， 所以点的轨迹长度为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则或 D．直线始终过定点 【答案】BD 【解析】对于A，当时，直线：， 故斜率，则倾斜角为120°，故A错误， 对于B，等价于，解得，故B正确， 对于C，若，且，故，故C错误， 对于D，：变形为：， 令且，解得，故恒过，故D正确， 故选：BD. 10．在空间直角坐标系中，点，，，则下列结论正确的有（   ） A．点关于轴的对称点的坐标为 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由已知，，， 则点关于轴的对称点的坐标为，A选项正确； ，B选项正确； ，，即，即与不垂直，C选项错误； ，D选项正确； 故选：ABD. 11．已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为分别交轴于两点，设，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．四点共圆 C． D． 【答案】ABC 【解析】如图，对于A，由题，为抛物线上一点，则， 过点的切线方程为， 联立方程组消去得， 令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为， 同理可得过点切线斜率为，所以，故A正确. 对于B，设， 所以过点的切线方程为，令，可得，即， 又，所以，则， 所以，即，同理可得， 则四点共圆，故B正确； 对于C，因为，可得，故， 联立方程组解得，即， 则，所以，故C正确. 对于D，由， 可得， 若，可得， 则，所以或， 设直线，代入抛物线方程， 可得，可得， 所以当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为， 又当直线与轴垂直时，而直线不一定过焦点或与轴垂直，故D错误； 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，圆心坐标为，半径为，则圆上恰有三个点到直线的距离为1， 则使得圆心到直线的距离2，即，如图所示： 解得. 故答案为： 13．某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 【答案】 64 126 【解析】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号， 第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号， 第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号， 第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号， 第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号， 显然第六次报数时向前一步的编号为， 因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为， 所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为. 故答案为：64；126 14．已知球是棱长为3的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体的棱上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如下图所示： 正四面体的棱长为3，设其内切球的球心为，连接并延长交底面于点， 易知点为的中心，且平面； 连接并延长交于点，则点为的中点；且； 则，； 因为平面，平面，所以； 可得， 易知的面积为； 正四面体体积为； 设正四面体的内切球的半径为，则； 即，解得； 可知， 易知，又是球的一条直径，所以； 因此； 易知当为该正四面体的顶点时，此时，取得最大值； 当为该正四面体棱的中点时，此时，取得最小值； 因此的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线和圆． (1)求与直线垂直且经过圆心的直线的方程； (2)求与直线平行且与圆相切的直线的方程． 【解析】（1）设与直线垂直的直线的方程为． 圆可化为，圆心为， 因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线的方程为． （2）设与直线平行的直线的方程为． 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 所以或10， 故所求直线的方程为或． 16．（15分） 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．    (1)证明：A1C1⊥B1C； (2)求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小． 【解析】（1）证明：连接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝，AB＝BB1＝1，所以AB1＝， 在△BCB1中，∠B1BC＝，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1， 所以在△ACB1中，AB1＝，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2， 所以AC⊥B1C． 又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中， 1， 所以A1C1⊥B1C． （2）方法1 连接AB1，A1B，交于点O，连接BC1，连接CO． 在边长都为1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中点， 又因为B1C＝AC＝1， 所以CO⊥AB1． 因为四边形B1BCC1边长都为1，所以B1C⊥BC1． 由(1)知B1C⊥A1C1． 又因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1平面A1BC1， 所以B1C⊥平面A1BC1． 因为A1B平面A1BC1，所以B1C⊥A1B． 因为在边长都为1的四边形A1ABB1中，A1B⊥AB1． 又因为AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面AB1C， 所以A1B⊥平面AB1C． 因为CO平面AB1C，所以CO⊥A1B． 又因为A1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面A1ABB1， 所以CO⊥平面A1ABB1， 所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角． 在边长都为1的四边形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝． 因为BC＝1，所以，所以∠CBO＝， 所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为． 方法2 取AB1中点O，连接BO，CO． 在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1， 在边长都为1的正方形A1ABB1中，BO＝，A1B＝． 又因为AC2＋B1C2＝A1B2， 所以△ACB1为直角三角形，所以CO＝． 在△ACB1中，CO2＋BO2＝BC2， 所以CO⊥BO． 又因为AB1∩BO＝O，AB1，BO 平面A1ABB1， 所以CO⊥平面A1ABB1， 所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角． 在边长都为1的四边形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝． 因为BC＝1，所以，所以∠CBO＝， 所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的长为，求直线的方程． 【解析】（1）设动点P的坐标为， 则由点，动点P满足，得， 化简得， 即动点P的轨迹C的方程； （2）轨迹C为圆心为，半径为2的圆， 由于直线与轨迹C交于E，F两点， 故到的距离为， 则，解得， 此时，满足直线与轨迹C交于E，F两点， 故直线的方程为或， 即或. 18．（17分） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线DE过定点，并求出定点坐标； (3)在（2）的条件下，求的最大值. 【解析】（1）设，由，得焦点，则， 由的面积为，得，解得， 而点在抛物线上，则，即， 于是， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，椭圆：的上顶点，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 由消去整理得， ，由，得， 而，则， 即，整理得， 则， 化简得，而，解得， 所以直线：恒过定点. （3）由（2）知，， 则 ， 令，则， 当且仅当，即时取等号，而， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 19．（17分） 对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”． (1)已知数列是“优美数列”，求实数的取值范围； (2)若首项为1的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围； (3)已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由． 【解析】（1）由题意，则，可得； （2）由题意，令的公差为，且， 则，可得，显然时不等式恒成立， 当时，恒成立，而，故， 综上，. （3）存在，数列是“优美数列”，理由如下： 令的公比为，则，故，显然， 所以最小项为， 同理对于最小项为， 综上，，故或， 所以或或或， 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，显然，不是“优美数列”； 当，则，此时，令， 所以， 故单调递增，且，此时满足“优美数列”； 综上，时是“优美数列”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试押题卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册、数列 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 6．已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，（    ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则或 D．直线始终过定点 10．在空间直角坐标系中，点，，，则下列结论正确的有（   ） A．点关于轴的对称点的坐标为 B． C． D． 11．已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为分别交轴于两点，设，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．四点共圆 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 13．某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 14．已知球是棱长为3的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体的棱上的动点，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知直线和圆． (1)求与直线垂直且经过圆心的直线的方程； (2)求与直线平行且与圆相切的直线的方程． 16．（15分） 如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．    (1)证明：A1C1⊥B1C； (2)求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的长为，求直线的方程． 18．（17分） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线DE过定点，并求出定点坐标； (3)在（2）的条件下，求的最大值. 19．（17分） 对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”． (1)已知数列是“优美数列”，求实数的取值范围； (2)若首项为1的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围； (3)已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$