精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

新蔡县第一高级中学高一2024年12月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若则（ ） A. B. C. D. 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是.若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约需经过（参考数据：，）（ ）天. A. 100天 B. 105天 C. 110天 D. 115天 6. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的值域为 11. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 13. 已知是定义在上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图象关于点对称．若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为______． 14. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）证明在区间 上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的，不等式，恒成立，求实数k的取值范围． 17. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 18. 已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求x的取值范围． 19. 已知集合，若对于任意与至少有一个属于，则称为开心集. （1）分别判断集合与集合是否为开心集，并说明理由； （2）当时，若，求开心集； （3）若集合为开心集，且中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学高一2024年12月份月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，根据集合中的元素的特征，判断两集合的关系，由此可得结论. 【详解】由，， 可得，， 所以集合是由元素的奇数倍构成的，集合是由元素的整数倍构成的， 所以，. 故选：C. 2. 已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法可得答案. 【详解】， 其图象是对称轴为，开口向上的抛物线， 所以当时，有最小值，为， 当时，有最大值，为， 则的取值范围为. 故选：C. 3. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求解即可. 【详解】不妨假设，由，得，则在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式化为，构造函数，判断是定义域上的增函数，根据不等式的性质逐项判断即可得出结论. 【详解】因为，所以， 设， 因为是定义在上的增函数，是定义在上的减函数， 所以是定义在上的增函数，则， 时，不一定成立，如时，选项A错误； 成立，选项B正确； 不一定成立，如，选项C错误； 不一定成立，如时，选项D错误. 故选：B. 5. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是.若“进步”的值是“退步”的值的10倍，大约需经过（参考数据：，）（ ）天. A. 100天 B. 105天 C. 110天 D. 115天 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过天“进步“的值是“退步”的值的倍. 则 ，即， 故，故， 故大约经过115天. 故选：D. 6. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，结合函数单调性即可判断选项. 【详解】由题意可知：函数在定义域上单调递减，且函数单调递减，连续不断， 因为，， 所以函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B 7. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 8. 已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可. 【详解】由题意，在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且对于恒成立， 则，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇函数性质可得，再利用为偶函数可得B正确，结合对称中心以及对称轴可判断C正确，综合奇偶性和对称性可得的周期为8，计算可得D正确. 【详解】由是定义在上的奇函数可知，且； 又为偶函数，可得， 令，所以，即A错误； 由可知的图象关于直线对称，即B正确； 易知关于成中心对称，又关于直线对称， 所以的图象关于点中心对称，即C正确； 显然，即； 所以，即，所以， 可得是以8为周期的周期函数， 即，即D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：在求解函数奇偶性、对称性、周期性等综合性质问题时，往往根据题目给出的两个性质推出第三个性质，再进行综合运用即可得出结论. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求定义域再根据定义判断函数奇偶性判断A,B,应用复合函数单调性判断C,应用函数单调性及范围得出函数值域判断D. 【详解】对于函数，令，解得或， 即函数的定义域为， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确，B不正确； 又由， 因为在上单调递减，且在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，所以C正确； 当时，所以，即； 当时，所以，即， 所以的值域为，故D正确． 故选：ACD. 11. 已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据时，函数图象的对称性，可判断B的真假；根据时，函数的解析式即对数的运算可判断C的真假；举反例可说明D是错误的. 【详解】左函数草图如下： 对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故错误； 对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确； 对C：因为，所以，， 由，故C正确； 对D：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 13. 已知是定义在上的连续函数，给出下列四个命题：①是奇函数；②是偶函数；③满足；④的图象关于点对称．若其中只有两个真命题，则符合题意的一组真命题的序号为______． 【答案】②③（或②④） 【解析】 【分析】根据函数的性质分别讨论当①②，①③，①④，②③，②④，③④为真命题时，其他条件是否符合，即可得结论. 【详解】若①②为真，则函数为，此时也满足③④，故不符合题意； 若①③为真，则，则， 则关于对称，④为真，不符合题意； 若①④为真，则， 则，则，③为真，不符合题意； 若②③为真，则，则， 则关于对称，④为假，①为假,符合题意； 若②④为真，则，， 则，③为假，①为假符合题意； 若③④为真，则由可得，又， 所以，则是奇函数，①为真，不符合题意. 综上，正确的组合为②③或②④． 故答案为：②③（或②④）. 14. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】设甲与乙的工人工作效率为，工作年限为，劳累程度为，劳动动机为， 对于①，，，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）证明在区间 上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可. （3）根据的奇偶性与单调性得到在区间的单调性，从而求出函数的最值. 【小问1详解】 为奇函数. 证明：由已知，函数的定义域为． 则，都有， 且， 所以函数为奇函数． 【小问2详解】 任取，且，则， 那么， 因为， 所以，，， 所以， 所以， 所以在上是增函数． 【小问3详解】 因为为奇函数，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即， 当时，取得最大值，即. 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的，不等式，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在R上单调递减，证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）设(，且)，再代入求解可得，再根据奇函数满足求解即可； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据函数的单调性与奇偶性可将不等式转化为对任意的，恒成立，再根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可. 【小问1详解】 设(，且)，则，所以 (舍去)或， 所以，． 又为奇函数，且定义域为R， 所以，即，所以，经检验符合题意， 所以． 【小问2详解】 函数在R上单调递减，证明如下： 设，则． 因为，所以，所以， 所以，即， 所以函数在R上单调递减． 【小问3详解】 要使对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 因为为奇函数，所以恒成立． 又因为函数在R上单调递减， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 令，，二次函数对称轴为. 当时，成立； 当时，，所以，； 当，，无解； 综上，． 17. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域； （2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 18. 已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求x的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）已知点坐标代入求得，然后由求得，再把互换位置即得； （2）由的单调性解不等式． 【小问1详解】 的图象过点，则，即，∴（负值舍去）， ∴， 由得，所以； 【小问2详解】 在定义域内是减函数， 因此由得，解得． 19. 已知集合，若对于任意与至少有一个属于，则称为开心集. （1）分别判断集合与集合是否为开心集，并说明理由； （2）当时，若，求开心集； （3）若集合为开心集，且中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍，求的最小值. 【答案】（1）不是开心集，是开心集，理由：对于集合，因为， 故不是开心集； 对于集合，因为， 故集合是开心集. （2）或； （3）2023. 【解析】 【分析】（1）由开心集的定义判断即可； （2）由题意可得，分、求解即可； （3）由题意可得，从而得，且也在中，由已知可得，从而得，，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 因为，由题意得，故， ①若，由于， 故，故，即，此时符合题意. ②若，由于， 故，故，即，此时符合题意. 综上，或 【小问3详解】 解：由题意，，若中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍， 则必有，故， 分别考虑和其他任意元素， 由题意可得也在中，而， 故， 特别地，， 下考虑对于， 因为，所以， 故， 特别地，，故，即， 由，且，故，即， 以此类推，. 又因为， 所以， 又因为，即， 所以， 即，故. 当时，满足条件. 综上，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于新概念题目，理解定义是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $