精品解析：山东省实验中学2025届高三第三次诊断考试数学试题

山东省实验中学2025届高三第三次诊断考试 数学试题 2024.12 说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 2. 若复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的乘方即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 3. 农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可. 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为，则， 所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 4. 锐角满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，然后根据已知结合两角和的余弦公式求出，再根据已知条件即可得解. 【详解】由，可得，，而，故. 此即，故，所以，故. 故选：B. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 6. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点对称，则当取最小值时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的平移变换和正弦函数的对称中心，可以求得取最小值为3，从而画出与的图象，得到交点个数. 【详解】的图象向右平移个单位长度得到的函数为， 因为的图象关于点对称， 所以， 解得， 因为，所以. 所以， 由图可知，曲线与的交点个数为3个. 故选：C. 7. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意构造函数，得到，表示出，再借助导数求出的最小值即可. 【详解】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 8. 定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，再根据题意求出函数在上的最值即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以当时，， 因为定义域为的函数满足， 所以， 当时，则， 所以当时，， 综上所述，时，， 因为时，恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为. 则（ ） A. B. y与x的样本相关系数 C. 表中维修费用的第60百分位数为6 D. 该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，计算出样本中心，代入方程计算出，对B，根据相关系数的概念可判断，对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断. 【详解】根据题意可得，，， 所以样本中心点为， 对于A，将样本中心点代入回归方程，可得，故A正确； 对于B，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，故B正确； 对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确； 对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为 10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误. 故选：ABC. 10. 在棱长为2的正方体中，Q是的中点，下列说法正确的是（ ） A. 若P是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B. 平面平面 C. 若平面ABQ与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则 D. 三棱锥外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】连接交于点，连接，证明平面，结合棱锥的体积公式即可判断A；证明平面，设为等边三角形的外心，过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，设球心为，再利用勾股定理即可判断D；取的中点，连接，说明平面就是平面，再利用定义法即可判断C；证明，，则平面，再根据面面垂直的判定定理即可判断B. 【详解】对于A，连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为是线段上的动点，所以点到平面的距离为定值， 因为的面积也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于D，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可证， 由选项A可知，所以，， 因为，平面，所以平面， 设为等边三角形的外心，则, 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心在此直线上，设球心为， 连接，过作于， 则，， 设三棱锥外接球的半径为，则， 设，则， 因为， 所以， 解得，，故D正确； 对于C，取的中点，连接， 则，，所以，所以平面就是平面， 因为平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 因为平面，平面，所以， 所以为二角面的平面角，为二面角的平面角， ，， 所以平面与上下两个底面所成二面角的正弦值为， 与前后两个平面所成二面角的正弦值为， 与左右两个平面所成二面角的正弦值为， 所以，故C错误； 对于B，因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确. 故选：ABD. 11. 我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13.把m位n进制中的最大数记为，其中，，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的表达式，再结合等比数列前n项和公式，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，， ，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，， 当且仅当时取等号，当时，， 当时， ，C正确； 对于D， ， ， 函数，求导得，则在上单调递减， 当时，，则，即， 因此，即，则； 当时，,D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题D选项求解的关键在于结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，进而比较出大小. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，，当时，直线与之间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由两直线平行列方程求，根据平行直线间距离公式求解即可. 【详解】因为直线，，， 所以，解得或， 当时，直线，，两直线重合，不满足要求， 当时，直线，，两直线平行，满足要求， 所以当时，直线与之间的距离为. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前n项和为，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列设公差为，由可得，从而求得，利用等差数列求和公式结合裂项相消法求和即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以，则， 故，所以， 则， 所以 . 故答案为：. 14. 已知，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】借助基本不等式可得消去、，对求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得解． 【详解】由题意得：，，， 则， 当且仅当时等号成立， 即， 即， 则有， 则，， 又在，单调递增， 在，上单调递减， 故在，上单调递增， 则当，时，即、时， 有最大值， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将、消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且. （1）若，求的面积； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知角度结合可得角，由三角形内角关系得角，于是结合正弦定理求得边长，利用的面积公式即可得答案； （2）利用商数关系切化弦，再根据三角恒等变换、诱导公式化简得，根据余弦函数单调性得关系，从而得关系，由正弦定理与二倍角公式得边与角，最后根据正弦函数得单调性得取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，则， 所以由正弦定理得，则， 所以的面积； 【小问2详解】 因为，则， 所以， 因为且函数在上单调递减， 所以，则， 所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 由于函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 则，故的取值范围为. 16. 如图，三棱柱中，平面，，，，过的平面交线段于点E（不与端点重合），交线段BC于点F. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 因此四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质推导出，利用面面平行的性质可推导出，即可证得结论成立； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过点作， 因为平面，，平面， 所以，． 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， ， 因为， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，得，， 所以为平面的一个法向量， 而，设直线与平面所成角为， 于是得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列的前n项和为，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为， 所以当，时， ， 即 又时，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到当，时，，且有，由等比数列的定义即可证明结果； （2）由（1）及条件可得，，再利用等比等差数列前项和公式分组求和，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 又由，可得， 所以 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数，求函数极值点的个数； （3）当时，若在上恒成立，求证：. 【答案】（1） （2）当时，函数有两个极值点； 当时，函数没有极值点； （3）由在上恒成立， 得在上恒成立， 设，， 当时，，在上单调递增，此时显然不恒成立. 当时，若，则，在上单调递增， 若，则，在上单调递减， 所以， 所以， 要证成立，因为，即证明 因为， 令，，， 令得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程； （2）求导，结合二次方程解的情况分情况讨论函数单调性，进而可得极值点情况； （3）由在上恒成立，得在上恒成立，构造函数，可转化为，根据导数可求得，即可转化为，证明成立，即证明，可转化为，构造新函数，结合函数单调性及最值情况可得证. 【小问1详解】 当时，，则， 所以切线斜率， 又， 则切线方程为； 【小问2详解】 由已知， 则， 对于方程，， ①当时，，则，在上单调递增，此时没有极值点； ②当时，设方程的两根为，，不妨设， 则，， 即， 所以当或时，， 当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 此时，是函数的两个极值点； ③当时，设方程的两根为，， 则，， 故，， 所以当时，，单调递增，此时没有极值点； 综上所述，当时，函数有两个极值点； 当时，函数没有极值点； 【小问3详解】 略 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 19. 已知集合，若存在数阵满足： ①； ②. 则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”. （1）已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值： （2）若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由. 【答案】（1），，， （2）证明：如果是一个“好数阵”， 则，. 从而， . 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 所以数阵和的第1行第2列的数不相等，故是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为S，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 即，从而是满射，由是有限集，知也是单射，故是一一对应. 对于“好数阵”， 已证数阵和是不同的数阵， 故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则； 如果，则.所以，当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. （3）不是“好集合”； 是“好集合”，且满足,,,,的好数阵有四个：；；；． 【解析】 【分析】（1）直接根据新定义解出未知量的值； （2）先证是不同于的“好数阵”，再证、，列举两个“好数阵”，即可证明； （3）假设为“好集合”，根据新定义可得，证明不是偶数即可求解. 【小问1详解】 由“好数阵”的定义， 知，，，, ,,,4,5,， 故，，，,,，进一步得到，， 从而，，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设是集合的一个“好数阵”， 由题意得；， 相加得：， 即， 当时，，与矛盾；所以不是“好集合”． 当时，，若,,,,， 因为,,,,，,,,,， 所以,,,,只有以下两种可能：,5,9,8,和,5,9,7,， （i）若,,,,,5,9,8,，则,,,,,2,4,6,， 使的只有，使的有两种可能：，或， 情形一：时，只有，，，可得； 情形二：时，只有，，，可得； （ii）若,,,,,5,9,7,，则,,,,,2,3,6,， 使的只有，使的有两种可能：，或， 情形一：时，只有，，，可得， 情形二：时，只有，，，可得， 综上，不是“好集合”； 是“好集合”，且满足,,,,的好数阵有四个： ；；；． 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2025届高三第三次诊断考试 数学试题 2024.12 说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B铅笔和0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足：，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（ ） A. B. C. D. 4. 锐角满足，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于点对称，则当取最小值时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为. 则（ ） A. B. y与x的样本相关系数 C. 表中维修费用的第60百分位数为6 D. 该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 10. 在棱长为2的正方体中，Q是的中点，下列说法正确的是（ ） A. 若P是线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 B. 平面平面 C. 若平面ABQ与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为，则 D. 三棱锥外接球的半径为 11. 我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13.把m位n进制中的最大数记为，其中，，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，，当时，直线与之间的距离为__________. 13. 已知等差数列的前n项和为，，，则________. 14. 已知，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且. （1）若，求的面积； （2）若，求的取值范围. 16. 如图，三棱柱中，平面，，，，过的平面交线段于点E（不与端点重合），交线段BC于点F. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前n项和为，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数，求函数极值点的个数； （3）当时，若在上恒成立，求证：. 19. 已知集合，若存在数阵满足： ①； ②. 则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”. （1）已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值： （2）若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $