选择性必修第一册知识点公式汇总-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）

高中数学选择性必修一公式汇总 2024.11. 一．空间向量 1.空间向量的定义及表示方法 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 【几类特殊的向量】 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 2．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a与b，有 ①λa＋μa＝(λ＋μ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb． 3．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角范围[0,π] (2)空间向量数量积的定义:两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影： 过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线， 即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义： a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. ③投影向量：a在b上的投影向量= (4)空间向量数量积的性质： ①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交换律)； 5．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 6．空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0． 7．空间向量的运算与坐标的关系 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； (3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(4)|a|＝＝； (5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． 8．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 (1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔， 当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔＝＝． (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 9．空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 10 向量法判断线线垂直： 设直线的方向向量为,直线的方向向量为,则 ⟂ 11.向量法判断线面垂直 　 设直线的方向向量，平面的法向量，则 12. 向量法判断面面垂直 　若平面的法向量为，平面的法向量为,则 13.空间中点到直线的距离 已知. 14点到平面的距离 向量在直线上的投影向量是， 线面距离、面面距离：可以转化为__点__到平面的距离。 15异面直线所成的角: 设异面直线的方向向量分别为，则与所成的角满足:=; 16直线与平面所成的角: 设直线的方向向量，平面的法向量分别为，则直线与平面所成的角， 则，即有= 17.面角的大小 分别为二面角的法向量，则二面角的平面角满足： 或者，正负号取决于是锐角还是钝角 二．直线方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α. (2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0， A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用 4.两条直线的平行和垂直 (1)若， ①; ②. (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零, ① 或者 或者 ②； 5．常用直线系方程 (1)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量． (2)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量． 6.点到直线的距离 (点,直线：). 5. 两平行线间的距离： 之间的距离公式 三 .圆的方程 1. 圆的方程 （1）圆的标准方程 . （2）圆的一般方程 (＞0). 2.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： ①点在圆外; 或者 若，点在圆外 ②点在圆上; 或者 若，点在圆上 ③点在圆内 ；或者 若，点在圆内 3. 直线与圆的位置关系 4. 直线与圆的位置关系: ; ; . . 4.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， ; ; ; ; . 四．空间平行 垂直的判定 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2. 面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 3.直线与平面垂直判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 五 、椭圆 知识点1：椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 知识点2：椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 知识点3：点与椭圆的位置关系 要点1：利用待定系数法确定椭圆的标准方程 用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 要点2：求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 利用代入法求轨迹方程的步骤 (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)． (2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 要点3：椭圆中焦点三角形的问题 椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解． 知识点4：椭圆的简单几何性质 1.椭圆的离心率： e＝∈(0,1)． 注意点： (1)e＝. (2)离心率的范围为(0,1)． (3)e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆． 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁； 当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆； 当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 2.椭圆的对称性 范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 知识点5：椭圆的两种标准方程的几何性质比较 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 注意点： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 知识点6：直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 代数法判断直线与椭圆的位置关系：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离． 要点：椭圆中弦的相关问题 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 1．弦中点问题的解决方法 (1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程； ③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． (2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 2．弦长公式 设直线l:y=kx+t与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有 |AB|＝＝＝· ＝＝·(k为直线斜率)． 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 六、双曲线 知识点1：双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点2：双曲线的标准方程 1.双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1_(a>0，b>0) －＝1_(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 2．双曲线与椭圆的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c,2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c,2a＜2c) 标准方程 ＋＝1或＋＝1(a＞b＞0) －＝1或－＝1(a＞0，b＞0) 图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续 根据标准方程确定a，b的方法 以大小分a，b(如＋＝1中，9＞4，则,a2＝9，b2＝4) 以正负分a，b (如－＝1中，a2＝9，b2＝4) a，b，c的 关系 a2＝b2＋c2(a最大) a2＋b2＝c2(c最大) 3．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． 4．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 知识点3：点与双曲线的位置关系 点与双曲线的位置关系,类似于点与椭圆的位置关系也有三种，即点在双曲线外,点在双曲线上,点在双曲线内.一般地,在直角坐标平面上,含有焦点的区域为双曲线的内部,不含有焦点的区域为双曲线的外部,设点,则 要点1：双曲线方程的其他形式 1.双曲线的一般方程 当ABC≠0时,方程Ax²+By²=C可以变形为,由此可以看出方程 Ax²+By²=C表示双曲线的充要条件是ABC≠0,且A,B异号.此时称方程 Ax²+By²=C为双曲线的一般方程。 在求解双曲线的标准方程时,如果我们无法准确判定双曲线的焦点位置,我们可以设双曲线的一般方程为 Ax²+By²=C(AB<0)。当A>0,B<0时,表示焦点在x轴上的双曲线； 当 B>0,A<0 时,表示焦点在y轴上的双曲线。 2.共焦点的双曲线系方程 与双曲线－＝1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为(a>0,b>0,-a²<λ＜ b²，λ≠0);与双曲线－＝1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为(a>0,b>0，,-a²<λ＜ b²，λ≠0） 要点2：与双曲线有关的轨迹问题 解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 要点3：双曲线的焦点三角形问题 求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式； ③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值； ④利用公式＝×PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式（焦点在x轴时）＝×F1F2×|yP|=c·|yP|求得面积． 知识点4：双曲线的几何性质 1.范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1(a＞0，b＞0)可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．顶点只有两个，焦点在x轴时，A1(－a,0)，A2(a,0)． (2)如图，线段A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方． 它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图． 5．离心率(1)定义：e＝. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 知识点5：双曲线的两种标准方程的几何性质比较 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 知识点6：直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为Ax2＋Bx＋C＝0的形式， 当A＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 在A≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．（左支/右支/异支） (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 注意点：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 要点1：求双曲线方程的巧设方法 巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 要点2：等轴双曲线与共轭双曲线（两类特殊的双曲线） 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线 性质：①渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角；②a=b，离心率e= 共轭双曲线 定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线 性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆； ③它们的离心率的倒数的平方和等于1 要点3：椭圆、双曲线几何性质的统一性 1.通径：过焦点作垂直于实轴的直线，该直线被椭圆/双曲线截得的弦叫作通径，其长度为. 2. 中点弦问题——点差法 设直线和曲线的两个交点，，中点M (), 代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 整理得： （焦x椭 圆） 双曲线也可用点差法，式子可以整理成： （焦x双曲线） 口诀：椭负双正. （焦y椭 圆）; （焦y双曲线） 知识回顾3：面积问题 3.1三角形面积问题 直线方程： （注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数） 3.2焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 （注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$