3.12 平面直角坐标系与函数-【一战成名新中考】2025福建中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·福建数学 第三章　 函　 数　 　 (每年 3 ~ 5 道,16 ~ 32 分) 　 　 第 三 章 　 函 　 数 命题点 12　 平面直角坐标系与函数 (必考,除 2019 年外均涉及考查) 　 问题启发思维 问题 1:给你一个长为 6、宽为 4 的矩形 ABCD,请你建立适当的平面直角坐标系,使其顶点 D 的坐 标为( -2,-3),其他三个顶点的坐标分别是? 问题 2:不改变矩形 ABCD 的边长,让其形变为平行四边形 ABCD(边 AB 始终在边 CD 上方),仍 然使其顶点 D 的坐标为( -2,-3),且点 A 在坐标轴上 ∙∙∙∙ ,其余两个顶点的坐标分别是? 问题 3:如何在平面直角坐标系中作出一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形呢? 问题 4:什么是函数? 你能用生活中哪些情形举例说明呢? 函数有哪些表示方法? 要点 1 平面直角坐标系中点的坐标特征 对应关系 坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的 各象限内点 的坐标特征 点 P(x,y)在第一象限⇔x>0 且 y>0; 点 P(x,y)在第二象限⇔x<0 且 y>0; 点 P(x,y)在第三象限⇔x<0 且 y<0; 点 P(x,y)在第四象限⇔x>0 且 y<0 坐标轴上点 的坐标特征 点 A(x,y)在 x 轴上⇔①　 y　 = 0; 点 B(x,y)在 y 轴上⇔②　 x　 = 0; 点 P(x,y)在原点⇔③　 x=0 且　 注意:坐标轴上的点不属于任何象限 92 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 各象限角平 分线上点的 坐标特征 第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等; 第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 平行于坐标 轴的直线上 点 的 坐 标 特征 平行于 x 轴的直线上点的④　 　 　 坐标相等; 平行于 y 轴的直线上点的⑤　 　 　 坐标相等 对点练习 典例　 已知平面直角坐标系中有一点 P(2-m,3m+6),在下面横线上填写出正确的答案. (1)若点 P 在 x 轴上,则 m= 　 　 　 ;若点 P 在 y 轴上,则 m= 　 　 　 ; (2)若点 P 在第一象限,则m的取值范围是　 　 　 　 ;若点 P 在第二象限,则m的取值范围是　 　 　 ; 点 P 不可能在第　 　 　 象限; (3)若点 P 在第一象限的角平分线上,则 m = 　 　 　 ;若点 P 在第四象限的角平分线上,则 m= 　 　 　 ; (4) 若 点 P 所 在 的 直 线 平 行 于 x 轴, 请 写 出 该 直 线 上 除 点 P 外 的 任 意 一 点 坐 标:　 　 　 　 　 　 　 　 . 要点 2 平面直角坐标系中点的坐标变化 对称点的 坐标特征 A(x,y) 关于 x 轴对称 →A1⑥　 (x,-y) 　 ; A(x,y) 关于 y 轴对称 →A2⑦　 (-x,y) 　 ; A(x,y) 关于原点对称 →A3⑧　 (-x,-y) 　 归纳:关于坐标轴对称时,关于谁对称谁不变,另一个变 号;关于原点对称都变号 《负面清单》增加关于坐标轴对称以外的点的对称点的坐标 表示. 示例:点(a,b)关于直线 y= x(或 y= -x)对称的点的坐标是什么? 点平移的 坐标特征 A(x,y) 向左平移 a 个单位长度 →A1(x-a,y); A(x,y) 向右平移 a 个单位长度 →A2⑨　 (x+a,y) 　 ; A(x,y) 向上平移 a 个单位长度 →A3⑩　 (x,y+a) 　 ; A(x,y) 向下平移 a 个单位长度 →A4􀃊􀁉􀁓　 (x,y-a) 　 归纳:左右平移,左减右加;上下平移,上加下减 03 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 续表 点旋转的 坐标特征 若点 A 的坐标为(m,n),借助如图网格中的矩形􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍可得一 般性结论: (1)将点 A 绕原点顺时针旋转 90°,对应点 A1 的坐标为 􀃊􀁉􀁔　 (n,-m) 　 ; (2)将点 A 绕原点逆时针旋转 90°,对应点 A2 的坐标为 􀃊􀁉􀁕　 (-n,m) 　 ; (3)将点 A 绕原点旋转 180°,对应点 A3 的坐标为 􀃊􀁉􀁖　 (-m,-n)　 对点练习 典例　 点 P( -2,3)关于原点对称的点的坐标是　 　 　 　 . 变式 在平面直角坐标系中,点 A( -2,3)可以通过怎样的几何变化得到以下点? 对称　 (1)点 A1(2,3):　 　 　 　 　 　 ; 平移　 (2)点 A2(1,3):　 　 　 　 　 　 ; 旋转　 (3)点 A3(3,2):　 　 　 　 　 　 . 要点 3 平面直角坐标系中的距离及中点坐标 坐标系内任意 一点到坐标轴 及原点的距离 (1)点 P(a,b)到 x 轴的距离为 | b | ; (2)点 P(a,b)到 y 轴的距离为􀃊􀁉􀁗　 | a | 　 ; (3)点 P(a,b)到原点的距离为􀃊􀁉􀁘　 a 　 x 轴上 (或平 行于 x 轴的直 线上)两点的 距离 (1) 点 A、B 在 x 轴上时,两点间的距离 AB = 􀃊􀁉􀁙 | x1-x2 | 　 ; (2)点 A′、B′在平行于 x 轴的直线 y =m 上,两点 间的距离 A′B′= | x1-x2 | y 轴上 (或平 行于 y 轴的直 线上)两点的 距离 (1) 点 C、D 在 y 轴上,则两点间的距离 CD = 􀃊􀁉􀁚 | y1-y2 | 　 ; (2)点 C′、D′在平行于 y 轴的直线 x = n 上,则两 点间的距离 C′D′= | y1-y2 | 坐标系内任意 两点间的距离 及其中点坐标 (1)A(x1,y1),B( x2,y2)两点之间的距离即为线 段 AB 的长. 如图,在 Rt△ABC 中,AC = 􀃊􀁉􀁛　 | y2 -y1 | 　 , BC= | x2-x1 | ,根据勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2,即 AB= (x2-x1) 2+(y2-y1) 2 ; (2)线段 AB 的中点 Q 的坐标为( x1+x2 2 , y1+y2 2 ) 13 基础夯实练·福建数学 第 三 章 　 函 　 数 典例题图 对点练习 典例　 如图,平面直角坐标系中有一点 A,在下面横线上填写出正确的答案. (1)点 A的坐标为　 　 　 　 ,它到 x 轴的距离为　 　 　 ,到 y 轴的距 离为　 　 　 ,到原点 O的距离为　 　 　 ; (2)线段 OA 的中点 M 的坐标为　 　 　 　 ; (3)易错 ∙ ∙ 若 AB∥x 轴,且 AB = 2,则点 B 有 　 　 　 个,坐标为 　 　 　 　 　 　 ; (4)易错 ∙∙ 若点 P 是第一象限内的格点,且 PA=OA,则点 P 的坐标 为　 　 　 　 　 　 ; (5)易错 ∙∙ 若点 B ( 2,m) 到 x 轴的距离为 1,则点 B 的坐标为 　 　 　 　 　 　 ,AB 的长为　 　 　 　 　 　 . 要点 4 函数的相关概念及取值范围 1. 函数的相关概念 (1)常量和变量:在某一变化过程中,保持不变的量叫作常量,发生变化的量叫作变量; (2)函数:一般地,在某个变化中,有两个变量 x 和 y,如果对于任意一个 x 都有􀃊􀁊􀁒　 唯一确定　 的 y 与它对应,那么就说 y 是 x 的函数. 其中, x 叫作􀃊􀁊􀁓　 自变量　 , y 叫作􀃊􀁊􀁔　 因变量　 ; (3)函数值:在自变量 x 的取值范围内,如果当 x=a 时,y= b,那么 b 叫作当自变量的值为 a 时 的函数值. 《负面清单》函数内容增加 f(x)形式的表达. 2. 函数的三种表示方法:解析式法、列表法、图象法. 3. 描点法画函数图象的步骤: 列表、描点、连线. 4. 函数自变量的取值范围 函数 解析式 y= x-1 y= 1 x-1 y= x-1 y= x-1 x-1 y= x -1 x-1 自变量的 取值范围 x 可取 任意值 x-1􀃊􀁊􀁕　 ≠　 0, 即 x􀃊􀁊􀁖　 ≠　 1 x-1􀃊􀁊􀁗 ≥　 0, 即 x􀃊􀁊􀁘　 ≥　 1 x-1􀃊􀁊􀁙　 ≥　 0 且 x-1􀃊􀁊􀁚　 ≠　 0,即 x􀃊􀁊􀁛　 >　 1 x-1􀃊􀁋􀁒　 >　 0, 即 x􀃊􀁋􀁓　 >　 1 注:在实际问题中,自变量的取值范围应使该问题符合实际意义 对点练习 典例 1　 下图中,分别给出了变量 x 与 y 之间的对应关系,其中 y 不是 x 的函数的是 (　 　 ) 典例 2　 [人教八下 P82 第 4,5 题改编]函数 y = x-2 x-1 中自变量的取值范围是　 　 　 　 ;函数 y = x-3 中 自变量的取值范围是　 　 　 　 . 温馨提示:请完成分层作业本 P25-26 习题 23 ⑨互为相反数　 ⑩①+②　 􀃊􀁉􀁓18x= 36 练习 1　 解:方程组的解为 x= 3, y= -2.{ 练习 2　 解:方程组的解是 x= -1, y= 2.{ 要点 4　 典例　 2　 变式 1 2　 变式 2 1 命题点 7　 一次方程(组)的实际应用 典例　 (100-x);10x+(100-x) ×1 = 235;x= 15,则 100-x= 85;这个 月该 公 司 销 售 甲 种 特 产 15 吨, 销 售 乙 种 特 产 85 吨; a+b= 100, 10a+b= 235{ 练习 1　 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 练习 2　 1 12 x+ 1 24 x= 1 拓展设问 1 7　 拓展设问 2 9 练习 3　 x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 练习 4　 B 命题点 8　 一元二次方程及其解法 要点 1　 ①a≠0　 ②a≠0　 典例　 B 要点 2　 典例　 D 练习 1　 解:x1 = 0,x2 = 2. 练习 2　 解:x1 = 2,x2 = -4. 要点 3　 ③两个不相等　 ④两个相等　 ⑤- b 2a 　 ⑥没有 典例　 (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 练习　 D　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(a+ 1) x2 + 2bx+(a+ 1)= 0 有两个相等的实数根,∴ a+1≠0, Δ= (2b) 2 -4(a+1) 2 = 0,{ ∴ b = a+1 或 b= -(a+1) . 当 b=a+1 时,有 a-b+1 = 0,当 a= 0,b= 1 时 -1 是方程 x2 +2x+1 = 0 的根;当 b= -(a+1)时,有 a+b+1 = 0,当 a= 0,b= -1 时 1 是方程 x2 -2x+1 = 0 的根. ∵ a+1≠0,∴ a+1≠ -(a+1),∴ 1 和-1 不都是关于 x 的方程 x2 +bx+a= 0 的根. 要点 4　 ⑦- b a 　 ⑧ c a 典例　 2　 练习　 (1)4;(2) -2;(3) -2;(4)20 命题点 9　 一元二次方程的实际应用 ①a(1+x)　 ②a(1+x) 2 　 ③a(1+x) 2 = b　 ④a(1-x)　 ⑤a(1-x) 2 　 ⑥a(1-x) 2 = b　 ⑦(a-2x)(b-2x)　 ⑧(a-x)(b-x) ⑨x· m-x 2 　 ⑩x· m+1-x 2 　 􀃊􀁉􀁓(a-2x)(b-2x)　 􀃊􀁉􀁔 (200+5x)　 􀃊􀁉􀁕(30-x-20)(200+5x)　 􀃊􀁉􀁖[200+5(30-x)] 　 􀃊􀁉􀁗( x-20) [200+ 5(30-x)]　 􀃊􀁉􀁘a[1+(x-1)]　 􀃊􀁉􀁙a[1+(x-1)] 2 　 􀃊􀁉􀁚(1+x)　 􀃊􀁉􀁛(1+x) 2 典例　 B　 练习 1　 2 m　 拓展设问 (40-2x)(26-x)= 144×6 练习 2　 2 750　 练习 3　 10　 练习 4　 B 命题点 10　 分式方程及其应用 要点 1　 ①(x-2)　 ②3 = -(x+1) -(x-2)　 ③3 = -x-1-x+2 ④x= -1　 ⑤当 x= -1 时,x-2≠0　 ⑥x= -1 典例　 解:原方程的解为 x= 10. 练习　 (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 要点 2　 典例　 600 x ;x+10; 350 x+10 ; 600 x = 2× 350 x+10 ;x = 60;经检验,x = 60 是原 分式方程的解,且符合题意;则 B 种书包每个的进价为 x+10 = 70; A 种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元 练习 1 　 解:A 种树苗的单价是 6 元 /棵, B 种树苗的单价是 9 元 /棵. 练习 2　 原计划每天挖掘隧道的长度 变式 1 6　 变式 2 6 命题点 11　 一元一次不等式(组)及其应用 要点 1　 ①>　 ②>　 ③< 典例　 C 要点 2　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a 典例　 x<1 练习　 解:x≥-1. 原不等式的解集在数轴上表示略. 要点 3　 ⑧x>b　 ⑨x<a　 ⑩a<x<b　 􀃊􀁉􀁓无解 典例　 解:原不等式组的解集为-3≤x<1. 练习　 解:不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上略. 要点 4　 典例 1　 (1)1;(2)a≤2;(3)3;(4)a≥2 典例 2　 (1) -1;(2)a<2;(3) -1≤a<0;(4)a<0;(5)a≥2 要点 5　 􀃊􀁉􀁔>　 􀃊􀁉􀁕<　 􀃊􀁉􀁖≥　 􀃊􀁉􀁗≤　 􀃊􀁉􀁘x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁙ax+b(m-x)≤n 典例　 C　 练习　 解:小明至少答对 22 道题. 第三章　 函　 数 命题点 12　 平面直角坐标系与函数 要点 1　 ①y　 ②x　 ③x= 0 且 y= 0　 ④纵　 ⑤横 典例　 (1) -2,2;(2) -2<m<2,m>2,三;(3) -1,-4; (4)(1,3m+6)(答案不唯一) 要点 2　 ⑥(x,-y)　 ⑦( -x,y)　 ⑧( -x,-y)　 ⑨(x+a,y) 􀃊􀁉􀁒(x,y+a)　 􀃊􀁉􀁓(x,y-a)　 􀃊􀁉􀁔(n,-m)　 􀃊􀁉􀁕( -n,m)　 􀃊􀁉􀁖( -m,-n) 典例　 (2,-3) 变式 　 (1)关于 y 轴对称; (2)向右平移 3 个单位; (3)将点 A 绕原点 O 顺时针旋转 90°(答案不唯一) 要点 3　 􀃊􀁉􀁗 | a | 　 􀃊􀁉􀁘 a2 +b2 　 􀃊􀁉􀁙 | x1 -x2 | 　 􀃊􀁉􀁚 | y1 -y2 | 　 􀃊􀁉􀁛 | y2 -y1 | 典例　 (1) ( - 1,2),2,1, 5 ;( 2) ( - 1 2 ,1); ( 3) 2, ( - 3,2) 或 (1,2);(4)(1,1)或(1,3);(5)(2,1)或(2,-1), 10或 3 2 要点 4　 􀃊􀁊􀁒唯一确定　 􀃊􀁊􀁓自变量　 􀃊􀁊􀁔因变量　 􀃊􀁊􀁕≠　 􀃊􀁊􀁖≠ 􀃊􀁊􀁗≥　 􀃊􀁊􀁘≥　 􀃊􀁊􀁙≥　 􀃊􀁊􀁚≠　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒>　 􀃊􀁋􀁓> 典例 1　 C　 典例 2　 x≠1;x≥3 命题点 13　 一次函数的图象与性质 要点 1　 ① 　 ② 　 ③ 　 ④一、二、三　 ⑤一、三　 ⑥一、三、四　 ⑦一、二、四 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631