专题01 导数的概念及其意义-2025年高二寒假数学学与练（人教A版2019）

01 导数的概念及其意义 一、阅读教材，归纳知识： 1．瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度．一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为．如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当无限趋近于0时，的 是v，这时v就是物体在时刻时的瞬时速度，即瞬时速度． 2．割线斜率与切线斜率：设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝. 3．导数的概念及其意义 （1）导数：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为 ），记作 或y′|x＝x0，即f′（x0）＝lim ＝lim . （2）函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的 . 也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）. 相应的切线方程为 . （3）导函数：当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的 . y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝lim. 自检自纠：1．某一时刻，极限 2．切线， 3．（1）可导，瞬时变化率， f′（x0） （2）切线的斜率，y－y0＝f′（x0）（x－x0） （3）导函数 二、概念辨析，判断正误 1．函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（ ）． A． B． C． D． 2．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在平均变化率中，函数值的增量为正值. ( ) （2）函数（c为常数）在区间上的平均变化率为0. ( ) （3）瞬时变化率是刻画某函数在区间上函数值变化快慢的量. ( ) （4）在瞬时变化率中，Δt可以为零.( ) （5）表示，的值可正可负，也可以为零．( ) （6）.( ) 三、考点剖析，学以致用 考点1：瞬时速度、平均变化率 例1.（1）函数从到的平均变化率为（    ） A． B． C． D． （2）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s （3）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）   A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 跟综训练： 1．函数在到之间的平均变化率为 ． 2．函数在[0，π]上的平均变化率为（ ） A．1 B．2 C．π D． 3.已知某质点运动方程为，其中S单位是m，t单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（  ） A． B． C． D． 4．在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（    ） A． B． C．13.1 D．3.3 3．（多选）如图显示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 考点2：导数定义中极限的简单计算 例2.（1）已知函数，则时，的值趋近于（    ） A．2a B． C． D． （2）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 （3）如果，则（    ） A．2 B．1 C． D． （4）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 跟综训练： 1．设函数在处的导数为3，则（  ） A．3 B．1 C． D．6 2．设，则（ ） A．8 B． C． D． 3．若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在处可导，若，则（    ） A．22 B．11 C．-22 D．-11 考点3：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 例3.（1）已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． （2）设函数，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． （3）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． （4）定义，已知函数在内的导函数为，的值为（    ） A． B． C． D． 跟综训练： 1．已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A．10 B．3 C．6 D．8 3．，在处切线方程为（　　） A． B． C． D． 四、课后练习，巩固提升 1．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 2．设，若，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 3．若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 4．函数在上可导，若，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 5．设，则等于（    ） A． B． C． D． 6．过曲线上两点和作割线，当时，割线AB的斜率为 . 7．已知曲线y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，则f（2）+f′（2）的值为 ． 8．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01 导数的概念及其意义 一、阅读教材，归纳知识： 1．瞬时速度：物体在 的速度称为瞬时速度．一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为．如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当无限趋近于0时，的 是v，这时v就是物体在时刻时的瞬时速度，即瞬时速度． 2．割线斜率与切线斜率：设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝. 3．导数的概念及其意义 （1）导数：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为 ），记作 或y′|x＝x0，即f′（x0）＝lim ＝lim . （2）函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的 . 也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）. 相应的切线方程为 . （3）导函数：当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的 . y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝lim. 自检自纠：1．某一时刻，极限 2．切线， 3．（1）可导，瞬时变化率， f′（x0） （2）切线的斜率，y－y0＝f′（x0）（x－x0） （3）导函数 二、概念辨析，判断正误 1．函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由变化率的关系，.故选：D． 2．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）在平均变化率中，函数值的增量为正值. ( ) （2）函数（c为常数）在区间上的平均变化率为0. ( ) （3）瞬时变化率是刻画某函数在区间上函数值变化快慢的量. ( ) （4）在瞬时变化率中，Δt可以为零.( ) （5）表示，的值可正可负，也可以为零．( ) （6）.( ) 【答案】（1）错误（2）正确（3）错误（4）错误（5）正确 【详解】对于（1），平均变化率中，函数值的增量可正，可负，可为0，故（1）错误； 对于（2），函数，在区间上的平均变化率，（2）正确； 对于（3），瞬时变化率是刻画函数值在处变化的快慢，故错误； 对于（4），在瞬时变化率中，Δt逼近零而不等于零，所以（4）错误； 对于（5），可以是正，也可以是负值，但不为零，可以是正，也可以是负，也可以为零，故正确； 对于（6），根据函数的平均变化率的定义知些式成立，故正确. 故答案为：（1）错误（2）正确（3）错误（4）错误（5）正确（6）正确 三、考点剖析，学以致用 考点1：瞬时速度、平均变化率 例1.（1）函数从到的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，；当时，，所以平均变化率为.故选：B. （2）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 【答案】D 【详解】∵物体做直线运动的方程为，根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．故选：D． （3）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ）   A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 【答案】D 【详解】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确. B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，B选项结论正确. C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确. D选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于在这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率D选项结论错误. 故选：D. 跟综训练： 1．函数在到之间的平均变化率为 ． 【答案】 【详解】.故答案为： 2．函数在[0，π]上的平均变化率为（ ） A．1 B．2 C．π D． 【答案】C 【详解】平均变化率为.故选：C 3.已知某质点运动方程为，其中S单位是m，t单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以当t=4时，，所以该质点在末的瞬时速度为.故选：B 4．在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（    ） A． B． C．13.1 D．3.3 【答案】B 【详解】由，得，当时，， 所以高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度，故选：B 3．（多选）如图显示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】BC 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误,B正确；在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故C正确，D错误．故选：BC． 考点2：导数定义中极限的简单计算 例2.（1）已知函数，则时，的值趋近于（    ） A．2a B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得.故选：C. （2）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】B 【详解】根据导数的定义可得，函数在处的导数为2，则.故选：B. （3）如果，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，，故选：B. （4）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为,所以,故选:A. 跟综训练： 1．设函数在处的导数为3，则（  ） A．3 B．1 C． D．6 【答案】A 【详解】因为函数在处的导数为3，所以.故选：A. 2．设，则（ ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】，故选A 3．若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】．故选：C. 4．已知函数在处可导，若，则（    ） A．22 B．11 C．-22 D．-11 【答案】A 【详解】因为,又，所以.故选：A. 考点3：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 例3.（1）已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D不正确， 故选：A. （2）设函数，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵，且，∴．故选：A．  （3）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A．-1 B．-3 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，所以，故选：D. （4）定义，已知函数在内的导函数为，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以 故选：B． 跟综训练： 1．已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】由点处的切线方程是可得：,时，,故,,故选：B 2．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A．10 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以，即，因此曲线在点处的切线的斜率为.故选：A. 3．，在处切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，令，∴即，∴在处切线方程为，即．故选：B． 四、课后练习，巩固提升 1．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【答案】D 【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.故选：D. 2．设，若，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【详解】.故选：D. 3．若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，，故函数从到的平均变化率为，故选：B. 4．函数在上可导，若，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【详解】．故选：A. 5．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 6．过曲线上两点和作割线，当时，割线AB的斜率为 . 【答案】4.1 【详解】，所以当时，AB的斜率为4.1. 7．已知曲线y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，则f（2）+f′（2）的值为 ． 【答案】9 【详解】y＝f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y＝2x+3，∴f（2）＝2×2+3＝4+3＝7，切线的斜率k＝2，即f′（2）＝2，则f（2）+f′（2）＝7+2＝9，故答案为：9 8．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】切线的斜率，设切点为，则，又，所以， 所以或，所以切点坐标为或．故选：AB． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$