2025年九年级中考数学专题训练—二次函数与线段周长问题

2025年中考数学专题训练—二次函数与线段周长问题 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点，对称轴交轴于点． （1）请直接写出这条抛物线和直线、直线的解析式； （2）连接、、，判断的形状，并说明理由； （3）如图2，点是抛物线上一动点，它的横坐标为，且，过点作轴于点，分别交线段、于点、．在点的运动过程中， ①、、这三条线段能否相等？若相等，请求出点的坐标；若不相等，请说明理由； ②在①的条件下，判断与的数量关系，并直接写出结论． 3．已知抛物线经过点，交轴于，两点，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图，已知直线的解析式为，过点作轴的垂线交于点，当时，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点． （1）如图1，当，，且时， ①求点M的坐标： ②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由； （2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分． 5．如图，已知抛物线图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与端点A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F． ①求证：四边形DECF是矩形； ②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，试说明变化情况． 6．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）三点． （1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标； （2）如图1，点M是抛物线对称轴上的一点，求△MBC周长的最小值； （3）如图2，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PDAC，交BC于点D，连接CP，求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值的时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形． 7．如图，抛物线经过点．点的坐标为，过点作直线轴，点是抛物线上一点，于点． 求抛物线解析式: 在抛物线对称轴上是否存在一定点,使得永远成立?若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由． 若点坐标为，求的最小值． 8．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点为直线下方抛物线上一动点（不与点，重合），于点，于点，交直线于点，当点的坐标为何值时，的值最大？ 9．如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．    (1)求、两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明：为直角三角形； (3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标． 10．设抛物线F的解析式为：y＝2x2﹣4nx+2n2+n，n为实数． （1）求抛物线F顶点的坐标（用n表示），并证明：当n变化时顶点在一条定直线l上； （2）如图，射线m是（1）中直线l与x轴正半轴夹角的平分线，点M，N都在射线m上，作MA⊥x轴、NB⊥x轴，垂足分别为点A、点B（点A在点B左侧），当MA+NB＝MN时，试判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，说明理由． （3）已知直线y＝kx+b与抛物线F中任意一条都相截，且截得的长度都为，求这条直线的解析式． 11．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，4)，在x轴上有一动点D9(m，0)（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E， （1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式． （2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）． （3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. (1)求抛物线的表达式； (2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 13．已知抛物线． (1)将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线的解析式为 ． (2)已知，，，交y轴于M，N点在直线上方的抛物线上．若使得的N点只有一个，求a的值 (3)在（1）所得的抛物线中，令，过作直线与此抛物线交于B、C两点，作轴于E，轴于F．求证：． 14．如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为轴上的一个定点．点是抛物线上一动点． （1）求这条抛物线的函数解析式； （2）已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若点到直线的距离为，求证：； （3）已知坐标平面内一点，求周长的最小值，并求出此时点坐标． 15．如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，交轴于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在直线上方的抛物线上，作轴，交线段于点，作轴，交抛物线于另一点，若，求点的坐标； (3)如图，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与，轴交于，两点，与新抛物线交于、两点，作线段的垂直平分线，交直线于点，交轴于点，若，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）顶点D的坐标为（﹣，）；（2）△ABC是直角三角形（3）当M的坐标为（﹣，） 2．（1），，；（2）为直角三角形，见解析；（3）①相等，；② 3．(1) (2) 4．（1）①；② 5．(1);（2） ②不变,. 6．（1）抛物线的解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为（1，）；（2）△MBC周长的最小值为；（3）△PCD面积的最大值为3，以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形． 7．（1）；（2）在抛物线对称轴上存在一定点,使得永远成立，点坐标为；（3） 8．（1）；（2）． 9．(1)，， (3)， (4) 10．（2）2；（3）y＝x+2． 11．（1）y＝﹣；y＝﹣x+4；（2）m＝2，四边形ODEB为矩形；（3） 12．(1) (2)①② 13．(1) (2) 14．（1）；（3），P（2，-） 15．(1) (2)点的坐标为或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$