第四章数列期末专题复习讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义04-数列 一、等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． (2)等差中项 若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 二、等比数列 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a. (3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 三、数列求通项 类型一：数列求通项（法、法） 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 类型二：累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 类型三：累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 类型四：构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 类型五：倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 类型六：隔项等差数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 类型七：隔项等比数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 四、数列求和 类型一：倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 类型二：分组求和法 1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 类型三：裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 4、通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 类型四：错位相减法 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 类型五：奇偶项讨论求和 1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 2、通项含有的类型；例如： 考点一 等差数列的基本量及性质的计算 1、（23-24高二上·北京通州·期末）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A, 2、（24-25高二上·江苏镇江·期末）等差数列中，若，，则等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，由，，得， 所以.故选：C 3、（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以， 故选：A 4、（23-24高二上·河北保定·期末）在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】依题意，令这个等差数列为，，， 则，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 5、（24-25高二上·福建龙岩·期末）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（    ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，.故选：. 6、（23-24高二上·北京·期末）（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 7、（23-24高二上·广东东莞·期末）已知数列满足，. (1)求､､； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析，. 【详解】（1）由得， 代入，n依次取值2，3，4，得 ，，. （2）证明：由变形，得， 即，所以是等差数列. 由，所以，变形得， 所以. 考点二 等差数列的前项和及性质的计算 1．（23-24高二上·天津河西·期末）已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【详解】若公差，如数列，，，，…，0，1，2，…，则数列的前项和先减再增； 若是递增数列，如，则为常数列也为等差数列，且； 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D项正确. 故选：D. 2、（24-25高二上·辽宁·月考）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即， 所以．故选：A. 3、（23-24高二上·福建三明·期末）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】由等差数列的性质可得，从而得，由，结合条件得到，即可求解． 【详解】因为，，所以，故等差数列的公差， 又，又，， 得到，， 所以取得最小正值时，的值为， 故选：C. 4、（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该等差数列中有项，其中偶数项有项，奇数项有项， 设等差数列的前项和为，则， 为等差数列，，，解得， ，此数列的项数是项.故选：. 6、（23-24高二上·河南郑州·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为， 依题意， 所以异号，而，所以，，A选项正确. 则， 所以，B选项正确. 由于，则，所以等差数列的前项为负数， 从第项起为正数，所以当时，最小，所以C选项错误. ， 所以当时，n的最大值为10，所以D选项正确. 故选：ABD 7、（23-24高二上·浙江金华·期末）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15 【答案】A 【详解】由，， 所以，数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：A 8、（23-24高二上·江西南昌·期末）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 【答案】C 【详解】∵在等差数列中，，，也成等差数列， ∴， ∴，∴． 故选:C. 9、（23-24高二上·湖南岳阳·期末）（多选）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．使的的最小值为11 【答案】ABD 【详解】对于AC，由题意可得，解得，故A正确，C错误； 对于B，， 所以，当时，取到最小值，故B正确； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为11，故D正确. 故选：ABD 10、（24-25高二上·湖北期末）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)6 (3) 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 考点三 等比数列的基本量及性质的计算 1、（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】验证甲是否能推出乙，甲的意思是该数列隔项成等比数列， 甲可构造数列， 显然甲推不出乙，验证乙是否能推出甲， 因为数列是等比数列，所以，， 所以， 所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 2、（23-24高二上·江苏南通·期末）设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 【答案】A 【解析】因为等比数列满足，可得，解得， 又因为，，成等差数列，可得， 所以，解得或（舍去）， 所以.故选：A. 3、（23-24高二上·福建厦门·期末）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（       ） A． B．1011 C． D．1012 【答案】C 【详解】因为等比数列中的，是方程的两个根， 所以，根据等比数列性质知， ， 因为，于是， 则 = =.故A，B，D错误. 故选：C. 4、（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】等比数列中若，，则.我们先根据此条性质和已知条件求出的值,最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 5、（24-25高二上·江苏南京·期中）已知等比数列满足，则的最小值为（   ） A．48 B．32 C．24 D．8 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据等比数列的性质得到，，然后利用基本不等式即可得到结论． 【详解】由，得，解得， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 6、（23-24高二上·广东深圳·期末）（多选）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】AB 【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 考点四 等比数列的前项和及性质的计算 1、（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意可知， 因为，， 所以，， 两式相除得，即， 因为，所以.故选：B 2、（23-24高二上·海南·期末）已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B．4或 C． D． 【答案】D 【解析】由成等差数列，得， 设公比为，若，此时，此时不满足； 若，则， 故，即， 由于，故，解得或1（舍去）， 所以，故选：D 3、（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列的前项和，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】时，， 又，数列等比数列， ∴，即，解得．故选：D． 4、（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（       ） A． B． C．12 D．15 【答案】C 【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列， 又，故可得即， 解得或，因为等比数列各项为正，所以， 故选：C 5、（23-24高二上·湖北武汉·期末）（多选）数列是公比为的等比数列，为其前项和，为其前项积．已知，，则（    ） A． B．当或4时，取得最大值 C．当时，取得最大值 D．当取得最小值时， 【答案】AB 【详解】由题意知，则． 若，则， 所以， 即，，无实数解； 若，则，所以， 即，又， 所以，故A正确； ，， 则，，，，，， 因此， 又当时，， 所以当时，， 又，，，，，， 所以当或时，取得最大值，故B正确； 当或时，取得最小值，故C，D错误． 故选：AB. 6、（23-24高二上·北京通州·期末）（23-24高二下·广东佛山·月考）设等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】21 【解析】设，则. 因为为等比数列，所以仍成等比数列. 又，所以，即， 所以， 故答案为：21. 考点五 数列求通项 1、（23-24高二上·北京·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系即可作差求解. 【详解】由可得， 两式相减可得， 当时，， 故， 故答案为： 2、（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）在数列中，， ，则通项公式 ． 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】根据题意，利用累加法即可求解. 【详解】∵， ∴， ， ， … . 以上个等式相加，得． ． 检验：当时，也成立. 所以，数列的通项公式. 故答案为：. 3、（23-24高二上·江苏扬州·期末）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】当时，由已知的等式可得，与已知的等式相减化简可得，然后利用累乘法可求出. 【详解】由于数列中，，前项和， 所以当时，， 两式相减可得：， 所以， ， 所以， 所以， 所以 ， 符合上式， 因此. 故答案为： 4、（23-24高二上·福建宁德·期末）若数列满足，，，则数列的前项和 . 【答案】 【知识点】分组（并项）法求和、构造法求数列通项 【分析】根据数列的递推式构造新数列，使所构造的新数列是等比数列，从而可得，再运用分组求和可得. 【详解】由得， 所以数列是以3为公比的等比数列，其中首项， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 5、（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、等比数列的定义、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算. 【详解】解法一：设，整理得，可得， 即，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：， 整理得，且， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即； 解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即， 当时，则 ， 故， 显然当时，符合上式，故. 故答案为：. 6、（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项、构造法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】利用数列递推式，可得数列是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求的最小值． 【详解】解： ， 数列是以10为首项，1为公差的等差数列 在上单调递减，在上单调递增 时，取得最小值为 故答案为： 考点六 数列求和 1、（23-24高二上·江西赣州·期末）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】倒序相加法求和、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求和即可． 【详解】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 2、（23-24高二上·河南信阳·期末）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比及首项即可. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由及， 得， 解得，于是，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 . 3、（23-24高二上·湖南 张家界·期末）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）由题可知数列是公差为2为等差数列，求出首项即可写出通项； （2）先求出数列的通项，再用裂项求和的方法求前项和. 【详解】（1）由可知数列是以公差的等差数列, 又得， 解得, 故， 即. （2）因为, 所以    4、（24-25高二上·福建宁德·期末）已知数列的前n项和为，且，．设． (1)求证：数列是等比数列，并求． (2)求证：数列是等差数列，并求． (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析，；(3) 【解析】（1）数列的前n项和为，且，． 则时， 两式相减得，即， 令，则，故． 又，，则，则. 则数列是首项为2公比为2的等比数列，故. （2）由（1）可得，，， 则，等式两边同时除以可得，， 又，则数列是首项为公差为的等差数列， 故，则 （3）由（2）得，则， 令， 则， 上式减去下式得， 则 5、（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n项和公式构成方程组即可求得的通项公式； （2）将原式变形为，再利用裂项相消法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为． 因为，所以， 化简得，所以 所以数列的通项公式为； （2）， 整理得， 所以， 整理得 6、（23-24高二上·山西大同·期末）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得. 【详解】（1）由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. （2）由（1）知，，则，， 当为正奇数时，，；当为正偶数时，，， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，， 所以. 7、（23-24高二上·河北·期末）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出，进而可求出公比，即可得解； （2）分和两种情况讨论，结合等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 因为与的等比中项为2，所以， 则，解得（舍去）， 所以，所以（舍去） 所以； （2）由（1）得， 令，则， 令，则， 当时，， 当时， ， 综上所述，. 考点七 等差等比数列综合 1、（23-24高二上·山东济南·期末）已知数列满足单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 又单调递增，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，又单调递增， 所以对任意正整数恒成立， 所以，得， 故选：D. 2、（23-24高二上·陕西西安·期末）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列中的项为：2，4，8，16，32，64，128，256，， 经检验，数列中的奇数项都是数列中的项， 即2，8，32，128，可以写成的形式，观察归纳可得， 所以， 故选：C． 3、（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，且则的值为（    ） A．1023 B．1461 C．1533 D．1955 【答案】B 【详解】由题意：， . 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以. 所以， . 所以. 故选：B 4、（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选）数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．已知等差数列的前n项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【详解】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故 A正确； 选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确. 故选：ACD 5、（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知等比数列的首项，在中每相邻两项之间都插入个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列，则（   ） A． B．当时， C．当时，不是中的项 D．若是数列中的项，则 【答案】ABD 【详解】对A：易知，故A正确； 对B：当时，为等比数列，设公比为，且，，所以， 所以，所以，故B正确； 对C：当时，，所以是数列的第7项，故C错误； 对D：对数列，，，则公比， 所以，所以， 由是数列中的项，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 6、（23-24高二上·河南南阳·期末）正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为 【答案】2 【详解】设公比为，且， ，由成等差数列， 得：， ， ， ，， ， ，，令， ， ， 时，上式有最小值. 故答案为：2. 7、（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，， (1)求和的通项公式： (2)记，证明： 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解， （2）由放缩法与错位相减法求和证明． 【详解】（1）对于等差数列，，而，解得，故， 对于等比数列，，则，而公比，解得，故 （2），则 令，则， 两式相减得， 得，故，原式得证 8、（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知数列中，，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 解析：(1)， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以. (2) ， 若对于恒成立，即， 可得即对于任意正整数恒成立， 所以，令，则， 所以，可得，所以， 所以的取值范围为 9、（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列的前项和,对任意正整数,总存在正数使得, 恒成立：数列的前项和,且对任意正整数, 恒成立. （1）求常数的值； （2）证明数列为等差数列； （3）若,记 ,是否存在正整数,使得对任意正整数, 恒成立,若存在,求正整数的最小值,若不存在,请说明理由. 【解析】（1）∵① ∴②,, ①-②得： ,即, , 又 ∴, , 时, ； 时, . ∵为正数 ∴. 又∵, ,且 ∴. （2）∵③ ∴当时, ④, ∴③-④得： ,即⑤, 又∵⑥ ∴⑤+⑥得： ,即 ∴为等差数列. （3）∵, ,由（2）知为等差数列 ∴. 又由（1）知, ∴ , 又∵ , ∴ ,[来源:学科网] 令得, ∴,解得, ∴时, ,即, ∵时, , ∴,即. 此时,即, ∴的最大值为 若存在正整数,使得对任意正整数, 恒成立,则, ∴正整数的最小值为4. 10、（23-24高二上·北京·期末）若数列同时满足：①对于任意的正整数, 恒成立；②对于给定的正整数, 对于任意的正整数恒成立,则称数列是“数列”. （1）已知判断数列是否为“数列”,并说明理由； （2）已知数列是“数列”,且存在整数,使得, , , 成等差数列,证明： 是等差数列. 【解析】（1）当为奇数时, ,所以. . 当为偶数时, ,所以. . 所以,数列是“数列”. （2）由题意可得： , 则数列, , , 是等差数列,设其公差为, 数列, , , 是等差数列,设其公差为, 数列, , , 是等差数列,设其公差为. 因为,所以, 所以, 所以①,②. 若,则当时,①不成立； 若,则当时,②不成立； 若,则①和②都成立,所以. 同理得： ,所以,记. 设 , 则 . 同理可得： ,所以. 所以是等差数列.[来源:学|科|网] 【另解】 , , , 以上三式相加可得： ,所以, 所以 , , , 所以,所以, 所以,数列是等差数列. 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 2．（22-23高二下·湖南·期末）“”是“，，成等比数列”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（    ） A．1678 B．1666 C．1472 D．1460 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（    ）. A．若为等差数列，则一定是等差数列 B．若为等比数列，则一定是等比数列 C．若，则一定是等比数列 D．若，则一定是等比数列 10．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·河南漯河·期末）斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（    ） A．该数列是一个递增数列 B．89是该数列的一项 C．从前10项可以看出，设第项为，则 D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则 三、填空题 12．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）已知数列中，，，则 .若，则数列的前n项和 . 13．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的各项均为正数，满足，，且.若在数列中去掉中的项，余下的项组成数列，记数列的前项和为，则 . 14．（23-24高二上·福建三明·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 16．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知等差数列满足，，数列满足．且有．记的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求的前n项和． 17．（23-24高二上·四川成都·期末）已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 18．（23-24高二上·河南漯河·期末）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水750吨，以后每月新产生的4吨度水也存入废水池.该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨. (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的处理后废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，当月排放的处理后废水能被全部净化？（参考数据：） 19．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列. (1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式； (2)记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 参考答案： 1．B 【分析】根据等差数列前项和性质求解． 【详解】是等差数列，则仍成等差数列， 又，，所以，， ， 所以， 故选：B． 2．B 【分析】根据等比中项的性质可得必要性，举反例即可说明不充分性. 【详解】若，满足，但是，，不成等比数列,所以充分性不成立， 若，，成等比数列，则，故必要性成立， 因此“”是“，，成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B 3．D 【分析】由已知结合等比数列的求和公式求出，再由通项公式即可求解． 【详解】解：因为等比数列的首项为， 若，则， 可得，解得， 所以． 故选：． 4．D 【分析】首先判断数列是等差数列，从而求得，即可判断AB；写出数列的前n项和，并去绝对值，即可判断CD. 【详解】对于A，由，得，， 可知数列是首项为8，公差为的等差数列， 则，则， 所以，所以数列为等差数列，公差为，故A错误； 对于B，， 而，所以数列为等差数列，公差为9，故B错误； 对于CD，当时，；当时，；当时，； 所以 ，故C错误，D正确. 故选：D 5．B 【分析】求出新数列的公差，确定新数列的项数，利用前项和公式求解即可. 【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差是4和6的最小公倍数12， 则新数列的公差为12，首项为2， 其通项公式为， 令，得， 故， 则， 故选：B. 6．B 【分析】由题意可分析出数列是首项为2，公差为3的等差数列，利用等差数列的前项和公式化简，结合对勾函数的单调性可知最小值． 【详解】解：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列， 所以， 所以， 由对勾函数的性质可得： 函数在上单调递减，在上单调递增，又为正整数， 所以最小值为， 故选：B 7．A 【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案. 【详解】依题意，（），， 当时， ， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A 【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解. 8．A 【分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案. 【详解】即 . 故选：A. 9．AC 【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解A，举反例即可求解BD，根据的关系，结合等比数列的定义即可求解C. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则， 则， 同理可得， 所以，所以，，仍为等差数列，故A项正确； 对于B,取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故B项不正确； 对于C，由可得时，，相减可得（）， 由可得，因此对任意都成立，故是等比数列，C正确， 对于D，由可得，相减可得，若，不是等比数列，故D错误． 故选：AC． 10．ACD 【分析】根据与的关系推得，从第2项开始，是等比数列，结合的值求得，即可得出的通项公式，进而判断A、B；代入已知得出的通项公式，裂项求和判断C项；放缩法，即可得出D项. 【详解】对于A项，因为，则，所以.故A正确. 对于B项，当时，有，， 两式作差可得，，所以，. 所以，从第2项开始，是以2为公比的等比数列， 所以，. 检验，时，， 所以，.故B错误； 对于C项，因为， 所以， 所以，.故C正确； 对于D项，因为，当时恒成立， 所以，，当时恒成立. 又时，满足， 所以，.故D正确. 故选：ACD. 11．BCD 【分析】根据斐波那契数列的定义列出前几项，即可判断A、B，根据递推关系判断C，依题意可得，即可得到，解得即可判断D. 【详解】“斐波那契数列”为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…， 因为，所以该数列不是一个递增数列，故A错误； 因为，即89是该数列的一项，故B正确； 因为，，， 所以，， ，…， ， 所以，故C正确； 因为，两边同除，可得， 又随着的增大，逐渐趋近于一个常数，所以，解得（负值已舍去），故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】构造等比数列，即可得解第一空；求出通项公式，然后用分组求和即可得解第二空. 【详解】由，有，. 两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，， 又，所以. 所以. ， 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：第一空的关键是求和，然后通过两式相除构造出等比数列，然后即可得解，第二空的关键是，借助第（1）空的答案求出通项公式后，发现可以用分组求和即可得解. 13．568 【分析】先构造数列得出是首项为，公比为的等比数列，再求出数列,最后应用分组求和结合等差等比求和公式计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即， 所以，由得， 所以， 所以 故答案为：568. 14． 【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则，则， 若，则或， 当时，则，则或； 当时，则，则； 综上所述：m所有可能的取值集合为. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义判断可得答案； （2）由（1）求出得，再利用并组求和、等比数列求和可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，所以， 所以 ． 16．(1)，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可联立方程组求出，从而得到，利用判断数列是等比数列，从而得到； （2）利用错位相减法即可求出数列的前n项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则由题意得：， 解得：，所以等差数列的通项公式为， 由可得，数列是等比数列，且公比为， 又因为，所以数列的通项公式为， 故，. （2）由于，则 ， 又有， 上面两式相减得： 故. 17．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由等差和等比数列的性质结合题意列方程组，解出，再由基本量法求出通项即可； （2）由对数的运算性质化简再简单放缩可得，最后利用累乘法可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意可得：，前两式化简后有， 由上述式子可得：， 化简得：，则或， 若，可得，数列为常数列，故舍去； 若，带入得，又由，解得，，， 于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由题可得， 由于时，， 则（当且仅当时取等号）， 所以， 则（当且仅当时取等号）. 所以. 18．(1)2025年1月底 (2)2024年8月份 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为，写出，再分析其单调性即可. 【详解】（1）设从2023年1月起第个月处理后的废水排放量为吨， 则由已知条件知:数列是首项为10，公差为2的等差数列，故. 令， 化简得，解得或； 由是正整数，则. 故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. （2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为吨. 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为的等比数列， 故，（为正整数）. 显然，当时，. 当时，由，得. 设， 则，， 因为，， 所以当时，，即数列单调递增，且； 当时，，即数列单调递减. 由于. 所以不等式的解为(为正整数). 故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. 19．(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得到，，再利用累加法即可得解； （2）利用与的关系，结合为等比数列求得，进而利用等差数列的通项公式求得，再利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数， 所以有，又， 所以 . （2）由，得， 两式相减得，则， 因为为等比数列，则公比为， 当时，，解得， ，则， ，， ， ， 则， 两式相减，得 ， . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义04-数列 一、等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． (2)等差中项 若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 二、等比数列 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝ 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2)对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a. (3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 三、数列求通项 类型一：数列求通项（法、法） 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 类型二：累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 类型三：累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 类型四：构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 类型五：倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 类型六：隔项等差数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 类型七：隔项等比数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 四、数列求和 类型一：倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 类型二：分组求和法 1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 类型三：裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 4、通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 类型四：错位相减法 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 类型五：奇偶项讨论求和 1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 2、通项含有的类型；例如： 考点一 等差数列的基本量及性质的计算 1、（23-24高二上·北京通州·期末）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、（24-25高二上·江苏镇江·期末）等差数列中，若，，则等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3、（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·河北保定·期末）在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 5、（24-25高二上·福建龙岩·期末）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（    ） A．9 B．16 C．22 D．25 6、（23-24高二上·北京·期末）（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 7、（23-24高二上·广东东莞·期末）已知数列满足，. (1)求､､； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 考点二 等差数列的前项和及性质的计算 1．（23-24高二上·天津河西·期末）已知等差数列的公差为，前项和为．设甲：；乙：是递增数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2、（24-25高二上·辽宁·月考）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高二上·福建三明·期末）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 6、（23-24高二上·河南郑州·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，，且，则（    ） A． B． C．当时，取最小值 D．当时，n的最大值为10 7、（23-24高二上·浙江金华·期末）设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A．15或16 B．13或14 C．16或17 D．14或15 8、（23-24高二上·江西南昌·期末）若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为（    ） A．30 B．70 C．50 D．60 9、（23-24高二上·湖南岳阳·期末）（多选）记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（   ） A． B．的最小值为 C． D．使的的最小值为11 10、（24-25高二上·湖北期末）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 考点三 等比数列的基本量及性质的计算 1、（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、（23-24高二上·江苏南通·期末）设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 3、（23-24高二上·福建厦门·期末）若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（       ） A． B．1011 C． D．1012 4、（24-25高二上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 5、（24-25高二上·江苏南京·期中）已知等比数列满足，则的最小值为（   ） A．48 B．32 C．24 D．8 6、（23-24高二上·广东深圳·期末）（多选）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 考点四 等比数列的前项和及性质的计算 1、（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（    ） A． B． C．2 D．3 2、（23-24高二上·海南·期末）已知首项为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（    ） A． B．4或 C． D． 3、（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列的前项和，则（    ） A． B．1 C． D．2 4、（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（       ） A． B． C．12 D．15 5、（23-24高二上·湖北武汉·期末）（多选）数列是公比为的等比数列，为其前项和，为其前项积．已知，，则（    ） A． B．当或4时，取得最大值 C．当时，取得最大值 D．当取得最小值时， 6、（23-24高二上·北京通州·期末）（23-24高二下·广东佛山·月考）设等比数列的前项和为，若，则 . 考点五 数列求通项 1、（23-24高二上·北京·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 2、（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）在数列中，， ，则通项公式 ． 3、（23-24高二上·江苏扬州·期末）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 4、（23-24高二上·福建宁德·期末）若数列满足，，，则数列的前项和 . 5、（23-24高二上·天津宁河·期末）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 6、（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足，则的最小值为 . 考点六 数列求和 1、（23-24高二上·江西赣州·期末）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 2、（23-24高二上·河南信阳·期末）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和. 3、（23-24高二上·湖南 张家界·期末）已知数列的前项和为，，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 4、（24-25高二上·福建宁德·期末）已知数列的前n项和为，且，．设． (1)求证：数列是等比数列，并求． (2)求证：数列是等差数列，并求． (3)求数列的前项和． 5、（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为． 6、（23-24高二上·山西大同·期末）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 7、（23-24高二上·河北·期末）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 考点七 等差等比数列综合 1、（23-24高二上·山东济南·期末）已知数列满足单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高二上·陕西西安·期末）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，且则的值为（    ） A．1023 B．1461 C．1533 D．1955 4、（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选）数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前5项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．已知等差数列的前n项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 5、（23-24高二上·河北石家庄·期末）（多选）已知等比数列的首项，在中每相邻两项之间都插入个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列，则（   ） A． B．当时， C．当时，不是中的项 D．若是数列中的项，则 6、（23-24高二上·河南南阳·期末）正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为 7、（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，， (1)求和的通项公式： (2)记，证明： 8、（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知数列中，，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 9、（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列的前项和,对任意正整数,总存在正数使得, 恒成立：数列的前项和,且对任意正整数, 恒成立. （1）求常数的值； （2）证明数列为等差数列； （3）若,记 ,是否存在正整数,使得对任意正整数, 恒成立,若存在,求正整数的最小值,若不存在,请说明理由. 10、（23-24高二上·北京·期末）若数列同时满足：①对于任意的正整数, 恒成立；②对于给定的正整数, 对于任意的正整数恒成立,则称数列是“数列”. （1）已知判断数列是否为“数列”,并说明理由； （2）已知数列是“数列”,且存在整数,使得, , , 成等差数列,证明： 是等差数列. 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 2．（22-23高二下·湖南·期末）“”是“，，成等比数列”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（    ） A．1678 B．1666 C．1472 D．1460 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（    ）. A．若为等差数列，则一定是等差数列 B．若为等比数列，则一定是等比数列 C．若，则一定是等比数列 D．若，则一定是等比数列 10．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·河南漯河·期末）斐波那契数列指的是这样一个数列：0､1､1､2､3､5､8､13､21､34､……，在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义如下：.在现代物理､准晶体结构､化学等领域斐波那契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果，根据以上描述，以下说法正确的是（    ） A．该数列是一个递增数列 B．89是该数列的一项 C．从前10项可以看出，设第项为，则 D．设第项为，随着的增大，逐渐趋近于一个常数，则 三、填空题 12．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）已知数列中，，，则 .若，则数列的前n项和 . 13．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的各项均为正数，满足，，且.若在数列中去掉中的项，余下的项组成数列，记数列的前项和为，则 . 14．（23-24高二上·福建三明·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若“冰雹猜想”中，则m所有可能的取值集合为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 16．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知等差数列满足，，数列满足．且有．记的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求的前n项和． 17．（23-24高二上·四川成都·期末）已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 18．（23-24高二上·河南漯河·期末）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水750吨，以后每月新产生的4吨度水也存入废水池.该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨. (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的处理后废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力.试问：哪一年的几月份开始，当月排放的处理后废水能被全部净化？（参考数据：） 19．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列. (1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式； (2)记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$