3.7 切线长定理课件2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 3.7 切线长定理 引入新课 过⊙O外一点P画⊙O的切线,你能画出几条? O O′ P A B 发现:过⊙O外一点P能够画出⊙O的两条切线PA,PB. (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是, 它的对称轴是什么? (2)在这个图中你能找到相等的线段吗? 说说你的理由. 是轴对称图形,对称轴是直线OP. PA=PB. 切线长定义: 过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做 这点到圆的切线长.例如图中线段PA和PB的长. 学一学 切线长定义 注意 “切线长”具有以下特征: ①这条线段是圆的切线的一部分,一个端点是 切点,另一个端点是圆外已知点. ②“切线长”指的是这条线的长度,是一个数值. 通过前面的猜想,我们发现:PA=PB,你能证明这个结论吗? 切线长定理 学一学 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 切线长定理: 证明:连接OA,OB, ∵PA,PB是⊙O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=900. 在Rt POA和Rt POB中, ∵OA=OB, OP=OP, ∴Rt POA≌Rt POB, ∴PA=PB. 已知如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点. 求证:PA=PB. ∵PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点. ∴PA=PB. 几何语言 随堂练习 已知⊙O的半径为3cm,点P和圆心O的距离为6cm.过点P画⊙O的 两条切线,求这两条切线的切线长. 3 6 如图,四边形ABCD的四条边都与⊙O相切,图中的线段之间有哪些等量 关系? 结论:圆的外切四边形的两组对边的和相等. 想一想 圆的外切四边形的性质 E F G H 猜想:AB+CD=AD+BC. 证明:ABCD的四条边都与⊙O相切, 设切点分别是点E,F,G,H. ∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH. ∴将等式的左、右两边同时相加得 AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. 即AB+CD=AD+BC. 例题讲解 解:连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,设OD=r. 在Rt ABC中,AC=10,BC=24, 而AB=26 ∴34-2r=26 ∴r=4 即⊙O的半径为4. 例 如图,在Rt ABC中,∠C=900,AC=10,BC=24,⊙0是 ABC的内切圆, 切点分别为D,E,F,求⊙O的半径. ∵⊙O分别与AB,BC,AC相切与点D,E,F, ∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF. 又∵∠C=900 ∴四边形OECF为正方形. ∴CE=CF=r. ∴BE=24-r,AF=10-r. ∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r. 1.如图,PA和PB是⊙O的两条切线,A,B是切点.C是弧AB上任意一点, 过点C画⊙O的切线,分别交PA和PB于D,E两点.已知PA=PB=5cm, 求 PDE的周长. 习题3.9 解:∵PA,PB,DE分別切⊙O于A,B,C, ∴DA=DC,EB=EC. ∴DE=DC+EC=DA+EB ∴ PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10cm. 2.如图,⊙O是 ABC的内切圆,D,E,F为切点,且AB=9cm,BC=14cm, CA=13cm,求AF,BD,CE的长. 习题3.9 解:设AF=AE=x,BF=BD=ycm,CD=CE=zcm, x x y y z z ①+②+③得:2x+2y+2z=36, 即x+y+z=18④ 由④-①得:z=9 由④-②得:x=4 由④-③得:y=5 答:AF为4cm,BD为5cm,CE为9cm. 3.如图,PA和PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,∠P=40 .点D在AB上, 点E和点F分别在PB和PA上,且AD=BE,BD=AF,求∠EDF的度数 习题3.9 ∵∠PAB+∠PBA+∠P=180 ,∠PBA=∠PAB,∠P=40 , 解:∵PA,PB都是⊙O的切线, ∴PA=PB,即∠PAB=∠PBA. ∵AD=BE AF=BD ∴ ADF≌ BED, ∴∠AFD=∠BDE. ∵∠FAD+∠ADF+∠AFD=180 , ∠ADF+∠FDE+∠EDB=180 , ∴∠EDF=∠PAB 4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,且∠B=90 . (1)该四边形存在内切圆吗?(2)如果存在,请计算内切圆的半径. 习题3.9 解:(1)存在内切圆.连接AC,作∠ABC的平分线,交AC于点O. 4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,且∠B=90 . (1)该四边形存在内切圆吗?(2)如果存在,请计算内切圆的半径. 习题3.9 解:(2)作OE⊥BC,OF⊥AB,垂足分别为E,F. ∵∠ABC=90 ,OE=OF ∴四边形BEOF为正方形. 设OE=EB=BF=FO=r. ∵∠CEO=∠CBA=900,∠OEC=∠ABC, ∴ CEO∽ CBA. 课堂小结 一、切线长定义: 过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做 这点到圆的切线长.例如图中线段PA和PB的长. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等. 二、切线长定理: 即PA=PB. 此外还要注意: PAO≌ PBO,∠APO=∠BPO. 圆的外切四边形的两组对边的和相等. 三、圆的外切四边形的性质 E F G H 即AB+CD=AD+BC. 1.填空:PA、PB分别与⊙O相切于点A,B, (1)若PB=12,PO=13,则AO= ; (2)若PO=10,AO=6,则PB= ; (3)若PA=4,AO=3,则PO= ; AB= ;PD= ; 拓展提升 5 8 5 D 600 拓展提升 2.如图已知,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,PO与⊙O相 交于点D,且PA=4cm,PD=2cm.求半径OA的长. D 解:∵PA与⊙O相切于点A, ∴∠PAO=900. 解得r=3, ∴半径OA=3cm. 设OA=OD=rcm, 在Rt AOP中,由勾股定理得 OA2+AP2=OP2, ∵PD=2,AP=4, ∴r2+42=(r+2)2. 下课 $$