精品解析：辽宁省丹东市凤城市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度上学期期中测试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程属于分式方程，故本选项错误； D、由原方程得到−2x＋1＝0，未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF=3：2，BC=6，CE的长为（ ） A. 2 B. 7 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式可得出答案. 【详解】∵AB∥CD∥EF ∴ ∴ 故选C. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，准确找到对应边是关键. 3. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程应用，设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格得第二次降价后的价格是，进而列方程是解决问题的关健． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 故选：C． 4. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示： 种子个数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子的个数 187 282 735 624 718 814 901 发芽种子的频率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 有下面四个推断： ①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891； ②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）； ③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】①发芽率=发芽种子数除以总种子数；②频率稳定在0.9可估计概率约是0.9；③不能用特殊值代表概率；④用概率估计总体. 【详解】①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率大约是0.891，故错误；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1），故正确；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率不一定是种子发芽的概率，故错误；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽，故正确．其中正确的是②④， 故选D． 【点睛】本题考查频率与概率、频率估计概率、概率估计总体等知识，掌握相关知识是解题关键，难度容易. 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，先证明，再根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加条件，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 添加条件不能证明，故B符合题意； 添加条件，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，可以根据两组对应边成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且． 故选A． 7. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. AD•AB=AE•AC 【答案】D 【解析】 【分析】由DE∥BC，AD：DB=2：1，可得△ADE∽△ABC，推出，，推出，由此即可判断. 【详解】∵DE∥BC，AD：DB=2：1， ∴△ADE∽△ABC， ∴，， ∴， ∴A、B、C正确， 故选D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（ ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 由表中数据得当时，； 当时， 所以方程的解为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 9. 在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE，交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可． 【详解】连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小， ∵四边形ABCD是正方形，且周长为8， ∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BP＝DP， ∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE， ∵E是AB的中点， ∴AE＝AB＝1， 在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2， ∴DE＝＝， 故选C． 【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键． 10. 如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据翻折可求出的长度、E为CG中点、，从而推出，继而求出CP的长度，再利用勾股定理即可求出PG长度，又因为，所以EF为PG的一半，即可选择． 【详解】根据题意可知：， ∴ ， 由翻折可知，，即E为GC中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴CP= ， ∵， 又∵，E为GC中点， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质．利用翻折的特点证明，从而求出CP的长度是解题的关键．综合性较强． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可 【详解】根据题意可得：原式=+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值． 12. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：∵黄色扇形区域的圆心角为， 所以黄色区域所占的面积比例为， 故指针停止后落在黄色区域的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的值，就是事件（A）发生的概率． 13. 为估计可可西里某区域内藏羚羊的数量，先捕捉20只给它们作上标记，然后放回；待有标志的藏羚羊完全混合于藏羚羊群后，第二次捕捉40只，发现其中2只有标记，从而估计该区域有藏羚羊约有______只． 【答案】400 【解析】 【分析】此题考查了用样本估计总体，掌握总体百分比约等于样本百分比是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：该区域有藏羚羊约有400只； 故答案为400． 14. 如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接AP，如图所示， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE＝AB＝3， 由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°， ∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°， 在Rt△AFP和Rt△ADP中， ， ∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL）， ∴PF＝PD， 设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x， 在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2， ∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 15. 数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在与交点处，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出， ，根据勾股定理求解即可； 【详解】由图1及等腰三角形的性质可知， ， 如图2，， ， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，勾股定理：直角三角形有两边的平方和等于第三边的平方，熟记勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题8小题，共75分，应写出文字说明．演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了方程的解法，灵活选择解法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可． （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， 即，． 【小问2详解】 ∵， ∴， 则， ∴或， 解得，． 17. 如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段和，点，，，均在方格的格点上． （1）在方格纸中画出一个以为对角线的菱形，点在直线的下方，且点，都在方格的格点上； （2）在方格纸中画出以为边的正方形，且点，在方格的格点上； （3）连接交于点，连出和，并证明． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定，正方形的判定，相似三角形的判定． （1）在的垂直平分线上根据菱形的判定找到点，，再画出图形即可； （2）根据正方形的判定画出图形即可； （3）根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似证明即可． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，正方形即为所求； 【小问3详解】 证明：，，，， ， ， ． 18. 在一个不透明的口袋里装有四张卡片，四张卡片上分别标有数字1、2、3、4，它们除了所标数字不同之外没有其它区别． （1）若随机地从口袋里抽取一张卡片，正面所标数字不小于3的概率是为 ； （2）若一次性从口袋里随机地抽取其中的两张卡片．请你用画树状图或列表的方法求出两张卡片的数字之积为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）公式计算简单概率． （2）画树状图法计算概率． 本题考查了公式计算简单概率，画树状图法计算概率，熟练掌握解答方法是解题的关键． 【小问1详解】 ∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四张卡片，卡片的数字大于等于3的为3与4， ∴从中任取一卡片，卡片的数字不小于3的概率为： 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： ∵由上表可知，所有等可能结果共有12种，两张卡片上的数字之积为奇数的结果共2种， ∴P（数字之积为奇数）． 19. 已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且． （1）求证：； （2）如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）根据可得： （2）连接交于点，证明四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接交于点， ， ，， ∴， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， 20. 如图，有一块面积为的待加工材料，将它加工成一个矩形零件，矩形一边上的两个顶点E，F落在上，另两个顶点H，G分别在上． （1）求证：； （2）当矩形的面积为的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？ 【答案】（1）见解析 （2）矩形的长为6厘米，宽为4厘米 【解析】 【分析】（1）直接根据证明即可； （2）过点A作于点D，交于点M，由的面积为得到厘米，再由得到，设 厘米，厘米，根据得到，最后根据“矩形的面积为的面积一半”求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点A作于点D，交于点M，如图， ∵的面积为， ∴， ∵厘米， ∴厘米． ∵， ∴， ∴． 设 厘米，厘米，则 厘米， ∴ 厘米， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． ∵矩形的面积为的面积一半， ∴． ∴． 解得：， ∴， ∴厘米，厘米． 答：矩形的长为6厘米，宽为4厘米． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21. 某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是______________吨； （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 【答案】（1）60 （2）200元 【解析】 【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨． （2）设售价定为每吨元，根据利润=每吨的利润×销售量列出方程求解即可． 小问1详解】 当每吨售价是240元时，此时的月销售量是吨； 故答案为：60； 【小问2详解】 设售价定为每吨元， 由题意，可列方程． 化简得． 解得，． 当售价定为每吨200元时，销量更大， 所以售价应定为每吨200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 22. 如图，在直角坐标系中，直线BC经过点B(﹣4，0)和点C(0，3)，A点坐标为(3，0)，点P为直线BC上一点，连接AC、AP． （1）求直线BC的解析式； （2）如图，当点P在线段BC上，∠APC＝45°时，求P点坐标； （3）点P在直线BC上移动，当△APB与△BOC相似时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）当点在线段上时，得出，进而得出，设,可得，在中，，代入求解舍去正值即可求解； （3）分两种情况进行解答：①当，②当，分别求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）设直线的解析式为：， ∵直线BC经过点B(﹣4，0)和点C(0，3)， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）当点P在线段BC上， ∵C(0，3)，A(3，0)， ∴，为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 过点作轴于点， 在中，， 即， ∴(舍去正值)， ∴， 此时， ∴； （3）过点作交延长线于点， ∵，， ∴， 过点作轴于点， ∵B(﹣4，0)，C(0，3)，A(3，0)， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 过点作交直线于点， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上：当点的坐标为或时，△APB与△BOC相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 23. 如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接； （1）则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________； （2）点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由； （3）当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1）AP=CE；90°； （2），理由见解析； （3）12 【解析】 【分析】（1）证明ΔADP≌ΔCDE，可得AP=CE，∠DAP=∠DCE，从而得到AP与CE的夹角的度数是90°； （2）按照（1）的思路进行解答即可； （3）连接BD，CE，利用正方形及等腰三角形性质可得OD=2，再由勾股定理求CE及CP 的长，最后求出四边形DCPE的面积即可． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形 ∴AD = CD，DP = DE，∠ADC =∠PDE = 90°， ∴∠ADP+∠PDC =∠PDC +∠CDE= 90°， ∴∠ADP= ∠CDE， 在ΔADP和ΔCDE中 ∴ΔADP≌ΔCDE（SAS） ∴AP=CE，∠DAP=∠DCE ∴∠PCE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠DAP = 90°， ∴AP与CE的夹角的度数是90°， 故答案为：AP=CE；90°； 【小问2详解】 ， 理由：∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形， ∴AD=CD，DP=DE，∠ADC=∠PDE = 90° ∴∠ADC+∠CDP =∠CDP +∠PDE ∠ADP=∠CDE 在ΔADP和ΔCDE中 ∴ΔADP≌ΔCDE（SAS） ∴AP= CE ∵ΔADC是等腰直角三角形 ∴AC=CD ∴EC= AP=AC+CP=CD+CP； 【小问3详解】 如图，连接BD，CE， ∵四边形ABCD正方形 ∴CD = AB = 2，AC⊥BD， ∵AB = 2，ΔACB是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可知∠ACE = 90°， ∴， 由（2）可知，CE= CD + CP， ， ， RtΔCPE中，PE2 = CP2 + CE2 = 22 + 62 = 40， ∵ΔDPE是等腰直角三角形， ， ， ， 【点睛】本题考查是四边形综合题，涉及到直角三角形的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期期中测试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF=3：2，BC=6，CE的长为（ ） A. 2 B. 7 C. 4 D. 5 3. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示： 种子个数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子的个数 187 282 735 624 718 814 901 发芽种子频率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 有下面四个推断： ①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891； ②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）； ③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 7. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. AD•AB=AE•AC 8. 已知代数式取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（ ） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A. B. C. D. 9. 在周长为的正方形中，点是边的中点，点为对角线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11 若，则=_______． 12. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为，，．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是______． 13. 为估计可可西里某区域内藏羚羊的数量，先捕捉20只给它们作上标记，然后放回；待有标志的藏羚羊完全混合于藏羚羊群后，第二次捕捉40只，发现其中2只有标记，从而估计该区域有藏羚羊约有______只． 14. 如图，四边形为正方形，点E是中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________． 15. 数学活动课上，将底边12的等腰三角形按图1所示剪成三个直角三角形，这三个直角三角形按图2方式进行拼搭，其中点B，C，M，H四点处在同一直线上，且点C与点H重合，点A与点F重合，点D恰好在与交点处，则的长是________． 三、解答题（本题8小题，共75分，应写出文字说明．演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段和，点，，，均在方格的格点上． （1）在方格纸中画出一个以为对角线的菱形，点在直线的下方，且点，都在方格的格点上； （2）在方格纸中画出以为边的正方形，且点，在方格的格点上； （3）连接交于点，连出和，并证明． 18. 在一个不透明的口袋里装有四张卡片，四张卡片上分别标有数字1、2、3、4，它们除了所标数字不同之外没有其它区别． （1）若随机地从口袋里抽取一张卡片，正面所标数字不小于3的概率是为 ； （2）若一次性从口袋里随机地抽取其中的两张卡片．请你用画树状图或列表的方法求出两张卡片的数字之积为奇数的概率． 19. 已知：如图1，四边形是平行四边形，点、在对角线所在直线上，且． （1）求证：； （2）如图2，连接、，若平分，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 20. 如图，有一块面积为的待加工材料，将它加工成一个矩形零件，矩形一边上的两个顶点E，F落在上，另两个顶点H，G分别在上． （1）求证：； （2）当矩形的面积为的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？ 21. 某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨． （1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是______________吨； （2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？ 22. 如图，在直角坐标系中，直线BC经过点B(﹣4，0)和点C(0，3)，A点坐标为(3，0)，点P为直线BC上一点，连接AC、AP． （1）求直线BC的解析式； （2）如图，当点P在线段BC上，∠APC＝45°时，求P点坐标； （3）点P在直线BC上移动，当△APB与△BOC相似时，求点P的坐标． 23. 如图1，正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接； （1）则与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________； （2）点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由； （3）当点P在对角线的延长线上时，连接，若，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$