广东省广州市第四中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

广东省广州第四中学2024-2025学年高二第一学期12月月考 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用120分钟. 2024.12.12 注意事项 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的． 1．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（ ） A． B． C． D． 3．已知，向量，，，且，，则的值为（ ） A． B．1 C．2 D．3 4．如图，已知三棱锥，点分别为线段的中点，且，，，用表示，则等于（ ） A． B． C． D． 5．若直线与椭圆交于点且为线段的中点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．在棱长为的正方体中，分别是的中点，则点到截面的距离为（ ） A． B． C． D． 7．是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点为，且点在以为圆心、以半虚轴长为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 8．已知曲线，则下列结论中错误的是（ ） A．曲线与直线无公共点 B．曲线与圆有三个公共点 C．曲线关于直线对称 D．曲线上的点到直线的最大距离是 二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分． 9．已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 10．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A．若，则线段的中点到轴的距离为 B．若直线的倾斜角为且过点，则 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．若直线的倾斜角为且过点，则的面积 11．已知正方体的棱长为，点满足，其中，则（ ） A．存在唯一一点，使得 B．存在唯一一点，使得 C．当时，点到平面的距离的最小值为 D．当时，三棱锥的体积的最小值为 三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分． 12．经过点且垂直直线的直线的方程是 . 13．已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 .（答案不唯一，写一个即可） 14．已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 . 四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 13分） 在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知直线过点且与曲线交于两点，求的值． 16．（本题满分15分） 某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取人的成绩（满分为分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第百分位数； （2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人，查看他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行调查分析，求这人中至少有人成绩在内的概率． 17．（本题满分15分） 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 18．（本题满分17分） 如图，在四面体中，，分别是线段的中点，点在线段上，且． （1）求证：； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，，且与平面所成的角最大，试确定点的位置． 19．（本题满分17分） “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为； 步骤3：把纸片展开，并留下下一道折痕，记折痕与的交点为； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点． 现取半径为的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸．以线段的中点为原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若点为曲线上的一点，过点作曲线的切线交圆于不同的两点． （i）试探求点到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ii）求面积的最大值． 广东省广州第四中学2024-2025学年高二第一学期12月月考 数学参考答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A D A B B D 8．【详解】 二、多选题 9 10 11 BC AC ACD 15．【详解】 三、填空题 12． 13．；；（三个任意一个都算正确） 14． 四、解答题 15．（本题满分 13分） 【详解】（1）由点到点的距离比点到直线的距离小，得点到点的距离等于点到直线的距离，因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线，所以点的轨迹的方程为． （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，，由 消去得，恒成立，，所以． 16．（本题满分15分） 【详解】（1）由频率分布直方图可得，，则，前组的频率和为， 第组频率为， 所以第百分位数位于第组内，记第百分位数为，则 ，解得，即第百分位数为． （2）由频率分布直方图可知，成绩在、、内的频率分别为、、，采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，成绩在内的有人，记为，成绩在内的有人，记为，成绩在内的有人，记为， 则从成绩在内的人随机抽取人，共有： ，共有种， 人中至少有人成绩在内，共有： ，有种， 记事件＝“人中至少有人成绩在内”，则． 17．（本题满分15分） 【详解】（1）过点且与直线垂直的直线方程为，联立 ，解得，所以， 所以圆的半径为， 所以圆的方程为． （2）由（1）可知圆的方程为，因为直线被圆截得的弦长为，所以到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 若直线的斜率存在，设方程为，则 ，即，解得或， 所以直线的方程为或． 18．（本题满分17分） 【详解】（1）取中点，连接， ∵是的中点，∴，且， 在线段上取点，使，连接、， ，∴，且， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又，， ∴． （2）∵，则，∴， 取中点，则，又，∴， 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，故 ， 则，，， 满足，所以， 故． 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 取，则，∴， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）由（2）知为中点，为中点，连接，∴， ∴点为内动点且， 又，平面平面=， ∴，故点在上， 设， 又，，， 则， ． 易知平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，则最大时，最大， ∴ ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第个点处时，与平面所成角最大． 19．（本题满分17分） 【详解】（1）由题意可知：， 则， 可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以曲线的方程为． （2）①联立方程 ，消去可得， 因为直线与曲线相切，则， 整理可得，则原方程为，解得， 将代入直线，可得， 可知，且， 则，为定值； ②由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 可得， 因为，则， 可得， 则面积， 可知当，即时，取到最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$