7.2.1离散型随机变量学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

离散型随机变量 课标要求　1.通过具体实例，了解随机变量、离散型随机变量的概念. 2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义. 【引入】 在掷骰子和掷硬币的随机试验中，试验结果可以一一列举出来吗？若用X表示电灯泡的使用寿命，则X的值可以一一列举出来吗？ 一、随机变量的概念 探究　(1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数能否用数值表示相应结果呢？ (2)篮球运动员每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2.离散型随机变量：可能取值为________或可以________的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用________字母表示随机变量，用________字母表示随机变量的取值. 温馨提示　随机变量与函数的定义类似：随机试验样本空间Ω中的样本点ω相当于函数定义中的自变量，X(ω)是与ω对应的实数. 例1 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数； (2)抛两枚骰子，出现的点数之和； (3)体积为8 cm3的正方体的棱长. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.解题的关键是判断变量(试验结果)是否符合随机变量的定义. 2.随机变量X满足三个特征： (1)试验结果可以用数值表示；(2)试验前可以判断其可能出现的所有值(取值是明确的)；(3)在试验前不能确定取何值. 训练1 (多选)下列变量是随机变量的是(　　) A.在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数 B.一台机器在一段时间内出现故障的次数 C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D.方程x2－2x－3＝0的实根个数 二、离散型随机变量的判断 例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由： (1)某教学资源网站一天内的点击量； (2)某市明年下雨的次数； (3)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　确定离散型随机变量的方法： (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的试验结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，若能一一列出，则是离散型随机变量；否则不是. 训练2 (多选)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(　　) A.从5个已编好号码的小球(1号到5号)中任取一个，被取出的小球的号码 B.一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数 C.某林场的树木最高可达30 m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 D.从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差 三、用随机变量表示事件的结果 例3 (链接教材P60练习T2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数X. (1)写出随机变量X的取值，并说明取值表示的试验结果； (2)若规定取3个球，每取到一个白球加5分，取到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y的随机变量类型. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果. 2.注意解答过程中不要漏掉某些试验结果. 训练3 抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为(　　) A.第一枚为5点，第二枚为1点 B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点 C.第一枚为6点，第二枚为1点 D.第一枚为4点，第二枚为1点 【课堂达标】 1.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是(　　) A.出现7点的次数 B.出现偶数点的次数 C.出现2点的次数 D.出现的点数大于2小于6的次数 2.(多选)下列是离散型随机变量的是(　　) A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B.某人射击2次，击中目标的环数之和记为X C.测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X D.一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X 3.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，设射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是________________. 4.一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为________. 离散型随机变量 探究　(1)提示　试验结果：命中1环，命中2环，……，命中10环，可用数值1，2，…，10表示试验结果. (2)提示　投进零个球——0分，投进一个球——1分，投进两个球——2分，投进三个球——3分. 知识梳理 1.唯一 2.有限个　一一列举　大写英文　小写英文 例1　解　(1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量. (2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量. (3)正方体的棱长为定值，不是随机变量. 训练1　ABC　[随机变量在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项A，B，C都符合随机变量的定义；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.] 例2　解　(1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量. (2)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量. (3)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量. 训练2　CD　[选项A，B中的随机变量的取值都是有限个，符合离散型随机变量的定义； C中，所选树木的高度是随机变化的，它可以取(0，30]内的任意一个值，无法一一列出，不是离散型随机变量； 对于D，实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它的可能取值充满了某个区间，无法一一列出，不是离散型随机变量.] 例3　解　(1)X的所有可能的取值为0，1，2，3. “X＝0”表示取出3个黑球； “X＝1”表示取出1个白球2个黑球； “X＝2”表示取出2个白球1个黑球； “X＝3”表示取出3个白球. (2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值0，1，2，3， 所以Y对应的各值是6，11，16，21， 故Y的可能取值为6，11，16，21， 显然Y为离散型随机变量. 训练3　C　[由于X表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”， 因此“X>4”只有一种情况，也就是“X＝5”， ∴“X>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点.] 课堂达标 1.A　[∵抛掷一枚骰子不可能出现7点， ∴出现7点为不可能事件， ∴出现7点的次数不能作为随机变量.] 2.AB　[A，B中的随机变量的取值是整数值，是可以列举的，是离散型随机变量. C，D中的随机变量的取值是连续的实数值，不能一一列举，不是离散型随机变量.] 3.前4次未击中目标　[击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，说明前4次均未击中目标.] 4.5　[由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，但是最后一把钥匙一定能打开锁， 所以试验次数X的最大可能取值为5.] 学科网（北京）股份有限公司 $$