期末检测01（基础卷）- 2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

期末检测01（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·湖北孝感·期中）已知，若，则实数（   ） A．0或1 B． C．1 D．0或 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．8 5．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 6．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆和圆的交点为，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知椭圆 的右焦点为F ，抛物线Γ顶点在原点并以F 为焦点，过F 的直线l交抛物线Γ于两点，下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．当 时，直线l的倾斜角为或 C．若，P 为抛物线Γ上一点，则的最小值为 D．的最小值为9 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则 ． 13．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在棱长为6的正方体中，为棱上一动点，且不与端点重合，，分别为，的中点，给出下列四个结论： ①平面平面；②平面可能经过的三等分点；③在线段上的任意点（不与端点重合），存在点使得平面；④若为棱的中点，则平面与正方体所形成的截面为五边形，且周长为，其中所有正确结论的序号是 14．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·四川成都·期中）的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16. (15分) （24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列要求的曲线方程 (1)两个焦点坐标分别为，且经过的椭圆方程 (2)两个焦点坐标分别为，渐近线方程为的双曲线方程 (3)对称轴为轴，焦点到准线的距离为2的抛物线方程 17. (15分) （24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 18. (17分) （上海市长宁区2025届高三一模数学试卷）如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19. (17分) （24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B C A C D ABD AB 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】先根据空间向量基本定理用向量，，表示向量，进而求得，，的值，即可求得的值. 【详解】由空间向量基本定理可得 又由题干，则，故. 故选：C. 2．C 【分析】用两直线垂直的充要条件得解. 【详解】若，则， 解得，或. 时，不存在，舍去，故. 故选：C. 3．A 【分析】利用直角三角形性质和椭圆定义求出，根据正切函数定义列式整理可得. 【详解】在中，，所以， 又，所以， 所以，即，整理得. 故选：A    4．B 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 5．C 【分析】根据递推关系式，利用累加法求和. 【详解】由题意可知，， 所以，，，……，， 所以上面9个式子相加得， 所以. 故选：C 6．A 【分析】根据给定条件，求出动弦中点Q的轨迹，再借助几何意义求出的最小值作答. 【详解】圆的圆心，半径， 令动弦中点为Q，则， 即动弦中点Q的轨迹是以点C为圆心，为半径的圆， 点到直线的距离， 即直线与点Q的轨迹相离， ，而， 所以的最小值为． 故选：A. 7．C 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值． 【详解】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C    8．D 【分析】根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得，结合求，进而得离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为， 则直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示，    则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得， 且，解得， 又因为，可得， 所以双曲线的离心率， 故选：D. 9．ABD 【分析】令即可求出，进而可求公差，逐一判断每个选项即可. 【详解】对于选项A，取，则，解得，即A正确； 对于选项B，由A可知，，则1，即B正确； 对于选项C，由B可知，因为，即C错误； 对于选项D，，所以， 又因为， 所以成立，即D正确. 故选：ABD. 10．AB 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则选项A可判断；由两圆中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则选项B可判断；利用两圆中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，则选项C可判断；利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，加上半径即点到直线距离的最大值，即选项D可判断． 【详解】对于A，因为圆和圆，圆心距，且,两圆相交，将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故选项A正确； 对于B，因为圆的圆心为，，则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故选项B正确； 对于C，圆心到直线的距离为，又圆的半径，所以，故选项C错误； 对于D，点为圆上一动点，圆心到直线的距离为，又圆的半径，所以点到直线距离的最大值为，故选项D错误． 故选：AB． 11．AD 【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，再结合抛物线的定义及韦达定理逐项计算判断得解. 【详解】椭圆的右焦点，则抛物线的方程为，其准线为， 对于A，，A正确； 对于B，直线不垂直于轴，设直线，由消去， 得，则，由，得， 联立解得，因此直线的斜率为，倾斜角不为，B错误； 对于C，过点作垂直于准线于，过作垂直于准线于， 由抛物线定义得，因此， 当且仅当是线段与抛物线的交点时取等号，C错误； 对于D，，由选项B知，，则， 又，因此， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 12． 【分析】利用等比数列的性质结合对数运算来求值. 【详解】由等比数列的性质可得：， 因为，所以， 则， 故答案为:10. 13．①③④ 【分析】①③利用空间向量法证明线面垂直从而证明面面垂直和判断线面垂直；②利用向量法求解平面的法向量，结合平面内直线一定与法向量数量积为0，判断点在平面内；④利用平面的基本性质作出截面，再求出截面的周长. 【详解】 如图所示建立直角坐标系，以为原点，以分别为为正方向， ， ，设 ①， 因为， 所以是平面内两条相交直线， 则平面，平面，因此平面 平面，①正确； ②取点为的三等分点，即或， 设平面的法向量为，， 则，令，所以 当时，， 若在平面中，，解得不合题意； 当时，， 若在平面中，，解得不合题意；②错误； ③在线段上的任意点H（不与端点重合），设， 则，由上可知平面的法向量为， 若存在点E使得平面，则有， 即，解得， 所以存在点使得平面；③正确； ④延长三线相交于点， 连接分别交直线于点, 因为E为棱的中点，则平面与正方体所形成的截面为五边形， 在正方体中，， 根据三角形相似可得， 则， ， 因此周长为.④正确； 故答案为：①③④. 14． 【分析】确定直线过定点，再结合结合直线垂直的斜率公式，即可求解. 【详解】 可得：， 令可得：， 所以直线过定点， 当时，两点间的距离即为最大值， 又,所以， 所以直线方程为，即. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）设线段的中点为，求得的坐标可求得边上的中线的方程； （2）设圆的方程为，根据三点都在圆上，列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程； 【详解】（1）设线段的中点为，又，，则， 因为，则边上的中线的方程为； （2）设圆的方程为（其中）， 因为，，三点都在圆上， 可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据椭圆定义得出结合焦点坐标即可求出椭圆方程；             （2）根据渐近线方程及焦点坐标列方程组求出即可写出双曲线方程； （3）先设抛物线方程，由已知可知即可得出抛物线方程. 【详解】（1）设椭圆方程为， 利用椭圆定义求出 由求出,                  则椭圆方程为. （2）设双曲线方程为 有                                又 求出 则双曲线方程为 （3）设抛物线方程为,则焦点到准线的距离知               抛物线方程为. 17．(1) (2)，的最大值为. 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解； （2）利用等差的求和公式得到，结合二次函数性质求其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，解得， 所以， 所以； （2）由（1），， 所以当或时，取最大值，最大值为. 所以，的最大值为. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明直线垂直于平面，需要在平面内找到两条相交直线与直线垂直； （2）可以用综合法，利用等体积法求点到平面距离，也可以直接用空间向量法求解. 【详解】（1）因为是正方形，所以，    因为底面， 所以，又，,在平面内， 所以平面,在平面内， 所以， 由底面， 可得， 所以，即有， 因为，所以， 和在平面内，且， 所以平面． （2）方法1：设点到平面的距离为， 由题可知,,. 所以．    得直线与平面所成角的正弦值. 方法2：（建系）    以为原点，射线为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 可得 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 直线与平面所成角的正弦值等于向量与平面法向量的夹角余弦值的绝对值：. 19．(1) (2)直线过定点 【分析】（1）由已知，设点，坐标，结合斜率乘积可得，即可得椭圆方程； （2）①当直线斜率不存在时，设直线方程及点，坐标，结合，解方程可得直线方程；②当直线斜率存在时，可设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与斜率公式列方程，化简可得或，代入直线方程可得解. 【详解】（1）由已知，即，所依椭圆方程为， 当直线过原点时，设，则，所以， 所以，又， 所以，， 所以，则， 所以椭圆方程为； （2） ①当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，（）， 则，，且，即， 所以，解得， 即此时直线方程为； ②当直线斜率存在时，由题可设直线方程为，舍，， 联立直线与椭圆方程得， 则，即， 且，， 又，， 则， 即， 即， 化简可得，解得或， 当时，直线方程为，过点，不成立； 当时，直线方程为，过定点； 综上所述直线恒过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末检测01（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 2．（24-25高二上·湖北孝感·期中）已知，若，则实数（   ） A．0或1 B． C．1 D．0或 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．8 5．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知数列满足，且，则（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 6．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·四川巴中·期中）已知圆和圆的交点为，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知椭圆 的右焦点为F ，抛物线Γ顶点在原点并以F 为焦点，过F 的直线l交抛物线Γ于两点，下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．当 时，直线l的倾斜角为或 C．若，P 为抛物线Γ上一点，则的最小值为 D．的最小值为9 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则 ． 13．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在棱长为6的正方体中，为棱上一动点，且不与端点重合，，分别为，的中点，给出下列四个结论： ①平面平面；②平面可能经过的三等分点；③在线段上的任意点（不与端点重合），存在点使得平面；④若为棱的中点，则平面与正方体所形成的截面为五边形，且周长为，其中所有正确结论的序号是 14．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·四川成都·期中）的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16. (15分) （24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列要求的曲线方程 (1)两个焦点坐标分别为，且经过的椭圆方程 (2)两个焦点坐标分别为，渐近线方程为的双曲线方程 (3)对称轴为轴，焦点到准线的距离为2的抛物线方程 17. (15分) （24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 18. (17分) （上海市长宁区2025届高三一模数学试卷）如图所示，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面的中心，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19. (17分) （24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$