2024年 浙江省绍兴市柯桥区九年级数学学科竞赛试卷

2024.11 绍兴柯桥数学学科素养测试 一、填空题 (本题有 6 小题, 每小题 8 分, 共 48 分) 1.一个盒子里有完全相同的三个小球,球上分别标上数字一2、一1、3,随机摸出一个小球 (不放回) 其数字记为 ,再随机摸出另一个小球其数字记为 ,则满足关于 的方程 有实数解的概率是_____. 2.如图,二次函数 的图像与 轴交于 , 两点,与 轴交于点 ,其对称轴是直线 ,点 的坐标为(-1,0). 若 ,当 时,二次函数 的最小值为 ,则 的值为_____. 3.等腰直角三角形 中, 分别在边 上,且 为线段 上一点,连结 ,若 ,则 的度数为_____. 4.设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ,若函数 的图像与 轴仅有一个交点,则 的值是_____. 5.如图,在 中, 为 内一点, 且 , . 若 , ,则 的长为_____. 6.如图,在四边形 中, , , ,若 的面积为 面积的一半,则 的长为_____. 二、解答题 (本第 7、8 小题每小题 16 分, 第 9 题 20 分, 共 52 分) 7.已知 均为实数,且 (其中 ), (1)若 ,求 的值； (2)用只含有 的代数式表示 . 8. 中, 为边 上一点, 为边 上的动点,连结 ,以 为边向 右侧作等边三角形 为 中点,连结 并延长交 于点 . (1)求证: 为 的中点； (2)若 ,求 的值. 9.如图,圆内接五边形 ,连结 分别交 于点 ,连结 交 于点 ,且有 (1)求证: ; (2) 若 ,求 的长. 2024.11 绍兴柯桥数学学科素养测试全解全析 1.解析 要使方程 有实数解即需 ,即 ,显然共有 6 组 , ,显然满足题意的有: , ,故 . 2. 解析 由二次函数的对称性得 ,依据两点式知 ,又 , 则 ,则 在 时取到最小值,即 ,解得 (舍) 或 ,故 . 3. 解析 等腰直角三角形 中, . ① 当 为 中点时,如右图所示, 此时 , , , , 又 , , . ② 当 不为 中点时,如右图所示, 取 中点 ,此时 . , , , , , , , . 综上 的度数为 或 . 4. 解析 一次函数 可变形为 , 方程 ,解为 或 , 函数 的图像与 轴仅有一个交点, . 5. 解析 如图,绕点 旋转 使 与 重合,得 ,作 交 于点 ,作 交 延长线于点 ,作 于点 . 易得四边形 为菱形, . . . . 6.解析 如图,作 于点 于点 于点 ,易得矩形 . . ,设 ,则 . , ,解得 . 二、解答题 (本第 7、8 小题每小题 16 分, 第 9 题 20 分, 共 52 分) 7.解析 (1)令 ,则 , 将其代入 ,整理化简得 ①+②+③且两边同除以 2,得 . (2)由题意 ,①-③+②得 ,所以 , 同理可得 . 8.解析 (1)如右图,连结 , 为等边三角形, 为 中点, 为定值, , 由瓜豆原理, 的轨迹为一条直线. 当 与 重合时,此时 点为 边上的中点, 当 点与 点重合时,此时 为 上的中点, 因此 的轨迹为 的中位线. 取 边上的中点 ,连结 ,由 知 为 的中点. (2)以 为原点, 为 轴, 为 轴,建立平面直角坐标系, 不妨令 , 由 ,得 , 从而 的斜率 , 由 为等边三角形,根据直线斜率与夹角公式 ,得 , 直线 的解析式为 , 为 的中点, 的纵坐标为 0, 的纵坐标为 , 的纵坐标为 , 代入 的解析式得 ,从而 , 直线 的解析式为 ,因此 , . 9.解析 (1)证明: 由 得 ,则 , 由同弧所对的圆周角相等得 , 又 ,则 , 则 , 显然有 , 故 ,因此 ,故 . (2)取 中点 ,连接 ,取 中点 ,连接 , 由 (1) 得: , 又 ,故 ,则 , 故 , 由三线合一得 , 设 ,设 ,则 , 由 得 为 中点, 由 (1) 得: , 由平行线分线段成比例定理得 为 中点, 则 ,故 , 由同弧所对的圆周角相等得 , 由 得 ,则 , 又 ,故 和 相似, 则 ,即 ,即 , 由同弧所对的圆周角相等得 ,故 , 故 ,在 Rt 中由勾股定理得 , 联立①②得 ,解得 ③, 把③代入①得 , 由 得 和 相似, 则 ,即 . 学科网（北京）股份有限公司 $$