专题突破练三角函数的化简与求值——2025届高三数学二轮复习

2025新高考数学二轮复习 专题突破练 三角函数的化简与求值 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知sin α=,且π<α<,则tan α=(　　) A. B. C. D. 2.已知角α的终边经过点P(-1,3),则=(　　) A. B.- C. D.- 3.已知sin αsin β=,cos(α-β)=,则cos(α+β)=(　　) A.- B. C. D.- 4.在平面直角坐标系Oxy中,A(-1,2),B(2,2),射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,则tan θ=(　　) A.3 B.2 C.4 D.5 5.化简= (　　) A.1 B. C.2 D. 6.已知θ∈,tan=-tan θ,=(　　) A.- B.- C.3 D. 7.若cos α,cos,cos成等比数列,则sin 2α=(　　) A. B.- C. D.- 8.已知sin(130°+α)=2cos 20°cos α,则tan(α+45°)=(　　) A.-2+ B.2- C.2+ D.-2- 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知角θ的终边过点P(3,4),则(　　) A.cos 2θ=- B.tan 2θ=- C.cos D.tan 10.一般地,任意给定一个角α∈R,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标,无论是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的,所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义: ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α; ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α; ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割,记作csc α,即=csc α; ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割,记作sec α,即=sec α. 下列结论正确的有(　　) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 11.已知α∈[0,π],且2cos 2α-3cos α=5,则α=　　　　　.  12.已知α,β∈,且sin α-sin β=-,cos α-cos β=,则tan α+tan β=　　　　　.  13.正五角星是一个非常优美的几何图形,其与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,设∠CAD=α,则cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α=　　　　　,cos αcos 2αcos 3α·cos 4α=　 .  四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14.(15分)已知α,β∈0,,sin(2α+β)=2sin β,求tan β的最大值. 三角函数的图象与性质 专题突破练 一、选择题:本题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.把函数f(x)=3sin 3x的图象向左平移个最小正周期的单位长度后,所得图象对应的函数为(　　) A.y=3sin B.y=3sin C.y=3cos 3x D.y=-3cos 3x 2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则(　　) A.ω=,φ= B.ω=,φ=- C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=- 3.已知函数f(x)=cos(2x+),则“θ=+kπ(k∈Z)”是“f(x+θ)为奇函数且f(x-θ)为偶函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调递增,直线x=-和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则f=(　　) A.- B.- C. D. 5.已知函数f(x)=2sin(2x+),把f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则(　　) A.g(x)是偶函数 B.g(x)的图象关于直线x=-对称 C.g(x)的图象关于直线x=对称 D.g(x)的图象关于点中心对称 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 6.(2024·广东深圳二模)已知函数f(x)=sin ωx+acos ωx(x∈R,ω>0)的最大值为2,其部分图象如图所示,则(　　) A.a= B.函数f为偶函数 C.满足条件的正实数ω,存在且唯一 D.f(x)是周期函数,且最小正周期为π 7.已知x1,x2是函数f(x)=2sin(ω>0)的两个零点,且|x1-x2|的最小值是,则(　　) A.f(x)在区间上单调递增 B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到 D.f(x)在区间上仅有1个零点 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 8.(2023·新高考Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　　.  9.已知函数f(x)=2sin(ωx+)(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,若f(x)在区间上的最小值为-1,则t的最大值是　　　　　.  四、解答题:本题共1小题,共13分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的最小正周期为π. (1)若A=1,f(0)=,求φ的值; (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,确定f(x)的解析式,并求函数h(x)=f(x)-2cos 2x的单调递增区间. 条件①:f(x)的最大值为2;条件②:f(x)的图象关于点中心对称;条件③:f(x)的图象经过点. 解三角形 专题突破练 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在△ABC中,A=,C=,b=,则a=(　　) A.1 B. C. D.2 2.已知△ABC中,A=,a=,b=2,则c=(　　) A. B. C.3 D.3 3.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C=b,则A=(　　) A. B. C. D. 4.如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°,且与甲船相距 n mile的B处的乙船,已知遇险渔船在乙船的正东方向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为(　　) A. n mile B.2 n mile C.2 n mile D.3 n mile 5.在△ABC中,cos A=-,b=6,a-c=4,则△ABC的面积为(　　) A.15 B.30 C.15 D.30 6.(2024·陕西渭南三模)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=b,且a=ccos B,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c,且=2(1+sin B),则B=(　　) A. B. C. D. 8.在△ABC中,∠ACB=120°,BC=2AC,D为△ABC内一点,AD⊥CD,∠BDC=120°,则tan∠ACD= (　　) A.2 B. C. D. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆半径为R.若a=1,且sin A-bsin B=(c+b)sin C,则(　　) A.sin A= B.△ABC面积的最大值为 C.R= D.BC边上的高的最大值为 10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,恒成立条件a=3cos C,b=1.附加条件①△ABC的面积取到最大值;附加条件②c=.下列结论正确的是(　　) A.=3cos C B.tan C=2tan B C.若恒成立条件和附加条件①成立,则cos 2B= D.若恒成立条件和附加条件②成立,则cos 2B= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos B=2a-b,则C=　　　　　.  12.(2024·浙江台州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A为锐角,b=3,c=4,则△ABC的周长可能为　　　　　.(写出一个符合题意的答案即可)  13.(2024·山东威海二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b+c=4,cos C=-,则sin A=　　　　　.  四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(1-cos 2C)(sin A+1)-cos Asin 2C=0. (1)求证:B=C+; (2)若a=4,C∈,求△ABC面积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考数学二轮复习 专题突破练 三角函数的化简与求值 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知sin α=,且π<α<,则tan α=(　　) A. B. C. D. 答案C 解析由sin α=-,π<α<,得cos α=-=-,所以tan α=.故选C. 2.(2024·浙江杭州期中)已知角α的终边经过点P(-1,3),则=(　　) A. B.- C. D.- 答案B 解析由题可得,.已知角α的终边经过点(-1,3),可得cos α≠0,且tan α=-3,则=-.故选B. 3.已知sin αsin β=,cos(α-β)=,则cos(α+β)=(　　) A.- B. C. D.- 答案B 解析因为sin αsin β=,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β+,解得cos αcos β=,故cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.故选B. 4.在平面直角坐标系Oxy中,A(-1,2),B(2,2),射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,则tan θ=(　　) A.3 B.2 C.4 D.5 答案A 解析如图,设角α,β终边上的点分别为A,B,A(-1,2),B(2,2), 则tan α==-2,tan β==1.因为射线OB逆时针旋转最小角θ,使得OB与OA重合,所以α=β+θ,所以tan θ=tan(α-β)==3. 故选A. 5.化简= (　　) A.1 B. C.2 D. 答案B 解析由题得 = ==tan 60°=.故选B. 6.已知θ∈,tan=-tan θ,=(　　) A.- B.- C.3 D. 答案D 解析因为tan=-tan θ,所以=-tan θ,整理可得2tan2θ-5tan θ-3=0.又θ∈,即tan θ>0,解得tan θ=3, 所以=-sin θ(cos θ-sin θ)=.故选D. 7.若cos α,cos,cos成等比数列,则sin 2α=(　　) A. B.- C. D.- 答案B 解析由cos α,cos,cos成等比数列,得cos2=cos αcos, 即[1+cos]=cos α(cos α-sin α),则cos 2α+sin 2α=cos 2α-sin 2α,所以sin 2α=-.故选B. 8.已知sin(130°+α)=2cos 20°cos α,则tan(α+45°)=(　　) A.-2+ B.2- C.2+ D.-2- 答案A 解析由题得,sin(130°+α)=sin[150°+(α-20°)]=cos(α-20°)-sin(α-20°), 2cos 20°cos α=cos(α+20°)+cos(α-20°). 因为sin(130°+α)=2cos 20°cos α, 所以cos(α-20°)-sin(α-20°)=cos(α+20°)+cos(α-20°),所以-cos(α-20°)-sin(α-20°)=cos(α+20°), 即cos[120°+(α-20°)]=cos(α+20°), 即cos(100°+α)=cos(α+20°), 所以100°+α=α+20°+k·360°或100°+α+α+20°=k·360°,k∈Z,所以α=-60°+k·180°,k∈Z,故tan α=tan(-60°+k·180°)=-,k∈Z, 所以tan(α+45°)=-2.故选A. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知角θ的终边过点P(3,4),则(　　) A.cos 2θ=- B.tan 2θ=- C.cos D.tan 答案ABD 解析因为角θ的终边过点P(3,4), 所以cos θ=,sin θ=,tan θ=,所以cos 2θ=2cos2θ-1=2×-1=-,tan 2θ==-,故A,B正确; 因为2kπ<θ<2kπ+(k∈Z),所以kπ<<kπ+(k∈Z),即角的终边位于第一象限或第三象限,所以tan>0,但cos>0或cos<0均满足题意,故C错误; 由tan θ=,得2tan2+3tan-2=0,解得tan=-2(舍去)或tan,故D正确.故选ABD. 10.一般地,任意给定一个角α∈R,它的终边OP与单位圆的交点P的坐标,无论是横坐标x还是纵坐标y,都是唯一确定的,所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义: ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α; ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α; ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割,记作csc α,即=csc α; ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割,记作sec α,即=sec α. 下列结论正确的有(　　) A.csc =- B.cos α·sec α=1 C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z} D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5 答案ABD 解析由题得,csc=-,故A正确; cos α·sec α=cos α·=1,故B正确; 函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},故C错误; sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1+=1+=1+≥5, 当sin 2α=±1时,等号成立,故D正确. 故选ABD. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 11.已知α∈[0,π],且2cos 2α-3cos α=5,则α=　　　　　.  答案π 解析已知2cos 2α-3cos α=5,由倍角公式得4cos2α-3cos α-7=(4cos α-7)(cos α+1)=0. 由α∈[0,π],cos α∈[-1,1], 解得cos α=-1, 则α=π. 12.已知α,β∈,且sin α-sin β=-,cos α-cos β=,则tan α+tan β=　　　　　.  答案 解析由题可知sin α-sin β=-cos α+cos β, 所以sin α+cos α=sin β+cos β, 所以sinsin. 因为α,β∈, 所以α+,β+. 又α≠β,所以α++β+=π,故α+β=, 所以sin α-sin β=sin α-cos α=-, 两边平方后得sin2α-2sin αcos α+cos2α=, 故sin αcos α=,则tan α+tan β=tan α+. 13.正五角星是一个非常优美的几何图形,其与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,设∠CAD=α,则cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α=　　　　　,cos αcos 2αcos 3α·cos 4α=　 .  答案0　 解析由题可得,正五角星可分割成5个三角形和1个正五边形,五个三角形各自的内角之和为180°,则正五边形的内角和180°×(5-2)=180°×3=540°,每个角为=108°.因为三角形是等腰三角形,底角是五边形的外角,即底角为180°-108°=72°.又三角形内角和为180°,那么三角形顶角,即五角星尖角为180°-72°×2=36°,即∠CAD=α=36°. 则cos α+cos 2α+cos 3α+cos 4α=cos 36°+cos 72°+cos 108°+cos 144°=cos 36°+cos 72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)=cos 36°+cos 72°-cos 72°-cos 36°=0,cos αcos 2αcos 3αcos 4α=cos 36°cos 72°cos 108°cos 144°=(cos 36°cos 72°)2. 因为cos 36°cos 72°=, 所以cos αcos 2αcos 3αcos 4α=. 四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14.(15分)已知α,β∈0,,sin(2α+β)=2sin β,求tan β的最大值. 解因为α,β∈0,,sin(2α+β)=2sin β, 所以sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α], 即3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α, 所以tan(α+β)=3tan α.因为tan α>0,tan β>0,所以tan β=tan[(α+β)-α]=,所以tan β=,当且仅当=3tan α,即tan α=时,等号成立, 所以tan β的最大值为 三角函数的图象与性质 专题突破练 一、选择题:本题共5小题,每小题5分,共25分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.把函数f(x)=3sin 3x的图象向左平移个最小正周期的单位长度后,所得图象对应的函数为(　　) A.y=3sin B.y=3sin C.y=3cos 3x D.y=-3cos 3x 答案C 解析由题意得f(x)的最小正周期为T=,则所求函数为y=3sin 3(x+)=3sin(3x+)=3cos 3x.故选C. 2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则(　　) A.ω=,φ= B.ω=,φ=- C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=- 答案C 解析由题中图象知,T=,即T=π,则ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).因为点在f(x)图象上,所以2×+φ=2kπ+π(k∈Z),即φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=.故选C. 3.已知函数f(x)=cos(2x+),则“θ=+kπ(k∈Z)”是“f(x+θ)为奇函数且f(x-θ)为偶函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A 解析当θ=+kπ(k∈Z)时,f(x+θ)=cos(2x++2kπ)=-sin 2x是奇函数,f(x-θ)=cos(2x+-2kπ)=cos 2x是偶函数,故充分性成立,当θ=时,有f(x+θ)=cos(2x+)=sin 2x是奇函数,f(x-θ)=cos(2x+)=-cos 2x是偶函数,但此时关于k的方程+kπ=(k∈Z)无解,故必要性不成立. 综上所述,“θ=+kπ(k∈Z)”是“f(x+θ)为奇函数且f(x-θ)为偶函数”的充分不必要条件. 故选A. 4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调递增,直线x=-和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴,则f=(　　) A.- B.- C. D. 答案A 解析因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调递增,且直线x=-与x=为y=f(x)相邻的两条对称轴, 所以,即T=π. 又ω>0,所以ω==2. 当x=-时取得最小值,即f=-1, 所以sin=-1, 解得φ=-+2kπ,k∈Z,所以f=sin=sin=-. 故选A. 5.已知函数f(x)=2sin(2x+),把f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则(　　) A.g(x)是偶函数 B.g(x)的图象关于直线x=-对称 C.g(x)的图象关于直线x=对称 D.g(x)的图象关于点中心对称 答案B 解析由题可得,g(x)=2sin(2x+)=2sin(2x+π)=-2sin 2x.由于函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=-2sin(-2x)=sin 2x=-g(x),故g(x)为奇函数,故A错误. 由选项A可知g(x)=-2sin 2x,故g(x)的图象的对称轴为2x=+kπ(k∈Z),即x=,k∈Z.令k=-1,可得x=-,即g(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确. 由选项B可知不存在k∈Z,使得g(x)图象的对称轴为直线x=,故C错误. 由选项A可知g=-2sin=-2,故点不是g(x)图象的中心对称点,故D错误.故选B. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 6.(2024·广东深圳二模)已知函数f(x)=sin ωx+acos ωx(x∈R,ω>0)的最大值为2,其部分图象如图所示,则(　　) A.a= B.函数f为偶函数 C.满足条件的正实数ω,存在且唯一 D.f(x)是周期函数,且最小正周期为π 答案ACD 解析由题可得f(x)=sin ωx+acos ωx=·sin(ωx+φ),其中sin φ=,cos φ=. 又f(x)max==2,解得a=±. 又f(0)=a>0,所以a=,故A正确. 因为a=,所以f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin. 又f=2sin=1, 则sin, 结合图象可知+2kπ,k∈Z, 所以ω=2+8k,k∈Z. 又,所以解得0<ω<4, 所以ω=2,故C正确. 因为ω=2,则f(x)=2sin, 则f=2sin[2(x-)+]=2sin 2x为奇函数,故B错误. 由B知,f(x)是周期函数,且最小正周期T==π,故D正确.故选ACD. 7.已知x1,x2是函数f(x)=2sin(ω>0)的两个零点,且|x1-x2|的最小值是,则(　　) A.f(x)在区间上单调递增 B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到 D.f(x)在区间上仅有1个零点 答案ABD 解析由题可知,函数f(x)的最小正周期T=2×,解得ω=2,所以f(x)=2sin. 对于A,当x∈时,2x-, 所以f(x)在区间上单调递增,故A正确; 对于B,因为f=2sin[2×]=2sin=-2, 所以f(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确; 对于C,将g(x)=2sin 2x的图象向右平移个单位长度,得y=2sin 2=2sin≠f(x),故C错误; 对于D,当x∈时,2x-,当2x-=π,即x=时,f(x)=0, 故f(x)在区间上仅有1个零点,故D正确. 故选ABD. 三、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分. 8.(2023·新高考Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　　.  答案- 解析对比正弦曲线y=sin x的图象易知,点对应“五点法”中的第五点, 所以ω+φ=2π①. 由题目中图象知|AB|=xB-xA=,线段AB的垂直平分线对应于正弦曲线y=sin x在y轴右边的第1条对称轴直线x=, 所以由sin(ωx+φ)=,得两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=,解得ω=4,代入①,得φ=-, 所以f(x)=sin, 所以f(π)=sin=-sin=-. 9.已知函数f(x)=2sin(ωx+)(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称,若f(x)在区间上的最小值为-1,则t的最大值是　　　　　.  答案 解析函数f(x)=2sin(0<ω<6)的图象向左平移个单位长度后,得到函数y=2sin[ω(x+)+]=2sin(ωx+ω+)的函数图象. 因为y=2sin(ωx+ω+)图象关于y轴对称,所以ω+=kπ+,k∈Z, 可得ω=12k+2,k∈Z. 又0<ω<6,所以ω=2, 即f(x)=2sin, 要使f(x)在区间上的最小值为-1, 则y=sin在区间上的最小值为-. 当x∈时,2x+. 又sin=sin=-, 所以-≤2t+,解得-≤t≤, 即t的最大值是. 四、解答题:本题共1小题,共13分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的最小正周期为π. (1)若A=1,f(0)=,求φ的值; (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知,确定f(x)的解析式,并求函数h(x)=f(x)-2cos 2x的单调递增区间. 条件①:f(x)的最大值为2;条件②:f(x)的图象关于点中心对称;条件③:f(x)的图象经过点. 解(1)因为A=1,f(0)=,则sin φ=. 又0<φ<,则φ=. (2)因为函数f(x)的最小正周期为π,则ω=2. 若选①②,则A=2,且f()=2sin(+φ)=0.又0<φ<,则+φ<, 故+φ=π,得φ=, 所以f(x)=2sin(2x+). 若选择①③,则A=2,且f()=2sin(+φ)=,则sin(+φ)=. 因为0<φ<,则+φ<, 故+φ=,得φ=, 所以f(x)=2sin(2x+). 若选择②③,由②可知,f=Asin+φ=0. 因为0<φ<,则+φ<, 故+φ=π,得φ=, 由③可知,f=Asin=A·,则A=2, 所以f(x)=2sin2x+. 故h(x)=2sin2x+-2cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin2x-, 令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以函数h(x)的单调递增区间是-+kπ,+kπ,k∈ 解三角形 专题突破练 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在△ABC中,A=,C=,b=,则a=(　　) A.1 B. C. D.2 答案D 解析由题意可得B=π-A-C=. 由正弦定理可得,a==2. 故选D. 2.已知△ABC中,A=,a=,b=2,则c=(　　) A. B. C.3 D.3 答案D 解析由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即13=4+c2-2c,解得c=3(c=-舍去).故选D. 3.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C=b,则A=(　　) A. B. C. D. 答案A 解析由正弦定理可得,sin Acos C+sin Asin C=sin B.因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,代入整理得sin Asin C-cos Asin C=0. 因为0<C<π,sin C>0, 则tan A=. 又0<A<π,故A=. 故选A. 4.如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其北偏东60°方向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°,且与甲船相距 n mile的B处的乙船,已知遇险渔船在乙船的正东方向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为(　　) A. n mile B.2 n mile C.2 n mile D.3 n mile 答案B 解析由题意知,AB=,∠BAC=45°,∠BCA=30°,由正弦定理得,,所以BC==2.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.故选B. 5.在△ABC中,cos A=-,b=6,a-c=4,则△ABC的面积为(　　) A.15 B.30 C.15 D.30 答案A 解析因为cos A=-,b=6,a-c=4,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得(c+4)2=36+c2+6c,解得c=10.因为A∈(0,π),所以sin A=,所以S=bcsin A=15.故选A. 6.(2024·陕西渭南三模)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=b,且a=ccos B,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案D 解析由正弦定理,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B, 则sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B,故a=b. 因为a=ccos B,则sin A=sin Ccos B, 故sin(B+C)=sin Ccos B,sin Bcos C+cos Bsin C=sin Ccos B,得sin Bcos C=0. 因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cos C=0. 因为C∈(0,π),所以C=, 故△ABC为等腰直角三角形.故选D. 7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c,且=2(1+sin B),则B=(　　) A. B. C. D. 答案D 解析由正弦定理得,=2(1+sin B), 即b2=2a2(1+sin B).由a=c及余弦定理可得,b2=a2+c2-2accos B=2a2(1-cos B), ∴2a2(1+sin B)=2a2(1-cos B), ∴sin B=-cos B,∴tan B=-. 又0<B<π,∴B=.故选D. 8.在△ABC中,∠ACB=120°,BC=2AC,D为△ABC内一点,AD⊥CD,∠BDC=120°,则tan∠ACD= (　　) A.2 B. C. D. 答案B 解析在Rt△ADC中,设∠ACD=θ(0<θ<),令AC=x(x>0),则BC=2x,CD=xcos θ. 在△BCD中,可得∠BCD=120°-θ,∠CBD=θ-60°, 由正弦定理,得, 所以,可得tan θ=, 即tan∠ACD=.故选B. 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆半径为R.若a=1,且sin A-bsin B=(c+b)sin C,则(　　) A.sin A= B.△ABC面积的最大值为 C.R= D.BC边上的高的最大值为 答案AD 解析在△ABC中,由正弦定理,得a-b2=c2+bc. 因为a=1,则a=b2+c2+bc=1. 由余弦定理得,cos A==-. 又0<A<π,解得A=. 对于A,sin A=,故A正确; 对于B,显然1=b2+c2+bc≥3bc,当且仅当b=c时,等号成立,S△ABC=bcsin A≤,故B错误; 对于C,R=,故C错误; 对于D,令BC边上的高为h,则ah=S△ABC≤,解得h≤,D正确.故选AD. 10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,恒成立条件a=3cos C,b=1.附加条件①△ABC的面积取到最大值;附加条件②c=.下列结论正确的是(　　) A.=3cos C B.tan C=2tan B C.若恒成立条件和附加条件①成立,则cos 2B= D.若恒成立条件和附加条件②成立,则cos 2B= 答案ABC 解析因为a=3cos C,b=1,所以a=3bcos C. 由正弦定理得sin A=3sin Bcos C. 又B∈(0,π),所以sin B>0, 则=3cos C,故A正确. 又A+B+C=π, 所以3sin Bcos C=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 所以2sin Bcos C=cos Bsin C. 因为cos B≠0,cos C≠0,所以tan C=2tan B,故B正确. 若△ABC的面积取到最大值,即S△ABC=absin C=cos Csin C=sin 2C, 所以当C=时,S△ABC取得最大值,此时tan C=1,由B可知tan B=tan C=, 所以cos 2B=cos2B-sin2B=,故C正确. 若c=,由正弦定理,得sin C=sin B, 所以sin2C=sin2B,由B知tan C=2tan B, 即, 所以,cos2C=cos2B, 所以sin2C+cos2C=sin2B+cos2B, 即1=sin2B+,所以sin2B=, 所以cos 2B=1-2sin2B=1-2×,故D错误. 故选ABC. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2ccos B=2a-b,则C=　　　　　.  答案 解析根据题意,在△ABC中,2ccos B=2a-b, 则由正弦定理,得2sin Ccos B=2sin A-sin B,变形可得2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B, 则有2sin Bcos C=sin B. 因为sin B>0,所以cos C=. 因为C∈(0,π),则C=. 12.(2024·浙江台州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A为锐角,b=3,c=4,则△ABC的周长可能为　　　　　.(写出一个符合题意的答案即可)  答案9(答案不唯一,(8,12)内的任何一个值均可) 解析由余弦定理可得a=. 因为角A为锐角,则cos A∈(0,1),可得a=∈(1,5),所以△ABC的周长a+b+c=a+7∈(8,12).故△ABC的周长可以为9.(答案不唯一,(8,12)内的任何一个值均可) 13.(2024·山东威海二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b+c=4,cos C=-,则sin A=　　　　　.  答案 解析在△ABC中,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C, 所以c2-b2=6-2b×, 所以(c-b)(c+b)=6+2b. 因为c+b=4,所以4(c-b)=6+2b, 所以4c-6b=6. 又b+c=4,解得b=1,c=3. 由cos C=-,可得sin C=. 在△ABC中,由正弦定理可得, 所以sin A=. 四、解答题:本题共1小题,共15分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(1-cos 2C)(sin A+1)-cos Asin 2C=0. (1)求证:B=C+; (2)若a=4,C∈,求△ABC面积的取值范围. (1)证明(1-cos 2C)(sin A+1)-cos Asin 2C=0,sin A+1-cos 2Csin A-cos 2C-cos Asin 2C=0,sin A-cos 2C+1-sin(A+2C)=0. 又A+C=π-B, 则sin(B+C)-cos 2C+1-sin(B-C)=0, sin Bcos C+sin Ccos B-1+2sin2C+1-sin Bcos C+sin Ccos B=0, 2sin2C+2sin Ccos B=0, 即2sin C(sin C+cos B)=0. 又sin C>0,所以sin C+cos B=0, 即cos B=-sin C=cos. 又0<B<π,0<C<π,所以B=+C. (2)解由(1)知,B=+C,A+B+C=π,得A=-2C. 由<C<,得<A<,由正弦定理得,得c=, 所以S△ABC=acsin B=×42××sin×42××cos C==4tan 2C.又<C<,所以<2C<. 又y=tan x在区间上单调递增, 则tan 2C∈(1,),所以4tan 2C∈(4,4), 即△ABC的面积的取值范围为(4,4 学科网（北京）股份有限公司 $$