专题02 导数的运算-2025年高二寒假数学学与练（人教A版2019）

02 导数的运算 一、阅读教材，归纳知识： 1．基本初等函数的导数: （1） ，C为常数；（2） ，为常数；（3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 2． 导数的运算法则：已知，为可导函数，且. （1） ；（2） ，特别地， . （3） . 3．复合函数：一般地，设是关于的函数，是关于的函数，则 是关于的函数，称为函数和的复合函数． 4．复合函数的求导法则: 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 自检自纠： 1．,,,,,,, 2．,,, 3． 4． 二、概念辨析，判断正误 1．下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 2.下列求导运算正确的是 . ①; ②;③; ④(lg x)′＝－; ⑤(2x)′＝2xln 2;⑥′＝ 三、考点剖析，学以致用 考点1：函数求导 例1. （1）已知函数，则（    ） A． B． C． D． （2）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （3）函数的导数是（    ） A． B． C． D． （4）已知，则 ． （5）已知函数，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 （6）函数在处的瞬时变化率为 . 跟综训练： 1.下列求导正确的为（    ） A． B． C． D． 2.下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 4.函数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 6．已知函数f（x）在处的导数为2，则f（x）的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 考点2：复合函数求导 例2. 写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． 跟综训练： 1.函数在处的导数为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 2.函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．若，则函数的导函数（  ） A． B． C． D． 4.（多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点3：利用导数求切线斜率 例3.（1）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . （2）过点，并且和曲线相切的直线方程为 ． （3）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． （4）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟综训练： 1.已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．120° D．135° 2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3.曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4.过点作曲线的切线l，则l的方程为 ． 5.函数过点的切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 6. 已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点4：已知切线方程求参数 例4.（1）函数在处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D． （2）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 跟综训练： 1.若函数在处切线方程为，则实数（    ） A． B． C．2 D．0 2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 四、课后练习，巩固提升 1．计算：（    ） A． B．0 C． D．1 2.函数的导数为（    ）． A． B． C． D． 3.下列求导运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B．12 C．13 D． 5．已知函数，则（    ） A．e B． C． D． 6．设函数的导函数为，且，则 ． 7．一物体运动方程是，则时物体的瞬时速度为 ． 8．函数的图象在处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 9.函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 10.过且与曲线相切的直线方程为 ． 11.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B．2e C． D． 13．已知直线与曲线相切，则实数 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02 导数的运算 一、阅读教材，归纳知识： 1．基本初等函数的导数: （1） ，C为常数；（2） ，为常数；（3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 2． 导数的运算法则：已知，为可导函数，且. （1） ；（2） ，特别地， . （3） . 3．复合函数：一般地，设是关于的函数，是关于的函数，则 是关于的函数，称为函数和的复合函数． 4．复合函数的求导法则: 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 自检自纠： 1．,,,,,,, 2．,,, 3． 4． 二、概念辨析，判断正误 1．下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，故A错误；    对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；    对于D，，故D正确.故选：A. 2.下列求导运算正确的是 . ①; ②;③; ④(lg x)′＝－; ⑤(2x)′＝2xln 2;⑥′＝ 【答案】⑤⑥ 【详解】因为是个常数，所以，①错误；，②错误； ，③错误; (lg x)′＝，④错误; (2x)′＝2xln 2，⑤正确；，⑥正确； 三、考点剖析，学以致用 考点1：函数求导 例1. （1）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，故选：A. （2）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】因为，所以错误；因为，所以正确；因为，所以错误；因为，所以D正确. 故选：BD （3）函数的导数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选：B． （4）已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．故答案为：. （5）已知函数，若，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】由，得，故，得，则， 所以．故选：A． （6）函数在处的瞬时变化率为 . 【答案】1 【详解】因为函数的图象上各点的瞬时变化率为，，所以函数在处的瞬时变化率为，故答案为：1 跟综训练： 1.下列求导正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确； 对于C，，故C不正确；对于D，，故D正确.故选：D. 2.下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，选项A错误；，选项B正确；，选项C错误；，选项D错误.故选：B. 3．已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由导数的定义可知，又，故，故选：B 4.函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以．故选：B． 5．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，故，故选：A. 6．已知函数f（x）在处的导数为2，则f（x）的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项：因为，所以，则，故A错误； B选项：因为，所以，则，故B正确； C选项：因为，所以，则，故C正确； D选项：因为，所以，则，故D正确； 故选：BCD. 考点2：复合函数求导 例2. 写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）令，因为，. （2）令，因为，. （3）令，因为，. （4）令，因为， . 跟综训练： 1.函数在处的导数为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以函数在处的导数为.故选：D 2.函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则．故选：B. 3．若，则函数的导函数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选D 4.（多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对A，若，则，故A错误； 对B，若，则，故B错误； 对C，若，则，故C正确； 对D，若，则，故D正确； 故选：CD 考点3：利用导数求切线斜率 例3.（1）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由题设，则，故点处的切线方程为，所以.故答案为：. （2）过点，并且和曲线相切的直线方程为 ． 【答案】和 【详解】当时，上式化为，这样的曲线不存在，故，所以曲线化为，其导函数为 ，设过点的直线与曲线相切于点，则切线的斜率为 所以切线方程为 ，由切线过点，所以，解得或，当时，切线方程为： ，当时，切线方程为：，因此，过点A有两条切线，方程分别为和，如图所示．   （3）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的导数为，在点处的切线斜率为， 即有在点处的切线方程为，即.故选：C. （4）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设过点的直线与曲线相切于点，由，可得，所以切线的斜率，整理得，因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根，则，解得或，所以的取值范围是．故选：D． 跟综训练： 1.已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．120° D．135° 【答案】A 【详解】由，可得，则曲线在处的切线斜率为1，由（为倾斜角），，可得.故选：A． 2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程，即，故选：B. 3.曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，所以，，当时，， ，所以切点为，所以切线方程为，即.故选：A. 4.过点作曲线的切线l，则l的方程为 ． 【答案】 【详解】设曲线的切点为，又，所以切线斜率，所以切线方程为，即，又因为切线过点，所以，解得，所以切点，所以切线l的方程为：.故答案为：. 5.函数过点的切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题设，若切点为，则，所以切线方程为，又切线过，则，可得或， 当时，切线为；当时，切线为，整理得.故选：C. 6. 已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以，设切点为，所以在切点处的切线方程为，又在切线上，所以，即，整理得，解得或，所以过点可作曲线的切线的条数为2.故选：C． 考点4：已知切线方程求参数 例4.（1）函数在处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】函数的导函数为 ，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有 ，可得 .故选：B. （2）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【详解】设直线与曲线切于点，与曲线切于点．对于函数，则，解得或（舍去）．所以，即．对于函数，则 ，整理得，所以，故．故选：C. 跟综训练： 1.若函数在处切线方程为，则实数（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【详解】，则，解得：，所以，，所以切点坐标为，将其代入中，故，解得：.故选：B. 2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 【答案】C 【详解】：函数的导数为，可得在点处的切线斜率为，因为在点处的切线方程是，所以，，解得，，所以故选：C. 四、课后练习，巩固提升 1．计算：（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【详解】.故选：B 2.函数的导数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故选：． 3.下列求导运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 4．已知函数，则（    ） A． B．12 C．13 D． 【答案】C 【详解】，则，，则，故.故选：C. 5．已知函数，则（    ） A．e B． C． D． 【答案】C 【详解】，则，故，解得，，所以.故选：C 6．设函数的导函数为，且，则 ． 【答案】 【详解】因为,所以，整理得,所以,所以.故答案为： 7．一物体运动方程是，则时物体的瞬时速度为 ． 【答案】 【详解】由题，，则，则时物体的瞬时速度为. 故答案为： 8．函数的图象在处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，故选：B. 9.函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以.因为，，所以所求切线方程为，即.故选：B. 10.过且与曲线相切的直线方程为 ． 【答案】或. 【详解】点不在曲线上，点不是切点，设切点是，由，可得， ，即 ，解得 或，切线的斜率或 ，切线的方程是或 ，即或. 11.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以，又，故曲线在点处的切线的方程为，即.故选：A. 12．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A． B．2e C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，故.故选：D. 13．已知直线与曲线相切，则实数 . 【答案】 【详解】设切点为，，则有，解得.故答案为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$