复习08 排列组合与二项式定理（九大题型）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习08 排列组合与二项式定理 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 有条件的排列问题】 【题型2 数字问题】 【题型3 组合问题】 【题型4 分堆分配问题】 【题型5 二项式展开式及其应用】 【题型6 求两个多项式积的特定项】 【题型7 多项式展开式的特定项】 【题型8 二项式系数性质及其应用】 【题型9 二项式定理的应用】 知识点 1 ：排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 知识点 2 ：组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. ，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：；性质2：. 知识点 3 ：二项式定理的概念及性质 1.二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 2.二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 3.系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 难点 1 ：排列组合常见问题问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 难点 2 ： 二项式系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 题型归纳 【题型1 有条件的排列问题】 【例1】将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6 法一：用间接法求解：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法； ②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立， 注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由种选法，共有种选法. 而平均分组共有种方式，所以共有种选法. 法二：用直接法求解： ①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的； ②甲、乙不在同一组：那么1、2中至少有一位与乙一组，5、6中至少有一位与甲一组， 取该事件的反面，即：1、2均不与乙一组且5、6均不与甲一组，4人均分两组共有种分法，符合事件反面的只有356、124一种，所以共有=5种分法. 故选：B. 【例2】甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 【答案】20 【详解】当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有（种）； 当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有（种）， 所以不同的站法共有（种）． 故答案为:20. 【变式1-1】配置某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，已知不同的添加顺序对染色效果是不一样的，则其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为 . 【答案】 【详解】一共有种添加顺序，由插空法可知，2种无机染料添加顺序不相邻的种数有, 所以其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为. 故答案为： 【变式1-2】若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 【答案】/ 【详解】上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，共有种方法， 记事件：上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，且数学和体育不连排， 则事件共有种排法，所以数学和体育不连排的概率是， 故答案为：. 【变式1-3】根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 【答案】 【详解】总方案有种，1班排在最后有种方案，4班排在第一位有种方案， 1班排在最后且4班排在第一位有种方案， 则满足要求的方案有种. 故答案为： 【题型2 数字问题】 【例3】用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 【答案】A 【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类： 第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种， 再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法. 由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个. 故选：A. 【例4】有四个数字， (1)可以组成多少个四位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ (3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 【答案】(1)192 (2)10 (3)2130 【详解】（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理， 共有个； （2）当个位是0时，共有个无重复数字的四位偶数； 当个位是2时，千位是1或3，共有个无重复数字的四位偶数， 因此，共有个； （3）当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个； 当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列， 则第10个四位数是2130． 【变式2-1】如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同排法有 种.（用数字作答）    【答案】64 【详解】把2,3和1,4分别看作一个组合，从这两个组合中选出一个，排在中间一列有种方法， 再把另一个组合排好，有种方法， 最后安排5和6，有种方法，共有64种方法. 故答案为：64 【变式2-2】用，，，，，这六个数字可以组成（   ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当千位小于时，有种， 当千位是，百位小于时，有种， 当千位是，百位是，十位小于时，有种， 由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有， 故选：B. 【变式2-3】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（    ）个．（用数字作答） A．128 B．256 C．576 D．684 【答案】C 【详解】1和2，3与4，5与6，分别捆绑在一起，看作三个元素进行排列， 7与8利用插空法，可得 故选：C. 【题型3 组合问题】 【例5】学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有（    ） A．12种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】B 【详解】由题知共有两种情况，第一种情况：美术、街舞都不选，则需从剩余的四个社团中选择三个，共有种选择方法； 第二种情况：美术、街舞中选择一个，则还需从剩余的四个社团中选择两个，共有种选择方法， 故不同的选择方法共有种． 故选：B 【例6】中国进出口商品交易会被誉为“中国第一展”、中国外贸的“晴雨表”“风向标”．每年会议期间都会招募志愿者参加活动，已知志愿者中会讲英文与不会讲英文的分别有120名和40名，若从招募的志愿者中用分层抽样的方法选取40名进行模拟交流，其中甲志愿者会讲英文并以小组长的身份参加，则不同的抽样结果共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】依题意，会讲英文的志愿者人数与不会讲英文的志愿者人数之比为， 则应选取的会讲英文的志愿者为名，选取的不会讲英文的志愿者为名， 又甲志愿者必须要参加，则需要从剩余的名会讲英文的志愿者中再抽取名， 所以不同的抽样结果共有种. 故选：B 【变式3-1】某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 【答案】C 【详解】若乙、丙、丁 3 人体验的项目各不相同，则有 种体验方法， 若乙、丙、丁 3 人有 2 人体验的项目相同，则有 种体验方法， 故不同的体验方法共有 24 种. 故选：C. 【变式3-2】从这12个整数中随机抽取3个，则这3个数的和能被3整除的情况有(    ). A．12种 B．64种 C．76种 D．80种 【答案】C 【详解】在1～12中能被3整除的有3，6，9，12，除以3余数为1的有1，4，7，10， 除以3余数为2的有2，5，8，11．抽取的3个数之和能被3整除的情况有： ①抽到3个能被3整除的数，有(种)； ②抽到3个除以3余数为1的数，有(种)； ③抽到3个除以3余数为2的数，有(种)； ④抽到能被3整除、除以3余数为1、除以3余数为2的三种数各1个，有(种)． 所以符合要求的情况有(种). 故选：C. 【变式3-3】如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为 ，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为 ． 【答案】 【详解】蚂蚁从点爬到点需要走步，其中步横向，步纵向， 所有路径数为从步中选择步横向的组合数，所以； 蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，如下： 共种. 故答案为：；. 【题型4 分堆分配问题】 【例7】某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 【答案】C 【详解】若每个班至少3人参加，由于（1）班有2个志愿者队长， 故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额， 再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额， 故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，有种分配方法. 故选：C. 【例8】每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（    ） A．540 B．120 C．90 D．60 【答案】C 【详解】将6位老师平均分成三组，共有种可能， 三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲， 则有种排法． 故选：C. 【变式4-1】甲、乙、丙、丁4名同学去三个敬老院做志愿者，每人只去一个敬老院，每个敬老院都要有人去．若甲不去敬老院，乙不去敬老院，则不同的分配方式共有（     ） A．12种 B．17种 C．21种 D．24种 【答案】B 【详解】4人去3个敬老院，则有1个敬老院会有两个人去， ①若甲去敬老院：当敬老院有两人去，则分配方式有种；当敬老院只有甲去，分配方式有种； ②若甲去敬老院：当乙去敬老院，分配方式有种；当乙也去敬老院，分配方式有种， 所以不同的分配方式共有种． 故选：B 【变式4-2】某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 . 【答案】240 【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种， 再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法. 故答案为：240. 【变式4-3】年“喜迎全运•志愿一夏”广州中小学生志愿服务系列主题活动启动仪式在广州亚运会亚残运会博物馆举办．现需要分配名学生志愿者对种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配人，则不同的分配方案种数为 ． 【答案】14 【详解】第步：根据分类加法计数原理求名学生志愿者分组的种数， 名学生志愿者分为组，共有两种情况： ①一组人，另一组人，共有种；②一组人，另一组人，共有种， 所以共有种分法， 第步：根据分步乘法计数原理计算所求， 由上可知，不同的分配方案种数为种． 故答案为：. 【题型5 二项式展开式及其应用】 【例9】（多选）下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40 B．第4项的二项式系数为10 C．不含常数项 D．系数和为32 【答案】BC 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以第3项的系数为，故A错误； 第4项的二项式系数为，故B正确； 令，解得，又，所以展开式不含常数项，故C正确； 令可得系数和为，故D错误. 故选：BC 【例10】已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m= ． 【答案】/ 【详解】展开式中含的项为，含的项为， 所以由题意可得，解得. 故答案为：． 【变式5-1】展开式中的第项与倒数第项的比是，则展开式中的第项为 ． 【答案】 【详解】根据题意可知，， 由， 化简得，所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】在的二项展开式中，常数项为 【答案】405 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以常数项为， 故答案为：405. 【变式5-3】已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 【题型6 求两个多项式积的特定项】 【例11】的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知只有与的展开式中的一次项乘积为常数， 即. 故选：B 【例12】在多项式的展开式中，的系数为16，则 ． 【答案】1 【详解】的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 则的展开式中的系数为，解得. 故答案为：1 【变式6-1】在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 【变式6-2】的展开式中，常数项为 . 【答案】 【详解】根据题意，的通项为， 则展开式中的项为或， 令或，得或， 从而展开式常数项为． 故答案为： 【变式6-3】当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：    若在的展开式中，的系数为，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由广义杨辉三角，得， 因此的展开式中，项为， 所以，即. 故选：B 【题型7 多项式展开式的特定项】 【例13】的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【答案】A 【详解】由题意可知：的通项为， 且的通项为， 令，解得， 所以的系数为． 故选：A 【例14】的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 【答案】B 【详解】展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，得这些项的系数之和为. 故选：B 【变式7-1】的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【详解】的展开式为． 令解得 所以其常数项为． 故答案为： 【变式7-2】的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【详解】由题意知的通项为 ， 化简得， 令，得， 即， 所以的系数为. 故答案为： 【变式7-3】若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 【答案】 【详解】由，得， 于是展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 【题型8 二项式系数性质及其应用】 【例15】设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【答案】A 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 【例16】已知二项式，若它的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），通项为. 二项式系数最大的项为第4，5项， . （2）设展开式中系数最大的项为第项，则 ，，，解得， 因为，所以或，所以展开式中系数最大的项为第6，7项， . 【变式8-1】（多选）设，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，令，得，解得：，故A选项正确； 对于B选项，令，得：，故B选项正确； 对于C选项，由题意可知，当时，得：，故C选项错误； 对于D选项，令，得：，由上式， 两式相加得：， 解得：，故D选项正确. 故选：ABD 【变式8-2】在的展开式中系数最大的项是第 项． 【答案】 【详解】的展开式的通项为， 则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数， 由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数， 故展开式中系数最大的项是第项. 故答案为：. 【变式8-3】的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为 . 【答案】 【详解】展开式中二项式系数只有第4项最大，则， ， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 【题型9 二项式定理的应用】 【例17】已知，若，，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【详解】∵ ∴， ∵，，， ∴ 故选：A 【例18】的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【详解】由 . 故答案为：. 【变式9-1】最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 【变式9-2】（多选）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921（mod 6），若，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为， 又，所以被除得余数为， 又，且和被除得余数为， 故选：BD. 【变式9-3】若为奇数，求除以11所得的余数． 【答案】余数为0 【详解】因为 ， 由于具有11的倍数且和10的幂接近的数分别是99，9999，， 因为为奇数，为偶数，故余数为0． 过关检测 一、单选题 1．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 【答案】A 【详解】因为甲和乙两人相邻，所以将两人看成一个整体，有种方法， 将这两人看成一个元素，和其他四名同学，共5个元素全排列，有种方法， 所以甲，乙两人相邻的排法共有种方法. 故选：A 2．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【详解】二项式展开式的通项为， 由，得，所以的展开式中的系数为. 故选：A 3．在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为（ ） A．20 B． C．30 D． 【答案】B 【详解】由题知，令，则原式为， 因为各项系数的和为，所以，则， 则原式为， 因为通项为， 所以的系数为. 故选：B. 4．有四个不同的小球，，，，放入3个不同的盒子之中，则每个盒子中至少有一个球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，先将4个不同的小球放入3个不同的盒子共有种放法， 每个盒子中至少有1个小球的放法，先将4个不同的小球分为3组， 其中一组2个，一组1个，一组1个，共有种不同的分法， 再将3组放在3个不同的盒子中，共有种，由分步计数原理， 可得共有种不同的放法，故概率为. 故选：B. 5．满足不等式的有序整数组的个数为（    ） A．231 B．267 C．334 D．377 【答案】D 【详解】若全为0，则有序整数组的个数为1个； 若有两个为0，则有序整数组的个数为个： 若有1个为0，则有序整数组的个数为个； 若中没有0，易知或4或5或6，则有序整数组的个数为， 所以有序整数组的个数共有个. 故选：D. 6．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【答案】D 【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有(种)． 故选：D． 7．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】二项式展开式的通项为，即，其中． 当为有理项时，必为偶数． 当时，，． 其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项． 故的最小值为4． 故选：B． 8．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】， 且能被整除， 而， ， 被除的余数为， 用七进制表示十进制的，其个位数是. 故选：A. 二、多选题 9．某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】直接法： 若小品排在最后一位，有种不同的排法； 若小品排在第二到第六位之间，则相声可以排在除最后一位和小品占据以外的任何位置，有种不同的排法； 则共有种不同的排法，A正确； 间接法： 不管条件限制共有种不同的排法； 当小品在第一位或相声在最后一位时，有种不同的排法， 当小品在第一位且相声在最后一位时，有种情况； 故共有，D正确； 故选：AD. 10．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，原式成立，故B正确； 对于C，左边，右边，两边不等，故C错误； 对于D，左边， 右边，左边右边，故D正确． 故选：ABD. 11．在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 三、填空题 12．在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【详解】二项式的展开式中，含的项为， 所以的系数为. 故答案为： 13．的展开式中的系数是 ． 【答案】20 【详解】的展开式的通项为，， 则的展开式中， ①当时，； ②当时，， 故展开式中的系数是． 故答案为：20． 14．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 【答案】420 【详解】①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有种法． ②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字外的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字，根据分步乘法计数原理，有种取法． 所以根据分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数． 故答案为：420. 四、解答题 15．寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】(1)150 (2)48 (3)120 (4) 【详解】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． （3）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 16．小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 【答案】(1)10 (2)16 (3)12 【详解】（1）若不买苹果，共有种买法． （2）若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有种买法． （3）当香橙和圣女果中只买香橙时，有种买法； 当香橙和圣女果中只买圣女果时，有种买法； 当香橙和圣女果都买时，有种买法. 故买法总数为种． 17．已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. （2）由（1）知，的展开式中项为：，所以. （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 18．用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 【答案】(1)600； (2)288； (3)216； (4)310245. 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种. （2）先排个位数，有种， 由0不能在首位，则排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个. （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法， 所以共有个. （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 所以第264个数是，第265个数是. 19．设，的二项展开式为，其中、、…、均为常数. (1)若，求的值； (2)若对一切均成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在的二项展开式中，，系数， ，系数，则，解得； （2）对于，1，2，…，20，系数，， 这样，随着的递增而减小， 据已知，是的最大项，那么对所有，2，3，4成立，这4项中最小的是，解得 同时对所有，6，7，…，19成立，这些项中最大的是，解得， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习08 排列组合与二项式定理 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 有条件的排列问题】 【题型2 数字问题】 【题型3 组合问题】 【题型4 分堆分配问题】 【题型5 二项式展开式及其应用】 【题型6 求两个多项式积的特定项】 【题型7 多项式展开式的特定项】 【题型8 二项式系数性质及其应用】 【题型9 二项式定理的应用】 知识点 1 ：排列 ①排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. ②排列数、排列数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示，其中，，且. 知识点 2 ：组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. ，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：；性质2：. 知识点 3 ：二项式定理的概念及性质 1.二项式定理 该公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有项， 其中各项的系数叫做二项式系数， 展开式的第项为 注意：①是第项，而不是第k项； ②通项公式中a，b的位置不能颠倒． 2.二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，由公式得到 增减性与最大值 当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值 ①当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大； ②当n是奇数时，中间的一项的二项式系数最大； 二项式系数的和 二项式系数的和为 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 3.系数之和（赋值法） ①求各项系数之和，令即可 ②若，则f(x)展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为. 难点 1 ：排列组合常见问题问题 问题 方法 “在”与“不在”的有限制条件的排列问题 既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先. 相邻问题 “捆绑法”：把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题 “插空法”：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空挡中 定序问题 先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正面考虑比较复杂的问题 “间接法”，反面入手 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 难点 2 ： 二项式系数的最大值 求展开式中系数最大的项 情况 方法 可转化成求二项式系数最大的项 待定系数法：设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来 题型归纳 【题型1 有条件的排列问题】 【例1】将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【例2】甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种（用数字作答）． 【变式1-1】配置某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，已知不同的添加顺序对染色效果是不一样的，则其中2种无机染料添加顺序不相邻的概率为 . 【变式1-2】若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 【变式1-3】根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 【题型2 数字问题】 【例3】用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 【例4】有四个数字， (1)可以组成多少个四位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ (3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 【变式2-1】如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同排法有 种.（用数字作答）    【变式2-2】用，，，，，这六个数字可以组成（   ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数” A． B． C． D． 【变式2-3】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（    ）个．（用数字作答） A．128 B．256 C．576 D．684 【题型3 组合问题】 【例5】学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有（    ） A．12种 B．16种 C．18种 D．20种 【例6】中国进出口商品交易会被誉为“中国第一展”、中国外贸的“晴雨表”“风向标”．每年会议期间都会招募志愿者参加活动，已知志愿者中会讲英文与不会讲英文的分别有120名和40名，若从招募的志愿者中用分层抽样的方法选取40名进行模拟交流，其中甲志愿者会讲英文并以小组长的身份参加，则不同的抽样结果共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式3-1】某景区新开通了 个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验 项 目， 则不同的体验方法共有（    ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．30 种 【变式3-2】从这12个整数中随机抽取3个，则这3个数的和能被3整除的情况有(    ). A．12种 B．64种 C．76种 D．80种 【变式3-3】如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为 ，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为 ． 【题型4 分堆分配问题】 【例7】某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（   ）种分配方法. A．90 B．60 C．126 D．120 【例8】每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（    ） A．540 B．120 C．90 D．60 【变式4-1】甲、乙、丙、丁4名同学去三个敬老院做志愿者，每人只去一个敬老院，每个敬老院都要有人去．若甲不去敬老院，乙不去敬老院，则不同的分配方式共有（     ） A．12种 B．17种 C．21种 D．24种 【变式4-2】某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 . 【变式4-3】年“喜迎全运•志愿一夏”广州中小学生志愿服务系列主题活动启动仪式在广州亚运会亚残运会博物馆举办．现需要分配名学生志愿者对种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配人，则不同的分配方案种数为 ． 【题型5 二项式展开式及其应用】 【例9】（多选）下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40 B．第4项的二项式系数为10 C．不含常数项 D．系数和为32 【例10】已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m= ． 【变式5-1】展开式中的第项与倒数第项的比是，则展开式中的第项为 ． 【变式5-2】在的二项展开式中，常数项为 【变式5-3】已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答） 【题型6 求两个多项式积的特定项】 【例11】的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【例12】在多项式的展开式中，的系数为16，则 ． 【变式6-1】在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式6-2】的展开式中，常数项为 . 【变式6-3】当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：    若在的展开式中，的系数为，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型7 多项式展开式的特定项】 【例13】的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【例14】的展开式中所有不含的项的系数之和为（    ） A． B． C．1 D．243 【变式7-1】的展开式中的常数项为 ． 【变式7-2】的展开式中项的系数为 ． 【变式7-3】若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 【题型8 二项式系数性质及其应用】 【例15】设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【例16】已知二项式，若它的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 【变式8-1】（多选）设，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】在的展开式中系数最大的项是第 项． 【变式8-3】的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为 . 【题型9 二项式定理的应用】 【例17】已知，若，，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．12 【例18】的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【变式9-1】最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【变式9-2】（多选）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921（mod 6），若，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】若为奇数，求除以11所得的余数． 过关检测 一、单选题 1．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有（   ）种 A．240种 B．360种 C．480种 D．540种 2．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 3．在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为（ ） A．20 B． C．30 D． 4．有四个不同的小球，，，，放入3个不同的盒子之中，则每个盒子中至少有一个球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．满足不等式的有序整数组的个数为（    ） A．231 B．267 C．334 D．377 6．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 7．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（    ） A．6 B．5 C．2 D．1 二、多选题 9．某市文化局组织了一次“送戏下乡”活动，共有个节目，且小品和相声各一个，若小品不排在第一位，相声不排在最后一位，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 10．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．在的展开式中，常数项为60 D．的展开式中，的系数为5 三、填空题 12．在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 13．的展开式中的系数是 ． 14．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答） 四、解答题 15．寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 16．小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种． (1)若不买苹果，共有多少种买法？ (2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？ (3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？ 17．已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 18．用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 19．设，的二项展开式为，其中、、…、均为常数. (1)若，求的值； (2)若对一切均成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$