重难点01 数列的通项公式（十二大题型）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

重难点01 数列的通项公式 【题型归纳目录】 题型1：观察法 题型2：叠加法 题型3：叠乘法 题型4：待定系数法 题型5：同除以指数 题型6：取倒数法 题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 题型8：周期数列 题型9：前n项积型 题型10：因式分解型求通项 题型11： 题型12：取对数法 【方法技巧与总结】 类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【典例例题】 题型1：观察法 【典例1-1】（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，，， 可得的一个通项公式为． 故选：D． 【典例1-2】（2024·高三·全国·专题练习）数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将，，，可以写成成，，， 所以的通项公式为. 故选：C 【变式1-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【解析】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 【变式1-2】（2024·高二·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为， 且每项为，故数列的一个通项公式为. 故选：D. 题型2：叠加法 【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（   ） A．4 B． C．13 D． 【答案】A 【解析】依题意，在数列中，，， 即， 所以 ． 故选：A 【典例2-2】（2024·高三·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以由递推公式可得 当时，等式两边分别相加，得 ， 因为，则，而满足上式，所以， 即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，当时，， 当时，，因为，所以的最小值为. 故选：A. 【变式2-1】（2024·高三·河南安阳·阶段练习）已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得 ， 累加可得， ，所以， 故. 故选：D. 【变式2-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 【答案】B 【解析】数列中，，， 则. 故选：B 【变式2-3】（2024·高三·山东淄博·期中）已知函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，， 令，得， 则， 所以，，，， 上述式子累加可得， ， 则，所以. 故选：B. 题型3：叠乘法 【典例3-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由（），得， 两式相减得（）． 又因为，，所以，可得（）， 即（）． 易知，即满足上式， 所以（）． 故选：C 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 【变式3-1】（2024·高二·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以，，，，（，）， 累乘可得，又，得. 设①， 则②， ①-②得， ， ， . 故选：C. 【变式3-2】（2024·高二·四川达州·期中）在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为任意有， 所以，，，……，， 上式累乘可得：， 因为，所以， 设数列的前项和为， ， ， ， 两式相减可得：， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，，． 由累乘法，得， 即， 又，所以． 故选：C． 【变式3-4】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 故选：B 题型4：待定系数法 【典例4-1】（2024·高二·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，知：且()， 而，， ∴是首项、公比都为3的等比数列，即， 故选：C 【典例4-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 【变式4-1】（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【解析】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 故答案为：；. 【变式4-2】（2024·高二·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】/ 【解析】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，所以，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 【变式4-5】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和 ． 【答案】 【解析】因为， 假设存在实数，使得， 即，则，解得， 即，且， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 可得，即， 所以． 故答案为：. 题型5：同除以指数 【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 【变式5-1】（2024·高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式5-2】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【解析】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 【变式5-3】（2024·高二·四川成都·阶段练习）在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ． 【答案】 【解析】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则， . 故答案为：；. 【变式5-4】（2024·高二·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【答案】 【解析】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则. 故答案为：. 题型6：取倒数法 【典例6-1】（2024·高二·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【答案】19 【解析】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 【典例6-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【答案】 【解析】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 【典例7-1】（2024·高三·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【典例7-2】（2024·高二·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 【答案】 【解析】数列的前项和，当时，， 整理得，即，显然当时，数列是常数列， 因此，所以. 故答案为： 【变式7-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【解析】当时，， 相减可得，所以， 又，所以 故为等差数列，且公差为，首项为2， 故，， 故答案为： 【变式7-2】（2024·高二·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式7-3】（2024·高二·天津东丽·阶段练习）在数列中，，且，则 【答案】 【解析】由， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 所以， 当时，， ， 当时，满足上式， 综上所述， 故答案为：. 【变式7-4】（2024·高三·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则 . 【答案】 【解析】因为①， 当时，②， ①②得，所以， 所以. 故答案为： 【变式7-5】（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【解析】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 得到对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 题型8：周期数列 【典例8-1】（2024·高二·天津河西·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】，，， ，，……， 所以数列的周期为，. 故选：C 【典例8-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以数列的周期为3，所以. 故选：C. 【变式8-1】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【解析】因为，， 令，则； 令，则； 令，则； 可知数列为周期为的周期数列，所以. 故选：A. 【变式8-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【答案】C 【解析】依题意，， 因此数列是以2为周期的周期数列， 所以该数列前2024项的和为. 故选：C 【变式8-3】（2024·高三·河北邢台·期中）在数列中，若，则下列数是中的项的是（   ） A．4 B．4 C． D．3 【答案】B 【解析】由，， ，可知以3为周期，依次为，显然B正确. 故选：B 题型9：前n项积型 【典例9-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知非零数列的前项和为，为数列的前项积，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其前项和； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）数列中，由，得，， 由为非零数列，得，，又当时，， 则，， 在中，当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，. （2）由（1）得，， 则，时，， 当时，，不满足上式， 所以数列的通项公式. 【典例9-2】（2024·高三·山东青岛·期中）记为正项数列的前项积，，则 . 【答案】2025 【解析】数列的各项均为正，当时，，解得， 由，得当时，， 即，因此， 数列是以为首项，公差为的等差数列，， 所以. 故答案为：2025 【变式9-1】（2024·高三·河南安阳·阶段练习）设为数列的前项积，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得，所以当时，有， 故由题意两式相除得， 因为，则， 因此当时，，即， 则， 也符合． 所以. 故答案为： 【变式9-2】（2024·高二·云南曲靖·阶段练习）设正项等比数列的首项，前项和为，且 . (1)求数列的公比. (2)若是数列的前项积，求的最大值. 【解析】（1）若，则，则， 这与已知条件矛盾，故， 当时，， ，即， . （2）数列为等比数列，，公比，         所以当时，即，               此时对应的项为满足前n项积为最大值， 解得，又，即前11项或前10项乘积最大， 所以的最大值为. 【变式9-3】（2024·高三·全国·专题练习）记为数列的前项积，已知，，求数列的通项公式 【解析】由题意可得，因为， 所以，即， 所以． 又，，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列，. 题型10：因式分解型求通项 【典例10-1】（2024•安徽月考）已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【解析】解：（Ⅰ），， 又数列为正项数列， ， ①当时，数列不是等比数列； ②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：， ， ． 【典例10-2】（2024•怀化模拟）已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【解析】解：（1），，， 可得， 则， 数列为首项为1，公比为2的等比数列， 可得； ， ，； （2）数列为等差数列，理由：， 则数列为首项为0，公差为1的等差数列； （3）， 前项和为． 【变式10-1】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【解析】证明：由， 变形得：， 由于为正项数列，， 利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：， 从而． 【变式10-2】（2024·福建福州·高二校考期末）已知数列满足时，，且. (1)求数列的通项公式； 【解析】（1）由整理化简可得， 即， 又因为，所以， 所以，即， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列 所以. 即数列的通项公式为 题型11： 【典例11-1】（2024·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； 【解析】（1）由，得， ，，， ，则是首项为4，公比为2的等比数列， 由是首项为4，公比为2的等比数列， 则， ，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， ， 则； 【典例11-2】（2024·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，，. (1)设，求证：是等比数列； (2)设，求证：是等比数列. 【解析】（1）证明：由可得时，， ，则； 当时，， 即，故， 即，由，可知， 故，故是等比数列； （2）由（1）可得，故， 所以，即为等差数列，首项为，公差为， 所以，即， 所以，则， 故是等比数列. 【变式11-1】（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项公式． 【解析】化为，即， ，可得或，（所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，则， 累加法可得：， 又符合上式，故. 【变式11-2】（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足递推关系：，且，，求数列的通项公式. 【解析】由于且，，故数列发生函数为 于是数列的通项为：，. 题型12：取对数法 【典例12-1】（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列满足，，设的前项积为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）由题意知，为正项数列的前项的积，且， 当时，，所以，解得； 又①，②， ②÷①得，，即， 所以，即， 所以，则， 结合，可知数列是常数列， 所以，所以，所以． （2）由（1）可得， 则， 又， 所以， 所以． 【典例12-2】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足，． (1)若且数列是递增数列，求实数k的取值范围； (2)若且，求数列的通项公式． 【解析】（1）由，知，故． 当时，显然，且， 故与同号，故对一切都有． 综上所述：实数k的取值范围是． （2）若且，则，由，知， 两边取对数：，且， 故，故， 故数列的通项公式为． 【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式． 【解析】对任意的，， 因为，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 数列的通项公式 【题型归纳目录】 题型1：观察法 题型2：叠加法 题型3：叠乘法 题型4：待定系数法 题型5：同除以指数 题型6：取倒数法 题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 题型8：周期数列 题型9：前n项积型 题型10：因式分解型求通项 题型11： 题型12：取对数法 【方法技巧与总结】 类型Ⅰ观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ构造数列法： ㈠形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 ㈡形如型的递推式： ⑴当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 ⑵当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． ⑶当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 类型Ⅷ形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【典例例题】 题型1：观察法 【典例1-1】（2024·高二·山东菏泽·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高三·全国·专题练习）数列的前4项为，，，，则它的一个通项公式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高三·重庆·阶段练习）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【变式1-2】（2024·高二·山东青岛·阶段练习）数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 题型2：叠加法 【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（   ） A．4 B． C．13 D． 【典例2-2】（2024·高三·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·高三·河南安阳·阶段练习）已知数列满足，则（   ） A．2025 B．2024 C． D． 【变式2-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（   ） A．810 B．820 C．830 D．840 【变式2-3】（2024·高三·山东淄博·期中）已知函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 题型3：叠乘法 【典例3-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，（），则当时，（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·山西晋城·阶段练习）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·四川达州·期中）在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其中，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型4：待定系数法 【典例4-1】（2024·高二·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【变式4-2】（2024·高二·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【变式4-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，则 . 【变式4-4】（2024·高三·全国·专题练习）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【变式4-5】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列满足，则其前项和 ． 题型5：同除以指数 【典例5-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【典例5-2】（2024·高二·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式5-1】（2024·高一·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 . 【变式5-2】（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【变式5-3】（2024·高二·四川成都·阶段练习）在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ． 【变式5-4】（2024·高二·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 题型6：取倒数法 【典例6-1】（2024·高二·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【典例6-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【变式6-1】（2024·高二·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【变式6-2】（2024·高二·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型7：已知通项公式与前项的和关系求通项问题 【典例7-1】（2024·高三·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【典例7-2】（2024·高二·江苏宿迁·期末）已知数列的前项和为，，（），则为 . 【变式7-1】（2024·高二·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且，则 . 【变式7-2】（2024·高二·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 . 【变式7-3】（2024·高二·天津东丽·阶段练习）在数列中，，且，则 【变式7-4】（2024·高三·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则 . 【变式7-5】（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 题型8：周期数列 【典例8-1】（2024·高二·天津河西·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D．2 【典例8-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知数列满足，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式8-1】（2024·高二·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式8-2】（2024·高二·甘肃庆阳·期中）已知数列满足，且，则该数列前2024项的和为（    ） A．2015 B．2016 C．1518 D．1519 【变式8-3】（2024·高三·河北邢台·期中）在数列中，若，则下列数是中的项的是（   ） A．4 B．4 C． D．3 题型9：前n项积型 【典例9-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知非零数列的前项和为，为数列的前项积，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其前项和； (2)求数列的通项公式． 【典例9-2】（2024·高三·山东青岛·期中）记为正项数列的前项积，，则 . 【变式9-1】（2024·高三·河南安阳·阶段练习）设为数列的前项积，且，则 ． 【变式9-2】（2024·高二·云南曲靖·阶段练习）设正项等比数列的首项，前项和为，且 . (1)求数列的公比. (2)若是数列的前项积，求的最大值. 【变式9-3】（2024·高三·全国·专题练习）记为数列的前项积，已知，，求数列的通项公式 题型10：因式分解型求通项 【典例10-1】（2024•安徽月考）已知正项数列满足：，，． （Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由； （Ⅱ）若，设．，求数列的前项和． 【典例10-2】（2024•怀化模拟）已知正项数列满足，设． （1）求，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）的通项公式，并求其前项和为． 【变式10-1】（2024•仓山区校级月考）已知正项数列满足且 （Ⅰ）证明数列为等差数列； （Ⅱ）若记，求数列的前项和． 【变式10-2】（2024·福建福州·高二校考期末）已知数列满足时，，且. (1)求数列的通项公式； 题型11： 【典例11-1】（2024·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； 【典例11-2】（2024·全国·高三专题练习）数列的前n项和为，，. (1)设，求证：是等比数列； (2)设，求证：是等比数列. 【变式11-1】（2024·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项公式． 【变式11-2】（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足递推关系：，且，，求数列的通项公式. 题型12：取对数法 【典例12-1】（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列满足，，设的前项积为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【典例12-2】（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列满足，． (1)若且数列是递增数列，求实数k的取值范围； (2)若且，求数列的通项公式． 【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$