3.6 直线和圆的位置关系(1) 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

3.6 直线和圆的位置关系(1) 第三章 圆 d 点和圆的位置关系有几种？ (3)d ＞ r 温故知新 (2)d = r 　 (1)d ＜ r 　 r d d 点在圆内 点在圆上 点在圆外 　　“大漠孤烟直，长河落日圆” 描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种吗？ 创设情境 www.gzsxw.net 港中数学网 直线与圆的位置关系 观察三幅太阳落山的照片，地平线与太阳的位置关系是怎样的? 你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种? a(地平线) ●O ●O ●O 引入新课 a(地平线) 直线与圆的位置关系 作一个圆，把直尺边缘看成一条直线. 固定圆，平移直尺， 说一说你的发现： 直线和圆有哪几种位置关系? ●O ●O 相交 直线和圆有惟一的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点. ●O 相切 相离 做一做 如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系? 试一试根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吧！ ●O ●O 相交 ●O 相切 相离 r ┐d r d ┐ r d ┐ 直线与圆的位置关系的判定 想一想 点与圆的位置关系可以通过点、心(圆心)距与半径比较大小来加以判定， 那么直线和圆的位置关系能不能这样来判定呢？又该怎样判定呢？ l l l 直线和圆相切 直线和圆相离 ●O ●O 相交 ●O 相切 相离 r r r ┐d d ┐ d ┐ d ＜ r; 直线与圆的位置关系的判定 直线和圆相交 想一想 我们一般把d称为线、心距. d ＞ r. d = r; d = r; d ＞ r; 判定直线与圆的位置关系的方法有两种： (1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； (2)根据性质,由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断. 学一学 判定直线与圆的位置关系的方法有哪些？ www.gzsxw.net 港中数学网 1.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d . (3)若d = 8 cm ,则直线与圆_____直线与圆有____个公共点. (2)若d = 6.5cm ,则直线与圆____直线与圆有____个公共点. (1)若d = 4.5cm ,则直线与圆　　直线与圆有___个公共点. 相交 相切 相离 2 1 0 练一练 1.下图中的三个图形是轴对称图形吗?如果是，你能画出它们的 对称轴吗? 议一议 ●O ●O ●O 相切 相离 相交 2.如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?为什么？ 议一议 解：AB⊥CD. 证明：【方法一】 ∵图形为轴对称图形，AB为对称轴， 当沿AB折叠时，射线AC与射线AD重合. ∴∠BAC = ∠BAD. ∵∠BAC ＋∠BAD = 1800, ∴∠BAC = ∠BAD = 90°，即AB⊥CD. 证明：假设AB与CD不垂直.过点O作OE⊥CD,垂足为E,点E与点A不重合. E ∵点A在⊙O上, ∴OA = r. 则直线CD与⊙O相交. 这与已知直线CD与⊙O相切相矛盾. ∵OE⊥CD ∴OE＜OA,即OE＜r, 所以假设“AB与CD不垂直”是错误的， 即AB⊥CD. 【方法二】反证法. 学一学 切线性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言 ∵直线CD与⊙O相切与点A， ∴OA⊥CD. 应用方法 2.在无切点的条件下，圆心垂直切线，得到半径. (求长度) 1.在有切点的条件下，圆心连接切点，得到垂直；(证垂直) 已知Rt△ABC的斜边AB = 8cm,AC = 4cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切? A C B ┐ 解:(1)过点C作CD⊥AB于D. D ┛ ∵AB = 8cm,AC = 4cm. ∴∠A = 60°. 因此,当半径长为 cm时,AB与⊙C相切. 例题学习 例1 (2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm为半径作两个圆,这两个圆与AB 分别有怎样的位置关系? (2)解:由(1)可知,圆心到AB的距离d = cm. 例题学习 2.已知Rt△ABC的斜边AB = 8cm,AC = 4cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切? 例1 A C B ┐ D ┛ 随堂练习 1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取 值范围. B C 0 r 5 解：∵ 直线BC与半径为r的⊙O相交, d = 5， ∴ d＜r, ∴ r＞5. ● A′ 2.如图,一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少? 解：硬币滚动一圈,圆心经过的路径是与直线平行的一条线段,其 长度等于圆的周长. 随堂练习 ● A ● A ● A A ● 0 0′ 即滚动距离 =πd. 1.在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠B = 30°,O是AB上一点,OA = m，⊙O的 半径为r,当r与m满足怎样的关系时： (1)AC与⊙O相交？(2)AC与⊙O相切？(3)AC与⊙O相离？ O 习题3.7 O m A B C 300 H O A B C 300 m H 1.在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠B = 30°,O是AB上一点,OA = m，⊙O的 半径为r,当r与m满足怎样的关系时： (1)AC与⊙O相交？(2)AC与⊙O相切？(3)AC与⊙O相离？ O 习题3.7 O m A B C 300 H O m A B C 300 H O A B C 300 m H 习题3.7 2.用如下方法可以估测河流的大致宽度:如图，观测者站在岸边O处投下一 块石头，激起的半圆形波纹逐渐向远处扩展，当波纹刚好抵达对岸时， 另一观测者记录下波纹沿着观测者所在岸边所扩展的距离，这一距离就 是河流的大致宽度.请说明这种方法的合理性. A B 解：当波纹刚好抵达对岸时，波纹与对岸 恰好相切，设切点为A,连接OA,则OA⊥AC. 那么此时OA的长度即为河宽. 因为⊙O的半径为OB,所以OA = OB. 因此，只需测出波纹沿观测者所在岸边所扩展的距离OB的长度，就可得出OA的大致长度，即河的宽度. C C O 习题3.7 3.为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示 放置于桌面上，并量出AB = 6cm.这张光盘的直径是多少? 解：如图，设光盘的圆心为O，光盘与三角尺的切点为C. 连接OA，OB，OC，则OB⊥AB，OC⊥AC. ∵OB = OC,OA = OA, ∴Rt△OAC≌Rt△OAB， ∴∠OAC = ∠OAB. ∵∠CAB = 120°. ∴∠OAB= ∠CAB = 60°. 直线与圆的 位置关系 公共点个数 公共点名称 直线名称 数量关系 d＜r d = r d＞r 割线 切线 \ 交点 切点 \ 2 1 0 一、直线和圆的三种位置关系 相离 相切 相交 课堂小结 二、判定直线与圆的位置关系的方法有两种： (1)根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； (2)根据性质,由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断. 课堂小结 三、切线性质定理的应用方法: 2.在无切点的条件下，圆心垂直切线，得到半径. (求长度) 1.在有切点的条件下，圆心连接切点，得到垂直；(证垂直) A O l O l 如图，直线l为⊙O切线. 1.连切点，得垂直； 2.做垂直，得半径. 1.如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切线,A,B是切点. 请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系?并证明你的结论. A B P ●O 拓展练习 解：PA = PB. 证明：连接OA，OB，OP. ∵PA,PB都是⊙O的切线, A,B是切点， ∴OA⊥PA ,OB⊥PB. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∵OA = OB,PO = PO, ∴Rt△PAO≌Rt△PBO, ∴PA = PB. 2.如图,点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B， C两村庄,现要在B,C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通, 现测得∠ABC = 45°, ∠ACB = 30°．问此公路是否会穿过该森林公园？ 请通过计算进行说明． 拓展练习 D 45° 30° 300 A B C 1000 解：作AD⊥BC,垂足为D,设AD = x m. ∵366m＞300m, ∴此公路不会穿过该森林公园. 作 业 教材106页第18题 25 再 见 $$