专题07幂函数（考点清单，3考点&4题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期北师大版

专题07 幂函数 【清单01】幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 【清单02】幂函数的特征： 同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 【清单03】常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 【考点题型一】幂函数的解析式 【例1】.已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 【变式1-1】.已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】.已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式1-3】.已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式; (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求不等式 的解集. 【考点题型二】幂函数的图像 【例2】.已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)图象写出的单调区间. 【变式2-1】.已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（   ） A． B． C．1 D．或1 【变式2-2】.已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 【变式2-3】.已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】.若幂函数的大致图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【考点题型三】幂函数的单调性及应用 【例3】.已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增． 【变式3-1】.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】.已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】.已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】.已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是 【变式3-5】.已知函数为幂函数，且在上单调递减． (1)求的值； (2)若函数，且，判断的单调性，并证明． 【考点题型四】幂函数的奇偶性 【例4】.已知幂函数是奇函数． (1)求的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． 【变式4-1】.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A． B． C． D．或 【变式4-3】.幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 【变式4-4】.已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为 . 【变式4-5】.已知幂函数为奇函数，. (1)若，求； (2)已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【变式4-6】.已知幂函数是非奇非偶函数. (1)求函数的解析式； (2)已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 一、单选题 1．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 3．若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 5．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知函数是幂函数，则函数是（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 7．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．下列关于幂函数的判断：①定义域为；②值域为R；③是偶函数；④在上单调递减.其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10.已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 幂函数 【清单01】幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 【清单02】幂函数的特征： 同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 【清单03】常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 【考点题型一】幂函数的解析式 【例1】.已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】D 【详解】因为是幂函数，所以，即， 又的图象经过点，所以，解得， 所以，则为上的增函数， 则，则函数的定义域为， 所以非奇非偶函数，且为上的减函数. 故选：D. 【变式1-1】.已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 由的图象过点， 则，解得， 所以， 故选：A 【变式1-2】.已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设幂函数的解析式为，，所以. 故选：D 【变式1-3】.已知幂函数的图象过点 (1)求函数的解析式; (2)用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，将代入上式得. （2）任取， 由于，所以， 所以函数在区间上单调递减. （3）的定义域为， 所以是奇函数，由（2）可知函数在区间上单调递减， 所以在上单调递减. 由 得， ，所以不等式 的解集为. 【考点题型二】幂函数的图像 【例2】.已知是整数，幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，画出函数的大致图象； (3)图象写出的单调区间. 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)单调减区间为，，单调增区间为， 【详解】（1）由题意可知，，即， 因为是整数，所以，或， 当时，，当时，， 综上可知，的解析式为. （2）由（1）知，则， 函数的图象如图所示， （3）由（2）可知，的单调减区间为，，单调增区间为，. 根据 【变式2-1】.已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【详解】∵是幂函数，∴，解得或， 当时，，图象与x轴有公共点，不合题意； 当时，，图象与x轴没有公共点，符合题意， 综上，. 故选：B. 【变式2-2】.已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由题意得，，解得或． 当时，，满足题意； 当时，，其图象关于原点中心对称，不满足题意． 故选：A． 【变式2-3】.已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，将代入得，解得， 故，其定义域为，由幂函数的常见函数图象可知，C正确. 故选：C 【变式2-4】.若幂函数的大致图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当，，由图可知不合题意，所以， 故选：A. 【考点题型三】幂函数的单调性及应用 【例3】.已知幂函数在上单调递增，且其图象经过点． (1)求的解析式； (2)若，用定义法证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由幂函数的定义可知，，解得， 由幂函数在上单调递增，可得， 所以． （2）证明：由的图象经过点，得，所以． 则． 对，且，则有 ， 因为，所以，， 所以． 因为，所以，所以， 则， 故函数在上单调递增． 【变式3-1】.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 【变式3-2】.已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是幂函数，所以， 因此，所以是定义在上的增函数， 又因为，所以，解得， 故选：A. 【变式3-3】.已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数在上单调递增，且，则， 由函数在上单调递增，且，则， 所以，即. 故选：A. 【变式3-4】.已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集是 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为在上单调递减，所以，解得，则. 由，解得，所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式3-5】.已知函数为幂函数，且在上单调递减． (1)求的值； (2)若函数，且，判断的单调性，并证明． 【答案】(1)1 (2)在区间单调递增，证明见解析 【详解】（1）由题意知，解得：或2， 当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；    当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意； 所以的值为1． （2），在区间单调递增．    证明如下：任取， 则，    由可得：，， 则，即，    故在区间单调递增． 【考点题型四】幂函数的奇偶性 【例4】.已知幂函数是奇函数． (1)求的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，得或． 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意． 故． （2）由题意得，且， ． 由，得， 得， 所以，即． 故在上单调递增． 【变式4-1】.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数奇偶性知和为奇函数，故BD错误； 对C，，当时，，此时单调递增，故C错误； 对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在上单调递减，故A正确. 故选：A. 【变式4-2】.已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， ∴，解得或， 当时，是奇函数，满足题意； 当时，是奇函数，满足题意; ∴或. 故选：D. 【变式4-3】.幂函数，，都有成立，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在是减函数，所以， 即，定义域为， 则， 所以是奇函数， 故A、B错误，选项C正确，选项D错误， 故选：C. 【变式4-4】.已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因函数是幂函数，则，解得或， 当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾， 当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得， 不等式化为：， 而是偶函数且它在上单调递增，所以在上单调递减， 即， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式4-5】.已知幂函数为奇函数，. (1)若，求； (2)已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）对于幂函数，得，解得或， 当时，不是奇函数，舍去， 当时，是奇函数，满足题意. ∴，∵，∴. （2）关于的不等式在上恒成立，即在上恒成立， 令，下面先研究函数的单调性 ，不妨设，则 ， ∵，∴，，， ∴，即， 故在上单调递增，∴， 由题意，，解得，所以的取值范围是. 【变式4-6】.已知幂函数是非奇非偶函数. (1)求函数的解析式； (2)已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题知，，即， 即，解得或， 当时，，是非奇非偶函数， 当时，，是偶函数， 所以的解析式是. （2）当时，， （ⅰ）设，则，所以， 又为奇函数，所以，所以当时，. 即. （ⅱ）作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. 一、单选题 1．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，得或．当时，，当时，． 又在单调递增，， 在上的值域为在上的值域为， 因为函数时，总存在使得， 是的子集， ，即． 故选：B． 2．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．若幂函数的图象过点，则它的图象也经过点. D．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； 【答案】D 【详解】选项A，当时，幂函数不过原点，故A错误； 选项B，当时，幂函数过第三象限，故B错误； 选项C，若幂函数的图象过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故C错误. 选项D，当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故D正确； 故选：D 3．若幂函数的图象关于原点对称，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】因为是幂函数，所以，解得或, 当时，的图象关于原点对称，符合题意； 当时，的图象关于轴对称，不符合题意. 故选：D. 4．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】的定义域为R，函数为奇函数且为增函数，又， 故，则， 即，解得或. 故选：B 5．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得. 故选：B. 6．已知函数是幂函数，则函数是（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】D 【详解】由题意可知 由题意可知定义域为，定义域关于原点对称， 当，为增函数， ，为减函数， 所以在上不是增函数也不是减函数， 又因，则是偶函数. 故选：D 7．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，得，解得或. 若，则，其图象不关于原点对称，不符合题意，舍去； 若，则，其图象不过原点，且关于原点对称，符合题意. 故选：A 8．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，，，， ， 又，，，， ， 故选：B. 9．下列关于幂函数的判断：①定义域为；②值域为R；③是偶函数；④在上单调递减.其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】， 对于①，定义域为，故①错误； 对于②，由幂函数的性质可得值域为，故②错误； 对于③，，且定义域关于原点对称，所以是偶函数，故③正确； 对于④，由幂函数图象的性质可得在上单调递减，故④正确； 所以正确的个数为2个， 故选：C. 10.已知函数为幂函数，且在上单调递增. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）因为为幂函数，且在上单调递增， 所以解得. （2）由（1）知函数，为奇函数且在上单调递增， 由，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$