精品解析：山东省烟台市经济技术开发区（五四制）2024-2025学年七年级上学期期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中七年级数学检测题 温馨提示： 1．答题前务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．在试卷上和答题卡指定区域答题，注意书写． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知一个三角形的两边长分别为和，则这个三角形第三边的长可能是(　　) A. 1 B. 2 C. 5 D. 7 3. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形沿直线折叠后，使得点与点重合，折痕分别交，于点，．如果，的周长为，那么的长为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是（　　） A. B. C. D. 7. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A. 9 B. 12 C. 18 D. 25 8. 如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=40°，则∠BMC=（ ） A. 135° B. 120° C. 100° D. 110° 9. 如图，中，，以点A为圆心、为半径的弧交于D、E两点，连接，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，的中线、相交于点O，若四边形的面积是，则的面积是（　　） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 在直角三角形中，若一个锐角为，则另一个锐角为______． 12. 如图，点D、A、E、B在同一直线上，，，，则的长是_________． 13. 如图，已知长方体的长，宽，高，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到点，最短路程是___________cm． 14. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为___． 15. 如图，在长方形中，将沿对角线对折，得到，与交于点F，若，，则的长度是_________cm． 16. 如图，∠AOB30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 尺规作图 已知：，和线段a，求作，使，，． 要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母． 18. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：一根直立地面的竹子，原来高一丈，自A处折断，其竹梢B恰好抵地，抵地处与原竹子底部C距离三尺，问直立处还有多高的竹子？ 19. 如图，是上的两点，且，，．求证：． 20. 如图，，，的垂直平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 21. 如图所示，正方形网格中小正方形的边长都为1，请完成下列问题： （1）在图中作出关于直线成轴对称的； （2）求出的面积； （3）在直线上找一点，使得最小． ①请在图中作出点； ②求的最小值． 22. 如图是一张简易木床的侧面图，现要钉上两根木条以确保其坚固耐用木条AB已经钉上了，如果为了美观，要求木条与木条等长，那么应该怎样确定点E、F的位置？请说明理由． 23. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 24. 我国南海舰队深圳号驱逐舰在南海某岛海域巡航，如图所示，，，，该岛位于O点，深圳号驱逐舰在点B处发现有一艘外国军舰，自A点出发沿着方向匀速驶向该岛所在地点O，深圳号驱逐舰立即从B处出发以相同的速度沿直线方向前去拦截这艘军舰，结果在点C处截住了军舰． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求深圳号驱逐舰行驶的航程的长． 25. 阅读下面的证明过程： 如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． （3）如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中七年级数学检测题 温馨提示： 1．答题前务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．在试卷上和答题卡指定区域答题，注意书写． 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义一一判断即可．轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠直线两旁的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形. 【详解】解：第一个图形是轴对称图形， 第二个图形是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形不是轴对称图形， 故有3个轴对称图形． 故选：C． 2. 已知一个三角形的两边长分别为和，则这个三角形第三边的长可能是(　　) A. 1 B. 2 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设三角形第三边的长是，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设三角形第三边的长是， ， ， 这个三角形第三边的长可能是． 故选：C． 3. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，将三角形沿直线折叠后，使得点与点重合，折痕分别交，于点，．如果，的周长为，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：∵将沿直线折叠后，使得点与点重合， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了翻折变换的性质，掌握翻折变换后对应线段相等是解题的关键． 6. 在平面镜里看到背后墙上正放的电子钟示数如图所示，这时的时间应是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握两个成轴对称图形的性质． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为， 故选：C． 7. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A. 9 B. 12 C. 18 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】解：在，，， 则， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，， ∴阴影部分面积是9， 故选：A． 8. 如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1=40°，则∠BMC=（ ） A. 135° B. 120° C. 100° D. 110° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：若∠1=40°， ∴∠AMA1+∠DMD1=180-40=140°． ∴∠BMA1+∠CMD1=70°． ∴∠BMC=∠BMA1+∠CMD1+∠1=110°． 故选D． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．角平分线的性质；3．矩形的性质． 9. 如图，中，，以点A为圆心、为半径的弧交于D、E两点，连接，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，根据等边对等角计算是解题的关键． 【详解】解：∵以点A为圆心、为半径的弧交于D、E两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，的中线、相交于点O，若四边形的面积是，则的面积是（　　） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，利用三角形中线的定义和三角形面积公式得到，从而得到，进一步证得，从而求得．掌握三角形的中线把三角形分成面积相等两部分是解题的关键． 【详解】解：连接，如下图： ∵和为的中线， ∴， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 在直角三角形中，若一个锐角为，则另一个锐角为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 直接根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论． 【详解】解：在直角三角形中，一个锐角为， ∴另一个锐角. 故答案为：. 12. 如图，点D、A、E、B在同一直线上，，，，则的长是_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：5． 13. 如图，已知长方体的长，宽，高，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到点，最短路程是___________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况： （1）沿，，，，，剪开，得图1： 则； （2）沿，，，，，剪开，得图2： 则； （3）沿，，，，，剪开，得图3： 则； 综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即， 故答案为：5． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解． 14. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则的度数为___． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图，易证，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 15. 如图，在长方形中，将沿对角线对折，得到，与交于点F，若，，则的长度是_________cm． 【答案】 【解析】 【分析】考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、“等角对等边”等知识，由矩形的性质得，，由折叠得，而，所以，则因为，所以于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿对角线对折，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 16. 如图，∠AOB30°，点P是∠AOB内的一定点，且OP6，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，利用等边三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB， ∴OC=OD=OP=6cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD=OC=OD=6． ∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6． 故答案为6． 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 尺规作图 已知：，和线段a，求作，使，，． 要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母． 【答案】 解：如图，△ABC即为所求． ． 【解析】 【分析】首先作射线进而截取AB=a，再分别以A，B为端点，作∠A=∠α，∠B=2∠β，两条射线交于点C，即可得到所求的△ABC． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键． 18. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：一根直立地面的竹子，原来高一丈，自A处折断，其竹梢B恰好抵地，抵地处与原竹子底部C距离三尺，问直立处还有多高的竹子？ 【答案】直立处还有4.55尺的竹子 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面AC＝x尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设AC=x尺， 因为AC+AB=10（尺）， 所以AB=10-x（尺）． 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 所以AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2． 解得x=4.55， 即AC=4.55（尺）． 故直立处还有4.55尺的竹子. 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 19. 如图，是上的两点，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 20. 如图，，，的垂直平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）根据三角形的内角和得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，平时要熟练掌握各性质定理． 21. 如图所示，正方形网格中小正方形的边长都为1，请完成下列问题： （1）在图中作出关于直线成轴对称的； （2）求出的面积； （3）在直线上找一点，使得最小． ①请在图中作出点； ②求的最小值． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） ①如图所示，点即为所求； ②的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）①根据“将军饮马”模型，由（1）知与关于直线对称，连接，交直线于点，连接，此时最小；②在①基础上，利用网格求出②求的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在网格中的面积为： ； 【小问3详解】 解：①略 ②∵， ∴， 结合①中图形知最小值为， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 22. 如图是一张简易木床的侧面图，现要钉上两根木条以确保其坚固耐用木条AB已经钉上了，如果为了美观，要求木条与木条等长，那么应该怎样确定点E、F的位置？请说明理由． 【答案】 解：利用刻度尺测量，使，时，木条与木条等长，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 23. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 24. 我国南海舰队深圳号驱逐舰在南海某岛海域巡航，如图所示，，，，该岛位于O点，深圳号驱逐舰在点B处发现有一艘外国军舰，自A点出发沿着方向匀速驶向该岛所在地点O，深圳号驱逐舰立即从B处出发以相同的速度沿直线方向前去拦截这艘军舰，结果在点C处截住了军舰． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置； （2）求深圳号驱逐舰行驶的航程的长． 【答案】（1）点C即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，基本作图—作垂线． （1）根据两舰的速度相等，得到，得到点在的中垂线上，作的垂直平分线与交于点C，点即为所求； （2）连接，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如上图所示． 由作图可得为的中垂线，则． 由题意可得． 因为， 在中，， 所以， 解得 故深圳号驱逐舰行驶的航程的长为． 25. 阅读下面的证明过程： 如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，求证：． 证明：由题意，，． ∴． 在和中， ， ∴． 像这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 请结合以上阅读，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． （2）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． （3）如图4，在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为12米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为18米，高为4米的矮台B，请写出旗杆的高度是 ．（不必书写解题过程） 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， （2） 证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）17米 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键． （1）先证明， ，结合，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）过D作交的延长线于点F，如图：证明，结合，可得，证明，可得，结合，可得结论； （3）过A作，过B作，如图：证明，可得，，证明，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过A作，过B作，如图： 同理可证， ∴，， 由题意知，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴（米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $