2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册基础练

高一必修一基础练 一、单选题（每个6分，共36分） 1. 若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 3. 若角与角的终边关于y轴对称，则必有（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 5. 是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围是. A. B. C. D. 二、多选题（每个6分，共12分） 7. 下列说法正确的有（ ） A. “，”的否定是“，” B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 8. 定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ） A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解 C. 方程有且仅有九个解 D. 方程有且仅有一个解 三、填空题（每题6分，共12分） 9.（1）. 某市规划拟在如图所示的扇形土地上修建一个圆形广场．已知的长度为，广场的占地面积最大值时广场半径长度是__________． （2）. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______． 四．解答题（共40） 10. （1）计算：； （2）已知，求的值． 11. 据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为元时，销售量可达到万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格. （1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ （2）每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 高一必修一基础练 答案 一、单选题（每个6分，共36分） 1. 若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以，即，所以，故B正确； 当时， ，故A错误； ，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可． 【详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：B． 3. 若角与角的终边关于y轴对称，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解. 【详解】角与角的终边关于y轴对称， 所以， ， 即， 故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解. 4. 函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性和函数值符号使用排除法可得. 【详解】因为的定义域为，且 所以为偶函数，可排除AB； 又当时，，故C错误. 故选：D 5. 是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以当时，，此时，解得， 当时，， （当且仅当时取等号，即时取等号）， 即当时，，要想若对一切成立， 只需，综上所述：， 故选：B 6. 设函数，则使得成立的的取值范围是. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性、增减性，再利用函数的性质得不等式，再求解即可. 【详解】解：由函数 的解析式可得：函数又，即函数为偶函数，当时， ，则函数在为增函数，又，所以等价于，即，即， 故选:B. 二、多选题（每个6分，共12分） 7. 下列说法正确的有（ ） A. “，”的否定是“，” B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据存在量词命题否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程无解，则，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD. 【详解】解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，若命题“，”为假命题， 则方程无解， 所以，解得， 所以实数的取值范围是，故B正确； 对于C，当时，，则由不能推出， 所以“”的充要条件不是“”，故C错误； 对于D，若，则， 故由可以推出， 若当时，，则由不可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：ABD. 8. 定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ） A. 方程有且仅有三个解 B. 方程有且仅有三个解 C. 方程有且仅有九个解 D. 方程有且仅有一个解 【答案】AD 【解析】 【分析】通过利用或，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论. 【详解】解：对于A中，设，则由，即， 由图象知方程有三个不同的解，设其解为，，， 由于是减函数，则直线与函数只有1个交点， 所以方程，，分别有且仅有一个解， 所以有三个解，故A正确； 对于B中，设，则由，即， 由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知， 则直线与函数只有2个交点， 所以方程只有两个解，所以方程有两个解，故B错误； 对于C中，设，若，即， 方程有三个不同的解，设其解为，，，设， 则由函数图象，可知，， 由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点， 直线与函数只有1个交点， 所以或或共有7个解， 所以共有七个解，故C错误； 对于D中，设，若，即， 由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知， 因为是减函数，则直线与函数只有1个交点， 所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 三、填空题（每题6分，共12分） 9.（1）. 某市规划拟在如图所示的扇形土地上修建一个圆形广场．已知的长度为，广场的占地面积最大值时广场半径长度是__________． 【答案】 【解析】 【详解】如图所示， ． 由题意可知，当是扇形的内切圆时，广场的占地面积是大， 设与切于点，连接，， 所以， 所以． 故答案为：. （2）. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围． 【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为， 因为对任意的，都存在唯一的，满足， 则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个. 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 当时， ①当时，，此时， ，解得， ②当时，， 此时在上是减函数，取值范围是， 在上是增函数，取值范围是， ，解得， 综合得 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想. 四．解答题（共40） 10. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2）65. 【解析】 【分析】根据指数运算法则，对（1）（2）进行计算即可. 【详解】（1） ． （2）因为，所以， 所以， 所以． 11. 据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为元时，销售量可达到万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格. （1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ （2）每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 【答案】（1）总利润为240万元；（2）每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套利润最大，最大值80元. 【解析】 【分析】 （1）根据题意直接求解即可； （2）求出单套的利润的表达式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为(万套)， 供货单价为(元)， 总利润为(万元). 答：总利润为240万元； （2）销售量为，供货单价为， 单套利润为，因为，所以 所以单套利润为： 当且仅当，即时取等 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$