22.1.1二次函数 课时作业2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册数学22.1.1二次函数 课时作业 一、单选题 1．如图，抛物线的图象过点和，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2．若抛物线的顶点在轴上，则的值是（         ） A． B． C． D． 3．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 4．已知点，在二次函数的图象上，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上 6．下列关于抛物线y=－2(x+1)2+9的说法，正确的是( ) A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为(1，9) C．抛物线的对称轴是直线x=－1 D．抛物线经过点(0，9) 7．已知抛物线经过A（-2，），B（-1，），C（1，）三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线的开口向 ． 10．二次函数的最大值是 ． 11．将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 12．如果二次函数的图象如图所示，那么 0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）． 13．已知抛物线在的范围内能使恒成立，则的取值范围为 ． 三、解答题 14．如图，二次函数 的图象与轴交于两点，与轴交于点．点的坐标为，点的坐标为直线经过两点． (1) ， ； (2)点为轴上的动点，过点且平行于轴的直线，分别交该二次函数的图象于点（点在点的左边），交直线于点（如图）． 当点为线段的中点时，求点的坐标； 设的横坐标分别为，点的纵坐标为； 若，则的取值范围是 ． (3)若将该二次函数的图象进行适当平移，当平移后的图象与直线最多只有一个公共点时，请直接写出图象平移的最短距离，并求出平移后的二次函数图象的顶点坐标． 15．如图，在直角坐标系中，已知P（-2，-1），点T（t，0）是x轴上的一个动点． （1）求点P关于原点的对称点M的坐标． （2）已知点N（0，2）为y轴上的一点，求经过P、M、N三点的抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标． （3）点T在运动过程中，是否存在某个时刻使△MTO为等腰三角形？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由． 16． 已知：抛物线与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P． （1）求A、B、P三点坐标； （2）画出此抛物线的简图，并根据简图直接写出当时，函数值y的取值范围 17．如图，抛物线L：与轴交于，两点，点在该抛物线上，其横坐标分别为k、．分别过点C、D 作 轴的垂线，垂足分别为P、Q， 以为边构造矩形．设L被该矩形截得的部分图象（包括边界）记为G． (1)求b 的值和L的对称轴，并通过计算说明当时，点P是否在L上； (2)当L的顶点在矩形的边上时，求k的值； (3)若图象G只呈上升走势或下降走势，结合图象直接写出k 的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B C C A C 1．A 【分析】由函数图象的开口方向可知，由抛物线与y轴的交点判断c的值，当时，二次函数的值小于零，由此可求出a的取值范围，将用a表示即可得出答案． 【详解】由图象开口向上，可得， ∵图象过点， ∴， ∵图象过点， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．C 【分析】本题主要考查对二次函数的性质，二次函数的最值,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,以知抛物线的顶点在x轴上,就是顶点的纵坐标是0是解此题的关键. 【详解】∵抛物线的顶点在x轴上，∴顶点的纵坐标是0，即，解得c＝4，所以C选项是正确的. 【点睛】本题主要考查对二次函数的性质，二次函数的最值,解一元一次方程等知识点的理解和掌握. 3．B 【分析】本题考查了二次函数，正比例函数的图象与性质，根据正比例函数，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，二次函数，时，开口向上，在上，y随x的增大而减小，在上，y随x的增大而增大，时，开口向下，在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，解答即可． 【详解】解：A、正比例函数的y随x的增大而增大，故A错误； B、正比例函数的y随x的增大而减小，故B正确； C、二次函数的对称轴为，且开口向上，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故C错误； D、二次函数的对称轴为，且开口向下，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B． 4．B 【分析】由抛物线的解析式得到开口向上，对称轴为直线，利用数形结合的思想进行求解． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， A．当，则，如下图： 由图可知，不符合题意； 若，则，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ，故不正确，不符合题意； B．当，则，如下图： 由图可知，符合题意； C．当，如下图：满足， 由图象可知，，不符合题意； D．当，如下图：满足， 由图象可知，，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 5．C 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点坐标的特点，直接写出顶点坐标，再判断顶点位置． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 顶点在轴上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为． 6．C 【分析】根据抛物线的解析式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵y=－2(x+1)2+9， ∴a=-2，该抛物线的开口向下，故选项A错误， 抛物线的顶点坐标是（-1，9），故选项B错误， 抛物线的对称轴是直线x=-1，故选项C正确， 当x=0时，y=7，所以抛物线经过点(0，7)，故选项D错误. 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．A 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为，求得三点到对称轴的距离，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：抛物线，则开口向上，对称轴为， 由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大， A（-2，），B（-1，），C（1，）到对称轴的距离分别为， 所以， 故选A 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 8．C 【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3）， ∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是 ∴所得抛物线解析式是． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便． 9．上 【分析】根据二次项系数的符号即可确定答案． 【详解】解：∵其二次项系数为1，且二次项系数：1>0， ∴开口方向向上， 故答案为：上． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象的开口方向与a的取值范围有关是解题的关键．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下． 10． 【分析】本题考查二次函数的最值问题，由二次函数的顶点式根据二次函数的性质解答即可．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数，且二次项系数， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，有最大值， ∴二次函数的最大值是． 故答案为：． 11．y=x2+x﹣2 【详解】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加． 因此将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x﹣2． 故答案为：y=x2+x﹣2 12．＜ 【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与Y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，代入即可判断abc的正负． 【详解】解：∵图象开口方向向上， ∴a＞0. ∵图象的对称轴在x轴的负半轴上， ∴ . ∵a＞0， ∴b>0. ∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0. ∴abc<0. 故答案为<. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想． 13． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合分析是解题的关键．当时得到，令，即转化为在上，恒成立，再画图分析即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 令， 即转化为在上，恒成立， 而， ∴函数图象经过点， 当时，，记点， 则画图分析为： 当直线经过点时，则， 解得：， ∴要使得在上，恒成立，则， 故答案为：． 14．(1)，； (2)①；②； (3)最短距离为； 顶点坐标． 【分析】（）把，两点坐标代入解析式，从而求得，； （）可推出R在抛物线的对称轴上，进一步得出结果； 可推出或，从而得出直线在直线，之间或在轴下方，进一步得出结果； （）可以根据相对运动，假设二次函数不动，平移直线，根据得 ，当时，平移后的直线与抛物线由一个公共点，此时，进而求得图象平移的最短距离，进一步求得移动后抛物线的顶点； 本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一元二次方程的解法等知识以及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）由题意得， ， ∴ ， 故答案为：，； （2）设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵，关于对称轴对称，是的中点， ∴点的横坐标是， 当时，， 由得，，， ∵在的左边， ∴； 如图， ∵， ∴或 ， ∴或 ， ∵， ∴或， ∴直线在直线，之间或在轴下方， 由得函数的最大值是， ∴或； （3）如图， 根据相对运动，假设二次函数不动，平移直线， ∴，， ∴ 设平移后的直线的解析式为，与轴交于点， 由得，， 当时，平移后的直线与抛物线由一个公共点，公共点记作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图象平移的最短距离为， 作轴，作于， ∴， ∴顶点向先平移个单位，向左平移个单位后为． 15．（1）（2，1）；（2）y=-x2+x+2．（，）；（3）T1（-，0）；T2（，0）、T3（4，0）、T4（，0）． 【详解】试题分析：（1）关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数； （2）设经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．把点P、M、N三点的坐标分别代入函数解析式，联立方程组并解答； （3）分三种情况进行解答：①当OT=OM时，以点O为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：T1、T2； ②当OM=MT时，以点M为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：O（不合题意）、T3； ③当OM为等腰三角形的底边时，作OM的垂直平分线，交x轴于一点：T4． 结合点的坐标与图形的性质以及函数图象上点的坐标特征进行解答． 试题解析：（1）点P（-2，-1）关于原点的对称点M的坐标为（2，1）； （2）设经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．把P（-2，-1）、M（2，1）、N（0，2）代入，得 ， 解得， ∴经过P、M、N三点的抛物线的解析式为y=-x2+x+2． 又∵y=-x2+x+2=-（x-）2+， ∴抛物线的顶点坐标为：（，）； （3）∵M（2，1）， ∴OM=， ①当OT=OM时，以点O为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：T1、T2 ∴OT1=OT2=OM=， ∴T1（-，0）；T2（，0）； ②当OM=MT时，以点M为圆心，以OM为半径画圆，交x轴于两点：O（不合题意）、T3 ∵M（2，1），且OM=MT3， ∴OT3=4， ∴T3（4，0）； ③当OM为等腰三角形的底边时，作OM的垂直平分线，交x轴于一点：T4， 设OT4的长为a， ∵M（2，1）， ∴AT4=2-a，MA=1， ∴在Rt△MAT4中，MT42=（2-a）2+12， ∴（2-a）2+12=a2， 解得：a=， ∴T4（，0）． 总之，符合条件的T点存在，共有四个：T1（-，0）；T2（，0）、T3（4，0）、T4（，0）． 考点：二次函数综合题． 16．（1）A(-3，0)，B (-1，0)， P (-2，-1) （2）y>0 【详解】解：(1)求得A(-3，0)，B (-1，0)， P (-2，-1) ----------3分 (2)作图正确----------3分     当x＜-3或x>-1时，y>0----------2分 17．(1)，对称轴为直线，点P在L上 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数与特殊的四边形综合是解题的关键． （1）将代入，可求，则，对称轴为直线，当时，，即，，然后进行判断作答即可； （2）由，可知顶点坐标为，当L的顶点在矩形的边上时，由题意知，分L的顶点在边，边，边，边上四种情况求解；由边上点坐标的横坐标为0，可知L的顶点不在边上，舍去；当L的顶点在边上时，，则，可求，即；当L的顶点在边上时，则，可求；当L的顶点在边上时，，则，可求，，计算求解即可； （3）由题意知，当均在对称轴左侧时，图象G只呈下降走势，则，可求；当点在上方时，图象G只呈上升走势，令，可求或（舍去），即． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴点P在L上， ∴，对称轴为直线，点P在L上； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 当L的顶点在矩形的边上时，由题意知，分L的顶点在边，边，边，边上四种情况求解； ∵边上点坐标的横坐标为0， ∴L的顶点不在边上，舍去； 当L的顶点在边上时，， 将代入 得，， 解得，， ∴； 当L的顶点在边上时，则， 解得，； 当L的顶点在边上时，， 将代入得，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，或； （3）解：由题意知，当均在对称轴左侧时，图象G只呈下降走势， ∴， 解得，， ∴； 当点在上方时，图象G只呈上升走势， 令， 解得，或（舍去）， ∴； 综上所述，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$