2.3.2一元二次不等式的应用教案-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

2.3.2一元二次不等式的应用（教案） 【教学目标】 1. 会用一元二次不等式表示数学问题及实际问题中的不等关系，理解不等式的实际背景； 2. 通过数学问题及实际问题的解决，让学生认识一元二次不等式对于刻画不等关系的意义和价值，培养学生的严谨的思维习惯，体会函数与方程思想、数形结合思想、建模思想等数学思想方法； 【教学重点】 用一元二次不等式表示数学问题及实际问题中的不等关系. 【教学难点】 用一元二次不等式正确表示出实际问题中的不等关系． 【教学方法】 启发引导式教学． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【核心素养】 数学建模，数学运算． 【教学过程】 1、 复习导入 1. 从学生熟知的一元二次不等式和二次函数引入，提出问题：一元二次不等式的解集与二次函数的图象之间存在怎样的联系？ 2. 解下列不等式： （1） （2） （3） 【设计意图】 教师引导学生复习一元二次不等式和对应二次函数图象之间的关系，并将其准确概括表达。 2、 例题讲解 例.若关于x的不等式在1<x<4内有解，则实数a的取值范围是 解： 因为1<x<4， 所以4≦<12， 所以a<4 【设计意图】 利用数形结合求解二次函数对应的自变量的取值范围是本节课的解题的计算基础，通过例题帮助学生巩固计算的基础。 例3.某杂志社以每本2元的价格发行时，发行量为10万册。经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册。要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？ 解析：在这个问题中，我们可以设每本的价格提高x元，根据题目中的条件“若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册”，可以得出发行量减少，从而得出杂志社的销售收入为万元。 题目中要求“要使杂志社的销售收入大于22.4万元”，我们可以得到不等式：化简得：，这是个一元二次不等式，如何解呢？我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标。那么一元二次不等式与二次函数的图象存在一定的联系。 令，得x1=0.8，x2=1.2，画出抛物线的草图 观察抛物线的图象（如图），所以不等式0的解集为 答：每本杂志的价格应在（2.8，3.2） . 【设计意图】 例题3的设计主要是通过实际问题——数学问题的转化，学生在求解的过程中，熟悉解题的步骤和方法，这也是本节课学习的重点和难点所在。 例4. 由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后还需要滑行一小段距离才能停止，这一小段距离称为刹车距离。刹车距离是分析交通事故的关键因素之一。今在一条限速40km/h以内的弯道上，有甲、乙两车相对而行，发现有危险，甲、乙两车同时刹车，但还是相撞了。事故现场测量到，甲车的刹车距离略微超过12m，乙车的刹车距离略微超过10m。交通警察根据两车的车型知，甲、乙两车的刹车距离S(m)与车速v(km/h)的函数关系分别为试确定此次交通事故的主要责任是谁？ 解析：根据题意，由甲车的刹车距离略微超过12m，得，化简得：. 令，得x1=-40，x2=30，画出抛物线的草图 观察抛物线的图象，解得v>30或v<-40（舍去），这说明，甲车的车速未超过30km/h很多，故甲车限速在40km/h之内。 同理，对于乙车，解一元二次不等式解得v>40或v<-50（舍去）；这说明，乙车的车速超过了40km/h，故乙车是事故的主要责任者。 【设计意图】 在例题3的基础上，添加了对答案取舍的要求，进一步巩固本节课学习的重点，并增加实际问题的考虑因素，是对例题3的一个补充。 三、归纳总结、内化于心 1. 小结 一元二次不等式的解法： （1）化不等式的形式为； （2）解出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的一元二次函数的草图； （4）根据草图，得出一元二次不等式的解集； 2. 作业 （1）下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是（ ） A. (-∞，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. (1,+∞) （2） 若不等式的解集为，则a+b= . （3） 行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续向前滑行一段距离才能停下来，这段距离叫做刹车距离。某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（m）与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：，要求刹车距离不超过18.4，则行驶的最大速度应为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$