7.2离散型随机变量的分布列学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

离散型随机变量的分布列 课标要求　1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 3.了解两点分布. 【引入】 在迎奥运会射击比赛训练中，统计某运动员的射击结果可知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环、8环、9环、10环的概率依次成等差数列. 你能知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？ 一、离散型随机变量的分布列 探究　掷一枚质地均匀的骰子的随机试验中，X表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 1.离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率____________，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)________，i＝1，2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝________. 温馨提示　(1)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和. (2)离散型随机变量的分布列的性质(2)可以检查所写分布列是否正确. 例1 (链接教材P60例3)一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中白球的个数，求X的分布列. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.求离散型随机变量分布列的步骤. (1)根据问题设出一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值. (2)求随机变量X的每一个取值对应的概率. (3)用解析式或表格表示X的分布列. 2.注意利用所有概率之和是否为1检验分布列的正误. 训练1 为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)，测量数据如下： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 177 180 y 75 80 77 70 81 如果产品中的微量元素x，y满足x≥177且y≥79时，该产品为优等品. 现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的分布列. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、分布列的性质及应用 例2 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)|X－1|的分布列. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　离散型随机变量的分布列的性质的应用 (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列. (2)利用互斥事件的概率加法公式求随机变量在某个范围内的概率，或判定概率分布的正误. 训练2 设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5). (1)求常数a的值； (2)求P. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、两点分布 【知识梳理】 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从________分布或0－1分布. 温馨提示　两点分布的特点：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的；(2)由对立事件的概率可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1. 例3 (链接教材P59例1)一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球. (1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝求X的分布列； (2)从中任意摸出2个球， 设η＝求η的分布列. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.判断一个随机变量是否服从两点分布，只要看试验结果是否只有两个对应结果. 2.由对立事件的概率，P(X＝0)＋P(X＝1)＝1. 3.在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它. 训练3 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【课堂达标】 1.(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是(　　) A.抛掷一枚骰子，所得点数X B.某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X C.从装有5个红球、3个白球的袋子中取1个球，定义：{X＝1}＝“取出白球”，{X＝0}＝“取出红球” D.某医生做一次手术，手术成功的次数X 2.已知随机变量X的分布列如表所示，则P(X＝2)＝(　　) X 1 2 3 P a 2a 3a A. B. C. D. 3.已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m 则实数m的值为________. 4.若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________. 离散型随机变量的分布列 探究　提示　X的取值为1，2，3，4，5，6. X 1 2 3 4 5 6 P 知识梳理 1.P(X＝xi)＝pi 2.(1)pi≥0　(2)1 例1　解　因为箱子里共有5个球，所以从中摸出2个球，共有C＝10(种)情况. (1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球为事件A，则P(A)＝＝， 故摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. (2)用X表示摸出的2个球中白球的个数，X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P 训练1　解　5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝0.3， P(X＝1)＝＝0.6， P(X＝2)＝＝0.1. ∴优等品数X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 例2　解　由分布列的性质， 0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. (1)依题意，2X＋1的取值为1，3，5，7，9， 则2X＋1的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)依题意，知|X－1|的取值为0，1，2，3， 又P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.3， 则|X－1|的分布列为 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 训练2　解　由题意得，随机变量X的分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝. (2)法一　P＝P＋P＋P(X＝1) ＝＋＋＝. 法二　P＝1－P ＝1－＝. 知识梳理 两点 例3　解　(1)依题意，X服从两点分布， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 P (2)由题意知，P(η＝0)＝＝， P(η＝1)＝＝， 所以η的分布列为 η 0 1 P 训练3　解　由题意知，X服从两点分布， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 课堂达标 1.CD　[两点分布的试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0，1两个，C，D满足题意； 抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1，2，3，4，5，6，共6个，不是两点分布，A不满足题意； 某射手射击一次得分的试验结果有两个，但随机变量X的取值是0，2，B不满足题意.] 2.C　[依题意得a＋2a＋3a＝1，解得a＝， 所以P(X＝2)＝2×＝.] 3.　[由离散型随机变量分布列的性质，得 m＋＋＋＝1，解得m＝.] 4.0.8　[因为Y＝3X－2， 所以当Y＝－2时，X＝0， 所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.] 学科网（北京）股份有限公司 $$