期末检测02（能力卷） 2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

期末检测02（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期中）已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知双曲线：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有（   ） A．两个圆心所在直线的斜率为 B．两圆恰有3条公切线 C．两圆公共弦所在直线的方程为 D．的最小值为 7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且则的值为（    ） A．1023 B．1461 C．1533 D．1955 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·广东·模拟预测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 10．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是 C．若点在上，则的最小值是 D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 11．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知椭圆 为椭圆上任意一点， 分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（     ） A．过点 的直线与椭圆交于 两点，则 的周长为 8 B．存在点 使得 的长度为 4 C．椭圆上存在 4 个不同的点 ，使得 D． 内切圆半径的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么 13．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 14．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知数列，，且，，为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数，都有，求的取值范围. 16. (15分) （24-25高三上·上海·期中）如图所示四棱锥，其中交于点.    (1)求证：平面； (2)若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. (15分) （24-25高三上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. (1)求点T的轨迹W的方程； (2)已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 18. (17分) （24-25高三上·云南·阶段练习）如图甲，在平面五边形中，∥，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的△折起，使点到达如图乙中的点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 19. (17分) （24-25高二上·重庆·期中）已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末检测02（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期中）已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知双曲线：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有（   ） A．两个圆心所在直线的斜率为 B．两圆恰有3条公切线 C．两圆公共弦所在直线的方程为 D．的最小值为 7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，且则的值为（    ） A．1023 B．1461 C．1533 D．1955 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·广东·模拟预测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 10．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是 C．若点在上，则的最小值是 D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 11．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知椭圆 为椭圆上任意一点， 分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（     ） A．过点 的直线与椭圆交于 两点，则 的周长为 8 B．存在点 使得 的长度为 4 C．椭圆上存在 4 个不同的点 ，使得 D． 内切圆半径的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么 13．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 14．（22-23高二上·广东清远·期中）已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）已知数列，，且，，为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若对任意正整数，都有，求的取值范围. 16. (15分) （24-25高三上·上海·期中）如图所示四棱锥，其中交于点.    (1)求证：平面； (2)若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. (15分) （24-25高三上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. (1)求点T的轨迹W的方程； (2)已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 18. (17分) （24-25高三上·云南·阶段练习）如图甲，在平面五边形中，∥，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的△折起，使点到达如图乙中的点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 19. (17分) （24-25高二上·重庆·期中）已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B C D D B ABD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，进而可得结果. 【详解】因为，， 令，则； 令，则； 令，则； 可知数列为周期为的周期数列，所以. 故选：A. 2．A 【分析】设圆的标准方程是，将代入求解即可. 【详解】解：由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A 3．D 【分析】根据共面向量定理结合题意设，然后将向量的坐标代入列方程可求得结果. 【详解】由题意得，，即， 所以，解得. 故选：D. 4．B 【分析】根据条件可求出，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】由题意得，，， ∵， ∴，故双曲线的标准方程为. 故选：B. 5．C 【分析】求出直线、的斜率，数形结合可得出直线斜率的取值范围，进而可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率. 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 6．D 【分析】根据已知写出圆的标准方程确定圆心和半径，圆心坐标求斜率判断A；由圆心距与半径和差关系判断圆的位置关系判断B、C；由两圆上点的距离最小为判断D. 【详解】由，则，半径为， 由，则，半径为， 所以，A错； ，即两圆外离，有4条公切线，B、C错； ，D对. 故选：D 7．D 【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，利用题中条件得，结合进行求解即可. 【详解】    由题意知圆心与抛物线的焦点重合为，抛物线的准线为， 过作抛物线准线的垂线，垂足为，则， 由，则为中点，故，， 又圆的半径为，则可得，    又， 当三点共线时，取得最小值为， 则可得， 故选：D． 8．B 【分析】先判断数列为等比数列，求出其通项公式，再求数列的通项公式，分组求和，可得问题答案. 【详解】由题意：， . 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以. 所以， . 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可. 9．ABD 【分析】根据条件，结合等差数列的性质，可得，，，由此可判断ABC的真假；再由和时，，时，，再结合，的单调性可判断D的真假. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以. 所以，当时，最大，故A正确； 由，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 且，， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【分析】设，由条件可求得轨迹为是为圆心，半径的圆，对于A，求出到直线的距离，可知为所求；对于B，令，求出到直线的距离，由求解即可；对于C，令，求出到直线的距离，由求解即可；对于D，记圆，由条件可知两圆相交，所以，求解即可. 【详解】设，又，，且， ， 化简得：，， 轨迹为是为圆心，半径的圆， 对于A，到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故A正确； 对于B，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故B正确； 对于C，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故C错误； 对于D，记圆，其圆心为，半径为， 圆与有且只有两条公切线，两圆相交， 所以，即，解得，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】对A，先根据椭圆的基本量关系求解方程，再根据椭圆的定义求解即可；对B，根据椭圆的性质判断即可；对C，根据可得的轨迹，再分析与椭圆的交点个数即可；对D，根据的面积表达式分析即可. 【详解】对A，椭圆，则过点的直线与椭圆交于，两点， 则的周长为，故A正确； 对B，根据椭圆性质可得，即，故， 即不存在点，使得的长度为4，故B错误； 对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点， 易得该圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确； 对D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上下顶点， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】利用与的关系式求通项即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13． 【分析】据题意，建立空间直角坐标系，然后根据题意写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据，即可求解. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 设，则，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】先根据已知画出圆及点结合点关于x轴对称，进而数形结合即可得出距离和的最小值. 【详解】根据题意画出圆，以及点的图象如图， 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值， 为点到点的距离减圆的半径， 即， 故答案为：． 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据结合等差数列通项公式可得，再结合的定义分析求解即可； （2）由（1）可知：，利用裂项相消法可得，结合题意分析求解即可. 【详解】（1）因为，，则，， 可知等差数列的首项为1，公差， 则，即 当时，， 且符合上式，所以，. （2）由（1）可知：， 则. 由题可知，所以的取值范围是. 16．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为， 所以均在的垂直平分线上，所以， 因为， 所以， 因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面， （2）因为平面，所以平面平面. 由（1）可知， 因为， 所以，所以， 从而由等面积法，可知，由勾股定理，可知， 由（1）可知，所以， 因为，所以，所以. 又因为，，平面， 所以平面. 以为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为点为线段的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得，即可得到标准方程； （2）根据题意，设直线，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明. 【详解】（1）由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得. 由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长为，焦距为，， 所以点T的轨迹W的方程为 （2）    由（1）知，，设直线，，， 联立消去x，整理得，则 ， 根据题意可设，，则由， 可得，同理可得， 所以直线FM与直线FN的斜率之积， . 所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】（1）在平面五边形中，∥，， 所以四边形是直角梯形，且， 在直角中，，且，则， 可得，从而是等边三角形，平分. 因为为的中点，所以，所以， 又因为且平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）取的中点F，连接，过点S作垂直于点，连接，如图， 因为平面平面，平面∩平面， 所以平面，又平面，则 因为，F是的中点，所以， 又且平面，所以平面， 由平面，则； 又因为，所以，则点O是的中点， 又，所以，可得. 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴， 如图所示建立空间直角坐标系， 则， 可得. 设平面的一个法向量为， 由，令，则. 由于平面，设 可得， 所以； 由于点平面， 所以， 解得，即， 由（1）可知，平面， 所以点H到平面的距离为. 19．(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证； （ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可. 【详解】（1）设，显然，由题设， 所以，即为动点P的轨迹方程； （2）由题意，可设直线，则， （i）设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）由题意， 又，当且仅当时等号成立， 联立，得，显然， 所以，，则，， 所以， 综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$