2.1.2基本不等式的变形 教案-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教案标题：基本不等式的变形 【教学目标】 1.通过实例，让学生掌握基本不等式的使用条件，同时进一步研究基本不等式等号成立的条件． 2.通过利用基本不等式证明相关问题，提高学生的推理论证能力． 3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯． 【教学重点】 基本不等式的使用条件，基本不等式取等号的条件． 【教学难点】 利用基本不等式解决证明问题． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机，PPT． 【核心素养】 数学抽象，逻辑推理，数学运算． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 我们已经学习了什么是基本不等式，那么这个基本不等式如何使用呢？它能用于处理什么样的问题呢？ 首先，我们来复习一下相关知识： 定理：对任意，必有，当且仅当时等号成立． 推论：对任意必有，当且仅当等号成立． 下面我们来看问题一： 问题一：设为正数，证明下列不等式：（1）；（2）． 二、思辨论证，归纳总结 思辨：对于问题一的第一个小问，因为和为正数，所以可以利用基本不等式的轻松证得问题（1）的不等式． 过程：均为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． 思辨：对于第二个小问，同样因为均为正数，所以也可以使用基本不等式证明不等式（2）． 过程：均为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． 从刚才这个问题一中大家是否发现了使用基本不等式的条件呢？我们可以概括为一句话“积定和最小”，“积定”指的是两项的乘积为定值时，这两项的和才有最小值． 归纳：使用条件一：“积定和最小”； 积定和最小，积定——，． 接下来，我们再来看如下这样一个问题： 问题二：求函数的最大值． 大家看到这样一个问题第一时间想到是利用什么知识来解决这样一个问题呢？对了，有的同学会说，我能用二次函数知识解决这个最值问题。非常对，但是大家想想能不能利用我们现在所学的基本不等式来解决这个问题呢？ 思辨：我们把和看成两项，因为的取值为0到1开区间，所以这两项均大于0．，，；所以我们可以利用基本不等式的得到这个函数的最大值． 过程：，，；．然后我们再来考虑取等的条件，也就是说当且仅当，即时等号成立． 问题二我们也迎刃而解，那么类似问题一，能不能也总结出一个使用基本不等式的条件呢？我想有的同学心里已经有了答案，那就是“和定积最大”。 归纳：使用条件二：和定积最大，和定——． 三、掌握证法，适当延展 好，接下来，我们看看如何利用基本不等式来证明相关基本不等式变形问题． 问题三：对任意三个正实数，求证：，当且仅当时等号成立． 思辨：我想大家看完问题三会发现要证明的不等式非常像基本不等式，但是怎么少了2？其实这个不等式是由三个基本不等式构成的． 过程：；由基本不等式，得，，，把这三个基本不等式的两边分别相加后得到了这样一个不等式： ，然后左右两边约去一个2后就得到了我们要证明的不等式，． 思辨：证明到此结束了吗？没有，我们一定要验证等号成立的条件，除此之外，由于我们使用了三次基本不等式，所以我们还需要验证三个等号是否同时成立．经过验证我们发现当时等号成立． 四、归纳小结，提高认识 通过以上三个问题我们发现在使用均值不等式时需要注意以下三点： （1）和定积做大；（2）积定和最小；（3）使用多次基本不等式时需要验证等号是否同时成立； 归纳：使用均值不等式时需注意（1）和定积做大；（2）积定和最小；（3）使用多次基本不等式时需要验证等号是否同时成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$