期末专题复习讲义02 直线和圆的方程-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义02-直线和圆的方程 《直线与方程》 一、直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 二、直线方程的5种形式 三、两条直线平行 1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 五、两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝. 六、点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 七、两平行线的距离：两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ 《圆与方程》 一、圆的标准方程：(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆 圆的一般方程：(1)圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝． (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点． ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形 二、直线与圆的位置关系的判断 1. 代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. 2. 几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 3. 定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交. 该法有一定的局限性，若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论. 三、圆与圆的位置关系及其判断 1. 代数法：设两圆的方程分别为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)， C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)，联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到 的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式Δ的值，按下列表中的标准进行判断. 2. 几何法：设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，按下列表中的标准进行判断. 考点一 直线的倾斜角与斜率 1、（24-25高二上·四川广安·月考）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 2、（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3、（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5、（24-25高二上·山东青岛·月考）（多选）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 6、（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 考点二 五种直线方程 1、直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 2、（23-24高二上·北京延庆·期中）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，截距是4； (3)经过点，点； (4)经过点，且在两坐标轴上截距的和为5． 3、（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 4、已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 5、（23-24高二上•浙江湖州期中）已知直线l经过点P（4，6）． （Ⅰ）当l在两坐标轴上的截距相等时，求l的方程； （Ⅱ）若l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，当三角形AOB的面积最小时，求l的方程． 考点三 直线过定点问题 1、（23-24高二上•四川达州期末）直线（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0恒过定点（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 2、（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 考点四 两直线平行、垂直的判定及应用 1、（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、（23-24高二上·广西百色市·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 3、（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·四川成都·月考）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 考点五 直线的交点 1、（23-24高二上·福建三明·期末）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A．B． C． D． 2、（23-24高二上·青海西宁·期末）若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 3、（2024高二上·高二课时练习）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 4（23-24高二上·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点六 三种距离公式及应用 1、（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高二上·广西桂林市荔浦县荔城中学·期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 3、（24-25高二上·辽宁·期中）两平行直线与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·广西防城港·期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 5、（23-24·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6、（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点七 直线的对称及应用 1、点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高二上·辽宁铁岭·月考）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4、直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5、（23-24高二上·北京大兴·期中）如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ） A． B． C． D． 6、（2024·高二课时练习）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 考点八 圆的标准方程与一般方程 1、（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边的垂直平分线的一般式方程； (2)求的外接圆的方程． 4、（23-24高二上·江苏·期中）（多选）设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则（    ） A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线C围成图形的面积为 C．曲线C的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值为4 考点九 直线与圆的位置关系 1、（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2、（23-24高二上·广西百色市·期末）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3、（23-24·重庆永川·高二期末）已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A． B． C． D． 4、已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A．B． C． D． 5、（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线和圆，则下列结论中错误的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 6、（23-24高二上·上海青浦·期中）若与有交点，则实数的取值范围为 . 7、（23-24高二上·江苏南京·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程． 8、（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 考点十 圆与圆的位置关系 1、已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、（23-24高二下·浙江金华·期末）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 3、已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 4、（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 5、（2024高二·全国·期末）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 6、（23-24高二上·湖南益阳·期末）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值． 考点十一 直线和圆有关的最值问题 1、（2024·全国·高二期末）已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．2 D． 2、（2024·上海浦东新·高二统考期末）已知动点在直线上，则的最小值为 . 3、（23-24高二上·湖南益阳·期末）（22-23高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·福建泉州·月考）（多选）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个 C．的最小值为 D．最大值为3 5、（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6、已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7、（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8、（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知P，Q分别是圆C：、圆D：上的动点，O是坐标原点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9、（23-24高二上·江苏徐州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为 ． 考点十二 直线和圆的综合问题 1、（23-24高二上·江苏南通·期末）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 2、（23-24·浙江舟山·高二统考期末）已知点，圆C：. (1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围； (2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值. 3、 （23-24高二上·广西贵港市·期末）已知四边形的三个顶点，，． (1) 求过A，B，C三点的圆的方程． (2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 4、（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； (3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 二、多选题 9．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 11．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为 C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为 D．若，则 三、填空题 12．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知直线：与：平行，则 ． 13．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 14．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点的横坐标为，则；　②的最大值是； ③的最小值是2；　④的最小值是． 其中，所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 16．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 17．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 18．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 19．（23-24高二上·甘肃白银·期末）在平面直角坐标系中，已知圆和圆. (1)若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (2)是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义02-直线和圆的方程 《直线与方程》 一、直线l的倾斜角α与斜率k的对应关系 直线情况 垂直于y轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0，且随着α的增大而增大 不存在 k<0，且随着α的增大而增大 二、直线方程的5种形式 三、两条直线平行 1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 五、两点间距离公式的理解 (1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝. 六、点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 七、两平行线的距离：两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ 《圆与方程》 一、圆的标准方程：(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆 圆的一般方程：(1)圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝． (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点． ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形 二、直线与圆的位置关系的判断 1. 代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. 2. 几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 3. 定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交. 该法有一定的局限性，若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论. 三、圆与圆的位置关系及其判断 1. 代数法：设两圆的方程分别为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)， C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)，联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到 的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式Δ的值，按下列表中的标准进行判断. 2. 几何法：设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，按下列表中的标准进行判断. 考点一 直线的倾斜角与斜率 1、（24-25高二上·四川广安·月考）（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 【答案】BCD 【解析】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误；故选:BCD. 2、（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，，即的范围为，， 又由，则故选：C. 3、（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【解答过程】由题知，直线的倾斜角为，则， ，， 且直线与连接点，的线段总有公共点， 如下图所示， 则，即， . 故选：B. 4、（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，而， 故直线的取值范围为，故选：A. 5、（24-25高二上·山东青岛·月考）（多选）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 【答案】BC 【解析】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴故选：BC 6、（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 考点二 五种直线方程 1、直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 【答案】B 【分析】根据直线方程求出斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角，然后令可求出直线在y轴上的截距. 【详解】由直线可得其斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，即倾斜角为， 当时，，得， 所以直线在y轴上的截距为， 故选：B 2、（23-24高二上·北京延庆·期中）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，截距是4； (3)经过点，点； (4)经过点，且在两坐标轴上截距的和为5． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式 ； （2）截距为分为在轴上截距为和在轴上的截距为，根据条件写出直线方程； （3）写出直线的两点式方程，化为一般式； （4）分析直线在轴、轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式. 【详解】（1）由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得. （2）由直线倾斜角是得直线斜率为， 当直线在上截距是4，即过点时，直线方程为，整理得， 当直线在上截距是4时，直线方程为，整理得， 综上得，直线方程为. （3）由条件得直线的两点式方程为：，整理得. （4）由题意得，直线在轴上的截距为，故在轴上的截距为， 所以直线的截距式方程为，整理得. 3、（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    4、已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解； （2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为， 又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为. （2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即； 当直线不过原点时，可设直线的方程为， 因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 5、（23-24高二上•浙江湖州期中）已知直线l经过点P（4，6）． （Ⅰ）当l在两坐标轴上的截距相等时，求l的方程； （Ⅱ）若l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，当三角形AOB的面积最小时，求l的方程． 【分析】（Ⅰ）l在两坐标轴上的截距相等，当直线不经过原点时，设它的方程为x+y＝n，把点P（4，6）代入，能求出l的方程；当直线过原点时，设它的方程为y＝kx，把点P（4，6）代入，能求出l的方程，由此能求出直线l的方程． （Ⅱ）设直线l的方程为，则，从而，ab≥96，由此能求出结果． 【解答】解：（Ⅰ）∵l在两坐标轴上的截距相等， 当直线不经过原点时，设它的方程为x+y＝n，把点P（4，6）代入可得n＝10， 故l的方程为x+y＝10，即x+y﹣10＝0．……………………………（3分） 当直线过原点时，设它的方程为y＝kx，把点P（4，6）代入可得， 故l的方程为，即3x﹣2y＝0．……………………………………（5分） 综上可得，直线l的方程为x+y﹣10＝0或3x﹣2y＝0． （Ⅱ）设直线l的方程为，则．………..（6分） ∴得ab≥96，当且仅当a＝8，b＝12时，等号成立，………..（8分） 此时△AOB面积最小，最小值为48． ∴直线l的方程为，即3x+2y﹣24＝0．…………………（10分） 考点三 直线过定点问题 1、（23-24高二上•四川达州期末）直线（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0恒过定点（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 【分析】根据直线的方程，建立二元一次方程组，再求出定点的坐标． 【解答】解：直线（a﹣1）x﹣（a+1）y+2＝0， 整理得a（x﹣y）﹣（x+y+2）＝0； 故，解得， 故恒过定点（1，1）． 故选：A． 2、（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【详解】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 3、（23-24高二上·四川凉山·期中）已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线方程直接确定其所过的定点即可； （2）根据直线所过定点及不过第二象限，直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由化为， 当时，无论a取何值都有． 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限， 故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正， 所以，只需直线的斜率，即. 考点四 两直线平行、垂直的判定及应用 1、（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用必要不充分条件判断. 【解答过程】由，所以， 即，解得或， 所以充分性不成立， 当时，， 所以，故必要性成立， 所以“”是“”必要不充分条件， 故选：B. 2、（23-24高二上·广西百色市·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为直线和平行，所以，解得或； 当时，此时直线和平行，满足题意； 当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去. 综上所述：.故选：A. 3、（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 4、（23-24高二上·四川成都·月考）已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. （2）因为平行于直线所以斜率. 所求直线方程为，即. 考点五 直线的交点 1若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得. 【详解】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 2、（23-24高二上·青海西宁·期末）若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程 得交点， 由交点在第一象限知： 解得 ， 即是锐角，故 ，选C. 3、（2024高二上·高二课时练习）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 【解题思路】先排除平行与重合情况，再排除交于一点的情况，最后给出答案. 【解答过程】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点. ①若，则由，得. ②若，则由，得. ③若，则由，得. 当时，与三线重合，当时，平行. ④若三条直线交于一点，由解得 将的交点的坐标代入的方程， 解得（舍去）或. 所以要使三条直线能构成三角形，需且. 故选：D. 4（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 考点六 三种距离公式及应用 1、在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出的交点坐标，然后根据点到点的距离公式求解出结果. 【详解】因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为， 故选：C. 2、（23-24高二上·广西桂林市荔浦县荔城中学·期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 【答案】D 【详解】因为点到直线的距离为1，所以,解得或5. 故选:D. 3、（24-25高二上·辽宁·期中）两平行直线与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两直线平行求出，再代入两平行直线间距离公式求解即可； 【详解】由题意知，所以， 则化为， 所以两平行直线与之间的距离为． 故选：C． 4、（23-24高二上·广西防城港·期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【答案】C 【详解】根据点到直线距离公式和已知可得，解得.故选：C 5、（23-24·河南周口·高二校联考阶段练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【解答过程】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故选：C． 6、（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 考点七 直线的对称及应用 1、点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点关系可得，根据斜率关系可得，解方程组求解，即可． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 2、（23-24高二上·辽宁铁岭·月考）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即.故选：D. 3、（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 4、直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解. 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 5、（23-24高二上·北京大兴·期中）如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知直线的方程为， 设点关于直线的对称点， 则且，解得，即， 又点关于轴的对称点， 由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线， 所以光线所经过的路程长为 .故选：B. 6、（2024·高二课时练习）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【解题思路】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【解答过程】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 考点八 圆的标准方程与一般方程 1、（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为,所以圆心的坐标为.故选:C. 2、（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】圆关于直线对称,即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得.故选：D 3、（23-24高二上·江苏常州·期中）已知的顶点为，，． (1)求边的垂直平分线的一般式方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）设的外接圆的方程为，将该三角形的三个顶点坐标代入所求圆的方程，可得出关于的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的外接圆的方程. 【详解】（1）设中点为，所以，即， 由题意得，所以边上高的斜率为2， 又因为的垂直平分线过点， 所以的垂直平分线的方程为：，即． （2）设的外接圆的方程为． 将A，B，C三点坐标代入上式得，解得， 所以圆M的方程为，即． 4、（23-24高二上·江苏·期中）（多选）设曲线C的方程为x2＋y2＝2|x|－2|y|，则（    ） A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线C围成图形的面积为 C．曲线C的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值为4 【答案】ABD 【分析】根据方程特点分类讨论分别画出图像，然后逐个判断即可. 【详解】当时方程为， 当时方程为， 当时方程为， 当时方程为， 如图所示，   ， 对于A：易知曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B：因为曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称， 所以只需要计算第一象限内图像的面积即可， 因为，且圆的半径，所以弦心距， 所以所对的圆心角为， 所以该图形为圆心角为的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形， 所以，所以总面积为，B正确； 对于C：第一象限内的图形是圆心角为的扇形的弧长，所以， 所以曲线C的周长为，C错误； 对于D：曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确， 故选：ABD 考点九 直线与圆的位置关系 1、（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】利用直线和圆的位置关系求解参数范围即可. 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为2， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离，解得. 故选：AB 2、（23-24高二上·广西百色市·期末）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由圆心为原点，则圆心到直线距离，又， 所以 .故选：C 3、（23-24·重庆永川·高二期末）已知直线：是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先计算得圆心，，再利用计算即可. 【解答过程】圆：，即， 则圆心，， 由题知直线过圆心， 则，，则， ， 故选：C． 4、已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 5、（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线和圆，则下列结论中错误的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】D 【分析】对于A，只需将直线的方程整理成关于的方程，依题即得；对于B，因A项得到的直线过的定点恰在圆内，故直线必与圆相交；对于C，利用两直线垂直可求得，即说明存在这样的直线；对于D，利用直线过的定点恰在圆内，只需使时即得最短弦长. 【详解】对于A项，由直线方程可整理为：， 因,故需使，即直线过定点，故A项正确； 对于B项，由A项知直线过定点，而该点到圆心的距离为， 而，即点A在圆内，故直线与圆有两个交点，故B项正确； 对于C项，直线的斜率为，直线的斜率为， 由可得，即时，，故C项正确； 对于D项，如图，因直线过定点，要使直线被圆截得的弦长最短，需使弦心距最长， 易知当且仅当时弦心距最长，此时弦心距即为，最短弦长为，故D项错误. (说理如下：过点作直线，交圆于点,过点作，垂足为， 在中，显然,而, 其中为圆的半径，则易得，即是直线与圆相交最短的弦长) 故选：D. 6、（23-24高二上·上海青浦·期中）若与有交点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为1的下半圆， 又由直线恒经过定点， 因为曲线与轴的交点分别为， 可得， 要使得与有交点，可得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7、（23-24高二上·江苏南京·期末）已知以点为圆心的圆与直线相切．过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或． 【解析】（1）设圆A的半径为r，由题意知， 圆心到直线l的距离为，即， 所以圆A的方程为； （2）当直线与x轴垂直时，直线方程为，即， 点A到直线的距离为1，此时，符合题意； 当直线与x轴不垂直时，设，即， 取的中点Q，连接，则， 因为，所以， 又点A到直线的距离为， 所以，解得，所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 8、（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或. 考点十 圆与圆的位置关系 1、已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 2、（23-24高二下·浙江金华·期末）若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由题意得圆与圆只有一个交点， 可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或， 当两圆内切时，解得或， 当两圆外切时，无解，结合选项 故选：D 3、已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 【答案】B 【分析】求出两圆的圆心和半径，再由两圆外切列方程可求得结果. 【详解】由，得， 所以圆心，半径， 由，得， 所以圆心，半径， 因为圆与圆外切， 所以，即， 所以，得， 故选：B 4、（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程： . 【答案】（或，填一条即可） 【分析】先判断出圆与圆相交，作出图象，结合图象可得一条公切线方程为，另一条公切线与直线关于直线对称，用点斜式设出另一条直线，则有，求解即可. 【详解】解：由已知得到两圆的圆心分别为,半径分别为. 因为，所以5，圆与圆相交， 则圆与圆的公切线有两条， 如图所示： 根据图象可以直接观察出一条公切线方程为， 直线的方程为， 根据图形的对称性知另一条公切线与直线关于直线对称. 易知直线与直线的交点为， 设另一条公切线的方程为， 即，原点到其距离为， 所以，则另一条公切线的方程为. 故答案为：（或，填一条即可） 5、（2024高二·全国·期末）已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求两圆圆心和半径，结合两圆的位置关系分析判断； （2）根据题意求两圆圆心和半径，假设存在，结合两圆的位置关系分析运算即可. 【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 可得两圆的圆心距， 且，，则，所以圆和圆相交. （2）不存在，理由如下： 圆的方程可化为，则，半径. 由（1）可知：，半径. 假设存在实数m，使得圆和圆内含， 则圆心距， 整理得，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆和圆内含 6、（23-24高二上·湖南益阳·期末）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． (1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； (2)求线段中点的轨迹方程； (3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值． 【答案】(1)，过定点， (2) (3) 【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可； （2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进而求得方程即可； （3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可. 【详解】（1），，， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 则直线的方程为，即， 经判断直线过定点，即所以直线过定点 （2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点， 设的中点为点，直线过的定点为点， 易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆点，半径，且不经过. 点的轨迹方程为 （3）设切线方程为，即， 故到直线的距离，即， 设，的斜率分别为，，则，， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为． 考点十一 直线和圆有关的最值问题 1、（2024·全国·高二期末）已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．2 D． 【解题思路】点关于轴的对称点为，则求出最小值即可得出答案. 【解答过程】点关于轴的对称点为，则， 所以， 的最小值为. 故选：B. 2、（2024·上海浦东新·高二统考期末）已知动点在直线上，则的最小值为 . 【解题思路】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值. 【解答过程】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 3、（23-24高二上·湖南益阳·期末）（22-23高二上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，然后求出关于直线的对称点，进而根据圆的性质求出到圆上的点的最短距离即可. 【详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：    设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点， 因为，所以线段的中点为，则即， 又，联立解得：，即，所以总路程， 要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离， 即为. 故选：B. 4、（23-24高二上·福建泉州·月考）（多选）已知点，，且点在直线：上，则（    ） A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个 C．的最小值为 D．最大值为3 【答案】BCD 【解析】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当PN斜率不存在时，，此时， 则，即与不垂直； 当且时，，， 若，则，即， 由于，方程无解，故与不垂直； 综合可知不存在点，使得，A错误； 对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上， 则P点横坐标为，此时； 当M为等腰的顶点时， 由于点M到直线：的距离为， 故直线l上必存在两点满足，设这两点为， 由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2， 故和M，N不共线，适合题意， 由于N点到直线：的距离为， 故以N点为顶点的等腰不存在， 综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确； 对于C，设点关于直线l的对称点为， 则，解得，即， 故, 当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号， 即的最小值为，C正确； 对于D，如图，， 当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立， 即最大值为3，D正确，故选：BCD 5、（23-24高二上·江苏宿迁·期中）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 6、已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将最小转化为，根据点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由得， 所以圆心，半径， 在中， ， 当最小时，最小，最大，最小，此时， 的最小值为圆心到直线的距离：，此时，， 因为，所以，所以圆心到直线的距离为， 所以两平行直线与之间的距离为， 因为原点到直线的距离为， 所以原点到直线的距离为. 故选：A 7、（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点，根据垂径定理可得点的轨迹方程，进而可得的取值范围，又，即可得解. 【详解】设中点，则，， 所以， 即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以，， 所以， 又， 所以的最大值为， 故选：A. 8、（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知P，Q分别是圆C：、圆D：上的动点，O是坐标原点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，根据阿氏圆，三角形相似得到，故，结合图形得到最小值为，得到答案. 【详解】因为，取，则，， 所以，又， 所以∽，故，， 则， 连接，与圆相交于点，与圆相交于点， 此时取得最小值， 最小值为. 故选：D 9、（23-24高二上·江苏徐州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取点，得到，，计算得到答案. 【详解】如图所示：圆心为，取，则，，    故，， ， 当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立， 故答案为：. 考点十二 直线和圆的综合问题 1、（23-24高二上·江苏南通·期末）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程； （2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程. 【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为 又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为， 即 （2）由，解得点A的坐标为 因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又， 从而矩形ABCD外接圆的方程为 2、（23-24·浙江舟山·高二统考期末）已知点，圆C：. (1)若过点.A可以作两条圆的切线，求m的取值范围； (2)当时，过直线上一点P作圆的两条切线PM､PN，求四边形PMCN面积的最小值. 【解题思路】（1）利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答； （2）首先得到，再根据点到直线的距离公式求出的最小值，最后得到四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）由题意得在圆外，则，即 又，即或 所以或. （2）时，圆方程为，则圆的半径，圆心， 直线方程为，设圆心到直线的距离为， ， 3、 （23-24高二上·广西贵港市·期末）已知四边形的三个顶点，，． (1) 求过A，B，C三点的圆的方程． (2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 【详解】（1）方法一：因为，，，则，， 由，得，则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点， 半径，所以过A，B，C三点的圆的方程为； 方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为，则，解得， 故过A，B，C三点的圆的方程为，即. （2）设，由题意可得：，， 因为线段上靠近点A的三等分点为E，则，则，解得， 即． 方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点， 所以直线l的方程为，整理得； 方法二：设l与相交于点，则，由直线l平分四边形的面积， 可得，则，解得，即， 所以直线l的方程为，整理得. 4、（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知的三个顶点，，，其外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程； (3)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在分别讨论，设出直线方程，再由直线过点C，且被圆H截得的弦长为2，列式求解即可； （3）设，，圆：，将点，代入圆，若，存在，则方程组有解，即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点，根据两圆位置关系可知，由不等式组即可求得圆的半径的取值范围，再由点P在圆外，综合可得的范围. 【详解】（1）解：由题意，，，，的垂直平分线是， 又，的中点是， 的方程为， 的垂直平分线是，即， 由，解得，所以圆心是，， 圆的方程是； （2）解：弦长为，圆心到的距离． 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意． 当直线的斜率存在时，设，即， 则，，的方程为； 综上，直线的方程是或； （3）解：因为，， 所以直线的方程为，即， 设，因为点在线段上， 所以且，所以. 设，因为为的中点， 所以. 设圆：， 由，在圆上得， 整理得. 若，存在，则方程组有解， 即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点. 根据两圆位置关系可知， 即在时恒成立， 所以， 整理得在时恒成立， 所以. 设，， 所以， 所以，即，解得 若为的中点，则点在圆外， 所以， 即在上恒成立， 所以， 综上所述， 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，直线，若当的值发生变化时，直线被圆所截得的弦长的最小值为，则实数的取值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系内，曲线与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 二、多选题 9．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 11．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为 C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为 D．若，则 三、填空题 12．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知直线：与：平行，则 ． 13．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 . 14．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点的横坐标为，则；　②的最大值是； ③的最小值是2；　④的最小值是． 其中，所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 16．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 17．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 18．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 19．（23-24高二上·甘肃白银·期末）在平面直角坐标系中，已知圆和圆. (1)若直线过原点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程； (2)是否存在点满足过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案： 1．D 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 2．B 【分析】根据直线平行求出即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 3．A 【分析】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即可求解. 【详解】若，则圆心到直线的距离， 则圆上恰有两个点到直线的距离等于， 反过来，若圆上恰有两个点到直线的距离等于， 则，即或，不一定， 所以是圆上恰有两个点到直线的距离等于的充分不必要条件. 故选：A 4．D 【分析】分析可知直线过圆心，代入解得，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】圆可化为． 可知圆心为，半径， 因为圆关于对称，即直线过圆心， 则，解得， 可得，且， 所以． 故选：D． 5．C 【分析】求出圆心到直线距离的最大值，结合勾股定理可求得的值. 【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为， 直线交轴于点，当直线与垂直时， 此时，，原点到直线的距离取最大值，即， 因为直线被圆所截得的弦长的最小值为，即，解得. 故选：C. 6．C 【分析】首先画出图形，找出点关于直线的对称点，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示： 设点与点关于直线对称， 则，解得，即， 所以， 其中分别为圆的圆心和半径， 等号成立当且仅当分别与重合，其中分别为线段与直线和圆的交点， 综上所述，的最小值为. 故选：C. 7．D 【分析】根据题意不妨取，进而求点的轨迹方程，结合方程分析求解. 【详解】对于曲线，令，即， 可得，不妨取，可知， 设，因为，则， 整理得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以面积的最大值是. 故选：D. 8．D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 9．AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 10．AD 【分析】根据题意，对y分类讨论，画出图形，对于A,找出最大值，运用两点间距离求解；对于B,对m分类讨论，解方程可解；对于C,作出临界状态的切线，求出切线方程即可；对于D,找出封闭图形，借助扇形和三角形面积公式计算. 【详解】曲线.当， 当. 曲线可以看作是以点和为圆心，半径为的两段优弧组成，构成“8”字形， 不含圆的虚线部分，如图., 对于A,曲线上两点间的最大距离为,故A正确. 对于B,因为点在曲线上，将点代入曲线方程. 当时，，解得或. 当时，，展开解得.此时无解. 所以或，选项B错误. 对于C,直线与曲线有公共点,则如图在切线a，b之间即可. 当直线与上圆切时，则，解得，则. 同理，可得当直线与下圆切时，求得，则. 则，选项C错误. 对于D,在，则，则, 则扇形的面积为. 直角三角形的面积为. 则弓形面积为. 圆的面积为：. 曲线C所围成的封闭图形的面积为两个圆的面积减去两个弓形面积即可. 即为.选项D正确. 故选：AD. 11．AB 【分析】结合点到直线的距离公式依次判断即可. 【详解】对于A项，圆的标准方程为：， 圆心为，半径， 因为直线与圆M交于C，D两点，所以圆心M到直线l的距离， 即，解得， 所以的取值范围是，故A项正确； 对于B项，若直线l经过圆M的圆心，则，解得，故B项正确； 对于C项，当直线l过原点O时，则，得直线， 则圆心M到直线l的距离， 得圆M上的动点到直线l的最大距离为：，故C项错误； 对于D项，因为，所以为等边三角形， 则圆心M到直线CD的距离为：，所以， 得或，故D项错误， 故选：AB 12．/0.2 【分析】由两条直线平行的充要条件，可得的值． 【详解】因为两条直线平行，所以，解得． 故答案为：． 13． 【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求. 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，. 14．①②④ 【分析】对于①,求出的坐标即可判定为正确；对于②，利用圆的参数方程和辅助角公式即可判定正确；对于③④，利用绝对值放缩和绝对值不等式即可判定③错④对. 【详解】对于①，由题得出的纵坐标为，所以，故①正确； 对于②，设，，则，结合对称性，取 分析即可， 此时，显然当时，取最大值，故②正确； 对于③，设，则， 当的时候等号成立，所以的最小值是，故③错误； 对于④，设，，，则 ，其中， 所以当时，取最小值，此时，故④正确； 故答案为：①②④. 15．(1) (2)或2 【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可. （2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 16．(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 17．(1) (2)或 【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为， 因为直线，半径为的圆与相切， 则，因为，解得，因此，圆的方程为. （2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为， 合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18．(1) (2) 【分析】（1）画出图形，得出，进一步由三角形三边关系得出的最值，由此即可顺利得解. （2）由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于的不等式，解不等式即可得解. 【详解】（1）    设中点为点，连接、、、， 由，得，则圆内含圆， 由垂径定理得：，，由切线可得， 可得（当且仅当直线为时都取等）， （当且仅当直线为时都取等）， 所以，于是，解得. （2）取中点，连接、、.    当时，和重合，由于，则， 而，， 则，解得：，当且仅当在线段上时取等， 所以的最大值为. 19．(1)和 (2)存在，或 【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在与否，利用圆的弦长公式与点线距离公式列式求解即可； （2）假设存在满足条件的点，分析得两圆心到对应直线的距离相等，从而得到关于的关系式，利用的任意性求得的值，再检验两直线斜率一个为0，另一个不存在的情况，从而得解. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线即是轴， 此时直线被圆截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由直线被圆截得的弦长为6，所以到直线的距离为， 则，解得，即直线为； 综上，直线的方程为和. （2）存在满足条件的点，点坐标为或，理由如下： 假设存在满足条件的点， 因为圆的圆心为，半径为， 设，因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等， 又两圆半径相等，所以圆心到直线与到直线的距离相等，    当两直线斜率存在且不等于0时， 设直线的方程分别为， 即. 故有， 整理得或， 因为关于的方程有无穷多解， 所以或，解得或， 故点的坐标为或； 当两直线斜率一个为0，另一个不存在时，点的坐标和也适合； 综上可知，存在点满足条件，此时点的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$