江西省南昌市江铃学校2024—2025学年12月月考九年级数学试题

九年级上学期第三阶段数学练习 练习内容（第21章至第25章）】 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其 代码填涂在答题卡相应位置。错选，多选或未选均不得分。 1.下列方程中，是一元二次方程的是 A.x2-y=0 B.x2=2x+1 C7+3=0 D.(x-1)x2=2 2.下列四个图案中，是中心对称图形的个数是 功 A.I个 B.2个 C.3个 D.4个 3.⊙0的直径为4cm,圆心0到直线1的距离为3cm,则直线1与圆的位置 14 关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 4.若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是( 密A.a≤1 B.a≥1 C.a≤4 D.a<1 封5.如图，⊙上三点A、B.C,∠A=60°，0C=4,则BC长为 加线 A.42 B.6 数外 C.8 不 D.45 得 6.如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型 容 沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图2所示的坐标系，若点A的 15 题 坐标为(-15，-100)，点B(a,-144)是图1中沙丘两个端点，则a的值为 图1 图2 A.15 B.18 C.24 D.36 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分】 7.抛物线y=-x2+2的顶点坐标为 16 8.九年级数学上册共有154页，翻开此书，发现页码为“164”的事件是 为 9.若m、n是一元二次方程x2-x-7=0的两根，则mn+2m+2n的值 部 为 10.如右图，直线MN与⊙0相切于点A,BC为⊙0的弦， ∠CAN=0°，AB平分∠CAN,则∠C的度数为 11.二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方，M 则实数素的取值范围是 △ABC中，∠C=90°，∠A=25°，点0是AB的中点，将0B绕点0向三角形17 外部旋转a角时(0°<a<180).得到0P,当△MCP恰为等腰三角形时. a的值为 解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分】 (本题2小题，每小题3分) (1)解方程：x2-3x=0; (2)求抛物线y=x2+2x-8与坐标轴的交点坐标 如图，在△ABC中，∠CAB=30°，∠B=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转 30°，得到△ADE,连接CE.求证：B、C、E三点共线 四 18 某地为高铁建设，需要将一些沿线居民迁往异地安置，2022年共投人资金 1280万元，并规划投人资金逐年增加，2024年投入资金为2880万元 求从2022年到2024年，该地投人异地安置资金的年平均增长率 19 如图，AB是⊙O的弦，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图 痕迹). (1)在图1中，请在图中作一个矩形： (2)在图2中，M为AB的中点，请以AB为底作一个等腰三角形 。0 B M 图1 图2 【九年级第三阶段·数学·R·WS·J区专用·第1页（共2页）Ⅱ5】 某班体育爱好者小川和小红对于足球和篮球赛事比较热心，但小川更 喜欢足球，小红更喜欢篮球，某日约定一起在家中观看球赛，家中只有 一部电视，如果此刻有两个台同时播放篮球赛，另一个台播放足球赛， 二人商定利用抽签的方式确定观看比赛 (1)如果将三个不同的台做成签，小川先抽，则他从三个签抽一个， 抽到的是放足球这个台的概率为 (2)若小红先抽，则小川抽到的是播放足球赛的这个台的概率 解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）】 已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-】=0 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根： (2)如果方程的两个实数根为x,x1,且x+号-x,1=9,求m的值 已知点(1,1)在二次函数y=x2-2ax+b的图象上 (1)用含a的代数式表示b: (2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的 顶点坐标 20.如右图是一块由篱笆围成的矩形菜园ABCD,中间为一条与CD边22已知抛物线y=2+bx+5与y轴的交点为A,且y与x的部分对应值|六、解答题（本大题共12分） 平行的臂笆EF.已知篱笆的总长为100m(篱笆的厚度忽略不计)， 如下表： 23.某数学小组在探究三角形与四边形的一个问题的过程中，经历了如下 当矩形ABCD的面积为4O0m2时，求EF的长 …-10125… 过程： 问题初探 y .0m890 (1)如图I,在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点M是在BC上， (1)抛物线的对称轴为直线 ,点A的坐标为 BM=1cm,CM=2cm,将△ABM绕点A旋转后得到△ACN, 并画出函数y=ax2+bx+5的图象； 连接MN,则AM= cm. (2)设点P为抛物线上的个动点，连接AP,取AP的中点P八.猜想点P构 类比探究 成的曲线是什么函数的图象，求此函数的解析式，并在网格中画出该函 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD=a.CB=CD,AB⊥BC于点B 数的大致图象 AD⊥CD于点D,点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD =∠PCQ,求△APQ的周长（结果用a表示） 拓展应用 (3)如图3，已知四边形ABCD,AD=CD,∠ADC=60°，∠ABC=75· AB=22,BC=2,求四边形ABCD的面积 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分】 21.课本再现 我们在学习直线和圆的位置关系时，教材中定义了切线，即直线和 圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一公共点叫做切点， 如图1，直线I⊥O4,垂足为A,点A在⊙0上，请说明直线1是⊙0的 切线； 知识应用 如图2，A、B、C、D均在⊙0上，连接⊙0外一点P与⊙0上一点A 并延长PA交⊙O于点B,OC⊥PB,垂足为F,连接CD交PB于点E, 若⊙O的半径为4，∠B=∠C=30°，PE=DE. (1)求证：PD是⊙0的切线： (2)求线段PB和弧CD的长 【九年级第三阶段·数学·R·WS·J区专用·第2页（共2页）Ⅱ5】九年级数学(人）第三阶段参考答案 5 1．B 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．（0，2） 8．不可能事件（或确定性事件） 9．－5 10．55° 11． k＜4 12．50°或 65°或 80° 13．解：（1）由 032  xx ，得 0)3( xx ． ……………………………………………1分 ∴原方程的解为 01 x ， 32 x ． ……………………………………………………3分 （2）解：∵当 822  xxy =0时， 解得 21 x ， 42 x ． …………………………………………………………………1分 ∴二次函数 822  xxy 的图象与 x轴的交点坐标为（2，0），（－4，0）． …………………2分 ∵ 0x 时， 822  xxy = 8 ， ∴二次函数 822  xxy 的图象与 y轴的交点坐标为（0，－8）． …………3分 14．∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， ∴∠BCA=180°－30°－45°=105°． ………………………………………………1分 ∵△ABC绕点 A顺时针旋转 30°，得到△ADE， ∴AC=AE． …………………………………………………………………………………………2分 ∴∠ACE=180°30° 2 = 75°． ……………………………………………………………………………4分 ∴∠BCA+∠ACE=180°，即 B，C，E三点共线． ………………………………………………6分 15．解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为 x， ……………………………1分 根据题意，得 2880)1(1280 2  x ． …………………………………………………4分 解得 ＝0.5或 ＝－2.5（不合题意，舍去）． 答：从 2022年到 2024年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为 50%． ………………6分 16．解：（1）如图 1，四边形 ABCD即为所作； ………………………………………………3分 （2）如图 2，△ABC即为所作． …………………………………………………………………6分 17．解：（1） 1 3 …………………………………………………………………………………………2分 （2）设播放篮球赛为 A，B台，播放足球赛 C台， 所有等可能结果用树状图表示如下： 即所有等可能结果共有 6种，其中小川抽到足球有 2种， ………………………………5分 ∴P（小川抽到足球赛电视台）= 2 1 6 3  ． ………………………………………………6分 18．解：（1）∵ 2 ( 2) 1 0x m x m     ， ∴在一元二次方程的一般式中 1a ， )2(  mb ， 1 mc ． ∴ acb 42  2[ ( 2)] 4 1 ( 1)m m       2 8m  ． ………………………………2分 ∴△>0． ………………………………………………………………………………………3分 即无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． ………………………………………4分 （2）∵方程的两个实数根为 1x ， 2x ， ∴ 221  mxx ， 121  mxx ． ………………………………………5分 ∵ 921 2 2 2 1  xxxx ， ∴ 9)1(3)2(3)( 221 2 21  mmxxxx ． ………………………………………6分 整理，得 2 2 0m m   ．解得 1 2m   ， 2 1m  ． ∴m的值为 2 或 1． ……………………………………………………………………………8分 19．解：（1）b＝2a ………………………………………………………………………………3分 （2）由题意可知＝0，即 ba 44 2  ＝0， 把 b＝2a代入得， aa 84 2  ＝0，解得 01 a ， 22 a ………………………5分 则 b对应的值分别为 0，4. ………………………………………………………………6分 该二次函数式为 2xy  或 22 )2(44  xxxy ， 该二次函数的顶点坐标为（0，0）或（2，0） ……………………………………8分 20．解：设 xEF  m，则 xCDAB  m． ∵篱笆的总长为 100m， ∴ 2 3100 xAD  m． ………………………………………………………………1分 ∵矩形土地 ABCD面积 400m2， ∴ 400 2 3100   xx ，化为 08001003 2  xx ． ……………………………………4分 解得 32 80034100)100( 2   x = 6 20100  ， 即 201 x ， 3 40 2 x ． ………………………………………………………………………………6分 ∴EF的长为 20m或 3 40 m． …………………………………………………………8分 21．解：在直线 l任取异于点 A的一个点 M，连接 OM． …………………1分 ∵直线 l⊥⊙O，垂足为 A， ∴△OAM是以 OM为斜边的直角三角形． ………………………………2分 ∴OM >OA，即点 M不在⊙O上． ∴直线 l是⊙O的切线． ………………………………………………………3分 （1）连接 OD， …………………………………………………………………4分 ∵OD=OC，∠B=∠C=30°， ∴∠ODC=∠30°． ∵OC⊥PB， ∴∠CEF=∠PED=60°． ………………………………………………………………5分 ∵PE=DE， ∴△PED是等边三角形，∠PDE=60°．∴∠PDO=90°，即 PD是⊙O的切线． ……………………6分 （2）∵OC⊥PB，OB=4，∠B=30°， ∴BD=8，∴PB=2PD ∴PD2+82=PB2 ,∴PB= 3 316 …………………………………………………8分 ∵∠ODC=∠30°， ∴∠DOC=∠120°．∴由半径 OB=4，得 CD弧的长为120 4 8 180 3     ． …………9分 22．解：（1） 2x ………………………1分 （0，5） ……………2分 函数图象如图所示. 根据表格中的数据，可利用描点法画出该函数的图象如右： ………………………3分 （2）点 P′构成的曲线是抛物线． …………………………………………………4 分 抛物线 52  bxaxy 过点（－1，0）和（1，8）， ∴      85 05 ba ba ，解得      4 1 b a ， 即抛物线的表达式为 y=－2+4x+5．……………………………………………6分 可设点 P 的坐标为（a，－a2+4a+5）， ∵点 A 坐标为（0，5），P′是 AP 的中点， ∴P′（ 2 a ， 2 1042  aa ）． 令 ta  2 ，则 a=2t． ∴ 542 2 1084 2 104 222  ttttaa ． ∴点 P′构成的曲线是抛物线 542 2  xxy ． ………………………………7分 该函数的大致图象如上图所示． …………………………………………………9分 23．解：（1）解法提示如下：如答图 1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°， 由旋转得：CN＝BM＝1，∠ACN＝∠B＝45°，∠MAN＝∠BAC＝90°，AM＝AN， ∴∠MCN＝∠ACB+∠ACN＝45°+45°＝90°，△AMN是等腰直角三角形， ∵CM＝2，MN＝ 22 + 12＝ 5，∴AM＝ 2 2 5,MN＝ 10 2 （cm）； 故答案为 10 2 ； ………………………………………………………………………………3分 （2）如答图 2，延长 AB到 E，使 BE＝DQ，连接 CE， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠CDQ＝90°， 在△CDQ和△CBE中， ܦ = ພܦ∠ = ∠ພ ພܦ = ພ ， ∴△CDQ≌△CBE（SAS），∴∠DCQ＝∠BCE，CQ＝CE， ∵∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，∴∠PCB+∠BCE＝∠PCQ＝∠PCE， 在△QCP和△ECP中， ພ = ພ ∠ພ = ∠ພ = ， ∴△QCP≌△ECP（SAS），∴PQ＝PE， ∴△APQ的周长＝AQ+PQ+AP＝AQ+PE+AP ＝AQ+BE+PB+AP ＝AQ+DQ+AB ＝2AB ＝2． ………………………………………………………………7分 （3）如答图 3，连接 BD，由于 AD＝CD，所以可将△BCD绕点 D顺时针方向旋转 60°，得到△DAB'， 连接 BB'，延长 BA，作 B'E⊥BA于 E，由旋转，得△BCD≌△B'AD， ∴BD＝B'D，∠BDB'＝60°，∠CBD＝∠AB'D， ∴四边形 ܦ = 四边形 ．BDB'是等边三角形△，'ܦ ∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°， ∴∠BAB'＝∠BDB'+∠AB'D+∠ABD＝135°，∠B'AE＝45°． ∵B'A＝BC＝2，∴B'E＝AE＝ 2， ∴BE＝AB+AE＝2 2+ 2＝3 2． ∴BB'＝ ( 22 + (3 22＝2 5． 设等边三角形的高为 h，根据勾股定理，得 h＝ (2 52 + ( 52＝ 15， ∴四边形 ܦ = 四边形 'ܦ 'ܦ△＝ △' ＝ 1 2 ×2 5× 15－ 1 2 ×2 2× 2 ＝5 3－2． ………………………………………………………12分