阅读09：三角形的中线、角平分线与高线问题学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 高一阅读学案——三角形的中线、角平分线与高线问题 ----衔接教材必修四《解三角形》 【阅读目标】： 1.通过阅读，了解三角形中角平分线、中线和高线的性质及其推导过程； 2.能结合三角形中线、角平分线和高线的性质求解三角形. 【阅读内容】 角平分线、中线、高线是三角形中常见的几何元素，具有丰富的几何性质，古代对它们的研究 角平分线问题起源于古希腊的几何学，最早的文献记载可以追溯到公元前五世纪的《元素》一书中。该问题的提出者是古希腊数学家亚历山大的伊壁鸠鲁斯。伊壁鸠鲁斯对于角平分线的研究主要集中在如何使用直尺和圆规来构造角平分线上。 在《元素》一书中，欧几里得提出了一种解决角平分线问题的方法，称为欧几里得构造法。该构造法基于一系列几何命题和推理，通过使用直尺和圆规来构造角平分线。 随着时间的推移，许多数学家对角平分线问题进行了进一步的研究。他们提出了各种解决方法，包括使用解析几何、向量几何和复数几何等不同的数学工具进行研究。 角平分线问题在几何学的发展中具有重要的意义，它不仅是几何学的基础问题之一，也是许多其他几何问题的关键所在。解决角平分线问题需要运用到各种几何知识和技巧，能够培养人们的几何直观和推理能力。 角平分线、中线、高线具有丰富的几何性质，因此角平分线等问题一直以来都是几何学教学中的重要内容。 一、中线 1、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则 推导过程：在△ABD中，， 在△ABC中， 联立两个方程可得： 【点睛】把同一个角放在不同的三角形中列余弦定理，从而构建方程求解三角形. 2、向量法：由，则， 所以 二、角平分线 如图，在△ABC中，AD平分，角A、B、C所对的边分别为a、b、c 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：AD为△ABC的内角的平分线，则. 3、等面积法：因为， 所以， 所以，整理得： 三、垂线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 【思考与评价】 1. 已知△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足． （1）求角A的大小； （2）若BC边上的中线AD=，且c=4，求b的值． 2. 已知AD是△ABC的角平分线，且AC=2，AB=3，A=60°，求AD的长。 山东省 高一年级阅读学案 编号09 班级： 小组： 姓名： 使用时间 2 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A的大小； （2）b＝3，，求出BC边上高线的长． 4. △ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若A为锐角，，且BC边上的高为，求△ABC的面积． 山东省昌乐一中 高一年级阅读学案 编号09 编制：肖文祯 王凤杰 审核：王凤杰 审批：尹万鑫 【答案与提示】 1【解析】（1）由及正弦定理可得， 因为，故，可得，，因此，. （2）， 所以，，所以，， 即， 即，解得（负值舍去）. 2【解析】依题意，设，, 由,可得，， 解得:. 3【解析】（1）∵，则 即，整理得 ∵，则 （2）设BC边上高线的长为，即，解得： 则，解得，即BC边上高线的长为 4【解析】（1）在△ABC中，由余弦定理得：， 所以可化为：.由正弦定理得：. 因为，所以.因为，所以或. （2）在△ABC中，，， 由余弦定理得：，解得：. 所以△ABC的面积，解得：c=4.所以△ABC的面积为. $$