摩天轮与正弦型函数学案-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

( 山东省 高一 年级阅读学案 编号 ：04 编制人 ： 审批 ： )课题： 《摩天轮与正弦型函数》 ----------衔接教材高一第七章《三角函数》 一、阅读目标 1.通过阅读材料，能直观地认识摩天轮转动过程中时间和离地面的高度符合正弦型函数关系式；感受数学在生活中的应用。 2.通过阅读材料，会准确求出解析式中的。 2、 阅读内容 大家对摩天轮一定不陌生,摩天轮的转动具有周期性，它在转动的过程中时间和离地面的高度符合一种函数关系,即。下面我们就来探讨一下。 设游客距离地面的高度y(单位：m)与时间x(单位：min)的两数关系为。根据摩天轮工作人员介绍，轮盘直径为153m，摩天轮最高点离地高度为160m，旋转一周用时 30 min。因为旋转一周用时 30 min,所以角速度,即每分钟旋转的弧度数为，也就是每分钟旋转了12°。设游客距离地面的高度h(单位:m)与时间x(单位:min)的函数关系为其中，所以 A=。 因为游客从最低点经15 min到达最高点,故将点(15,160)代入，即解得：，所以 (0≤x≤30)。 小结：， 的求解 ①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x轴交点）为；“第二点”（即图像的“峰点”）为；“第三点”（即图像下降时与x轴交点）为；“第四点”（即图像的“谷点”）为；“第五点”为ω. 中“b”的确定 b的确定：根据图象的最高点和最低点，即b＝ 思考与讨论：摩天轮中心O距地面40.5 m,半径为40 m,从最低点处登上摩天轮，6 min后第一次到达最高点，以登上摩天轮的时间开始计时。 设距离地面的高度y(单位:m)与时间x(单位:min)的函数关系为,距离地面的高度y（单位：m）与时间x（单位：min）的函数关系为。 利用这种模型，可以设计并解决很多开放性的具体问题(可以自行设计问题，并作答)。例如; (1)当你登上摩天轮8 min后你距地面多少米? (2)当你第一次距离地面60.5 m时用了多少时间? (3)当你第二次距离地面60.5 m时用了多少时间? (4)当你第四次距离地面60.5 m时用了多少时间? (5)当你登上摩天轮2 min后,你的朋友也在摩天轮最低点处登上摩天轮,请求出你的朋友与地面的距离y与时间t的函数解析式， (6)求出你和你的朋友与地面距离之差h关于时间t的函数解析式。 (7)你的朋友登上摩天轮多少时间后,你们俩与地面距离相等? (8)你和你的朋友与地面的距离差何时最大?最大距离差是多少? (9)两个人坐摩天轮会出现什么情况? (10)如果你登上摩天轮2 min后,你的朋友乙登上摩天轮，你能否求出乙与地面的距离h关于时间t的函数关系式? (11)上述两个函数图象是什么关系? 三．思考与评价 1.如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图②，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是. (1)盛水筒旋转一周需要多少秒？盛水筒出水后至少经过多少秒就可以达到最高点； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态），并说明理由. 编制人 邱霖 审核： 王凤杰 审批 ：尹万鑫 ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 4． 答案与提示 1.(1)旋转一周需要60秒，出水后至少经过20秒就可以达到最高点； (2)处于向下的运动状态，理由见解析. 【分析】（1）利用周期计算旋转一周需要的时间，利用取最大值时的值得盛水筒出水后达到最高点的最短时间； （2）由区间内函数的单调性，判断盛水筒的运动状态. 【详解】（1）因为的最小正周期， 所以盛水筒旋转一周需要60秒； 时，， 当，有，则， 解得，又，所以时，， 盛水筒出水后至少经过20秒就可以达到最高点. （2）盛水筒处于向下运动的状态，理由如下： ，当， 有， 此时单调递减，所以盛水筒处于向下运动的状态. $$