专题08 线段和角-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（苏科版2024）

专题08 线段和角 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 直线、射线、线段的相关概念 1 题型二 线段和直线的基本性质问题 2 题型三 角的表示方法 4 题型四 方位角、钟面角问题 5 题型五 求一个角的余角、补角 8 题型六 尺规作线段或角 8 题型七 与线段及线段中点有关的计算 11 题型八 与余角、补角有关的计算 14 题型九 与角平分线有关的计算问题 17 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 直线、射线、线段的相关概念 例题：（23-24七年级上·天津宁河·期末）下列直线、射线、线段中，能相交的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段．熟练掌握直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长是解题的关键． 根据直线两端都可以无限延长，射线有一个端点，可向一边无限延长，线段不可延长逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，A中直线与直线能相交，故符合要求； B中射线与直线不能相交，故不符合要求； C中射线与线段不能相交，故不符合要求； D中线段与线段不能相交，故不符合要求； 故选：A． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 【答案】D 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查的是直线的表述方法，直线与直线的交点的含义，根据直线的表示方法逐一判断即可． 【详解】解：图中有直线，直线，直线，直线， 直线与直线交于点O，直线与直线m交于点O， ∴A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意； 故选：D． 2.（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查射线、直线和线段定义与作图，根据射线、直线和线段定义与作图逐项判断即可得到答案，熟记射线、直线和线段定义与作图是解决问题的关键． 【详解】解：A、根据射线定义，射线一端无限延长，不可能得到射线，该选项表述错误，不符合题意； B、根据直线定义，射线两端无限延长，不可能得到直线，该选项表述错误，不符合题意； C、画线段，在线段上任取一点说法正确，符合题意； D、根据射线定义，射线从固定端点出发，向另一端无限延长，以点为端点画射线，而不是以点为端点画射线，该选项表述错误，不符合题意； 故选：C． 题型二 线段和直线的基本性质问题 例题：（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，理解两点之间线段最短的性质是正确判断的前提．根据线段的性质进行判断即可． 【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短， 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质：两点确定一条直线即可得． 【详解】解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 2.（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图：已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第 路，用数学知识解释为： ．    【答案】 ③ 两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】根据题意，连接两点的所有的线中，应选连接、的线段，根据线段的性质，两点之间线段最短即可．此题为数学知识的应用，考查知识点是两点之间线段最短． 【详解】解：依题意， 从地到地共有五条路，小红应选择第③路，用数学知识解释为两点之间，线段最短． 故答案为：③，两点之间，线段最短 题型三 角的表示方法 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的表示方法 【分析】本题考查了角的表示方法； 角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示，据此进行分析即可． 【详解】解：A.可以用表示，符合题意； B.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； C.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； D.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 故选：A． 2.（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ）    A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别、角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、点P不在直线m上，原说法错误，不符合题意； B、直线m和n相交于点O，原说法正确，符合题意； C、∠1可以表示成，不可以表示成，原说法错误，不符合题意； D、射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 题型四 方位角、钟面角问题 例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 【答案】/150度 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了与方向角有关的运算，先根据题意得出，得出，根据代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上， ∴，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点，，分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量，公园在学校的北偏东方向，则实践基地在学校的 方向．      【答案】北偏西 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查了方位角，解题的关键是根据图形得出角度之间的和差关系．根据角度之间的和差关系，计算的度数，即可解答． 【详解】解：，， ， 实践基地在学校的北偏西方向， 故答案为：北偏西．    2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 【答案】135 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，整个圆分为12个大格，每个大格30度，下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，由此可解． 【详解】解：下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，每个大格30度， 因此时钟的分针与时针所成的钝角的度数为：（度）， 故答案为：135． 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是 ． 【答案】120 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟表里的旋转角的问题，根据钟表表盘被分成12大格，每一大格为，由8时整，即分针和时针之间有4大格，即可求解． 【详解】解：钟表表盘被分成12大格， 每一大格为， 8时整，即分针和时针之间有4大格， 8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是， 故答案为：120． 题型五 求一个角的余角、补角 例题：（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是 ，它的补角是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了余角和补角．熟练掌握概念是解题的关键．计算时要注意度、分、秒是60进制．余角定义：如果两个角的和等于90度（直角），就说这两个角互为余角；补角定义：如果两个角的和等于180度（平角），就说两个角互为补角． 根据互余的两个角的和等于90°，互补的两个角的和等于180°，分别列式计算即可得解． 【详解】的余角是：； 的补角是：． 故答案为：，． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏连云港·期末）已知，则的余角为 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】本题考查了对余角的理解和运用，如果两个角互余，那么这两个角的和为．根据余角的意义：的余角为，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 2.（23-24七年级上·河北承德·期末），则的余角为 ，的补角为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查余角和补角的性质定理，根据余角和补角的定义解题即可．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴的余角等于； 的补角等于， 故答案为；． 题型六 尺规作线段或角 例题：（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，平面上有四个点，读下列语句，并画出符合下列所有要求的图形． (1)画射线，连接，并与射线相交于点； (2)画直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查直线和射线的画法，属于基础题，根据题意准确作图是解题的关键． （1）连接并延长，连接，并与射线相交于点即为所求； （2）连接并向两端延长即为所求． 【详解】（1）如图所示；就是所求作的射线，就是连接的线段，点就是交点； （2）如图所示，就是求作的直线． 【变式训练】 1.（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 【答案】见解析 【知识点】尺规作角的和、差 【分析】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则． 【详解】如图所示，即为所求．    【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键． 2.（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接B，C； (4)线段和线段相交于点O． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了作图，作直线，射线，线段，以及两线段的交点等作图知识． （1）过点A、B作直线，要向两方延伸； （2）过B、D作射线，向D点方向延伸，B点方向不延伸∶ （3）就是作线段； （4）连接、交点标注为O； 【详解】（1）解：直线如下图所示： （2）解：射线如下图所示： （3）解：线段如下图所示： （4）解：线段和线段相交于点O如下图所示： 题型七 与线段及线段中点有关的计算 例题：（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、列代数式 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2.（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，，求的长． 【答案】(1)； (2)或12 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差以及中点的有关运算． （1）现根据中点的意义得到，，再由线段的和关系，即可作答； （2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可． 【详解】（1）∵线段，是线段的中点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 当点在点左侧时：； 当点在点右侧时：． 综上：或12． 题型八 与余角、补角有关的计算 例题：（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分． (1)求的度数； (2)判断与是否互余，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算： （1）角平分线求出，平角求出即可； （2）求出与的度数，根据余角的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）是，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与互余． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）． (1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上， ①请找出图中与相等的一个角，并说明理由； ②若的度数比的度数的一半小，求的度数． (2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数． 【答案】(1)①，理由见解析；②； (2)． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】题目主要考查角度的计算，一元一次方程的应用，角平分线的计算，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）①根据等角的补角相等即可得出结果；②设，则，根据题意列出方程求解即可； （2）根据角平分线得出，结合图形进行等量代换求解即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴； ②设，则， ∴， ∴，， ∴； （2）∵分别平分与， ∴， ∴． 2.（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图（1），若，则 ； (2)在图（1）中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图（1）中的直角三角板绕顶点O旋转至图（2）的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系，并直接写出你的结论，不必说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查的是余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：结论：， 理由如下：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型九 与角平分线有关的计算问题 例题：（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 2.（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 一、单选题 1．（23-24七年级上·全国·期末）在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考考查了补角和余角的知识，几何中角度的计算，理解补角和余角的性质是解答本题的基础．根据补角和余角的性质求出和，即可求出． 【详解】解： ∵的补角是，的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）   A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，根据直线的性质“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是：两点确定一条直线． 故选：A． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，若，则线段的长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段的计算，解题的关键是根据题意，得到线段之间的数量关系，进行解答，即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（    ） A．点A在点O的北偏东方向上 B．点D在点O的东南方向上 C．点A在点O的北偏东方向上 D．点D在点O的南偏东方向上 【答案】A 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角的表示，解题的关键是要掌握辨别方向的方法； 根据点A，点D所在的位置，可得到方向角，即可得到答案． 【详解】解：由图可得： 点A在点O的东偏北方向上， ∴点A在点O的北偏东方向上， ∴选项A错误，符合题意； 选项C正确，不符合题意； ∵点D在点O的东南方向上，点D在点O的东偏南方向上， ∴点D也在点O的南偏东方向上， 选项B、D均正确，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】易求出，根据角平分线定义得出，即可得出答案．本题考查了垂直定义，角平分线定义等知识点，能求出的度数和求出是解此题的关键． 【详解】解：， ， 射线平分， ， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查了补角的知识，根据互补的两角之和为，解答即可． 【详解】解：， 的补角的度数为， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角为 度． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角的概念以及运用．设这个角的度数是，这个角的补角为，余角为．根据“一个角的余角等于这个角的补角的”列方程求解即可．互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为．解题的关键是能准确的从题中找出角之间的数量关系，从而计算出结果． 【详解】解：设这个角的度数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个角为度． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，钟表上时针与分针所成角的度数是 ． 【答案】/120度 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟面上的角度计算，了解钟面的结、明确每份的度数是解题的关键． 根据钟面一周为，被分成了12等份，每份的度数是，依此即可求出4时的时针与分针所成的角度即可． 【详解】解：如图：钟表上时针与分针所成角的度数是． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·期末）已知线段，线段，线段在线段上由点A向点B从左向右移动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设线段，记图中所有线段的长度之和为S，则 ．（用含a，x的代数式表示）    【答案】 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是正确计算所有线段的长度之和．，可得的含的代数式表示． 【详解】解：， 则， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图所示，已知，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长．请补充完成下列解答： 解：因为是线段的中点，， 所以　　　　． 因为， 所以　　　　． 所以　　　　　　　　． ． 【答案】，12，，8，，12，8，20 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出，线段的比得出是解题关键．根据线段中点的性质，可得，根据线段的比，可得，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：是线段的中点，， ． ， ． ， ， 故答案为：，12，，8，，12，8，20． 12．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，点在直线上，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角度的计算及角平分线的计算，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线得出，结合图形求解即可； （2）由（1）得，结合图形作差即可． 【详解】（1）解：是的平分线，是的平分线． ； （2）由（1）得 ． 13．（24-25七年级上·全国·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度； (2)经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解； （2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解． 【详解】（1）解：时针每分钟转， 时分针和时针的夹角为：， （2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇， 则：， 解得：， 答：经过分钟，时针与分针第一次相遇． 14．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)（填“”、“”或“”），依据是_______； (3)若点是射线上一点，且，，求的长； (4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)>，两点之间线段最短 (3) (4)的长为1或5． 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、两点之间线段最短 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了两点间的距离． （1）根据几何语言画出几何图形； （2）根据两点之间线段最短进行判断； （3）先计算出，然后计算即可； （4）讨论：当点在点左侧，；当点在点右侧，． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：根据两点之间线段最短得； 故答案为：，两点之间线段最短； （3）解：， ， ， ； （4）解：当点在点左侧，， 当点在点右侧，， 综上所述，的长为1或5． 15．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、、均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)连接，延长到，使； (2)分别画直线、射线； (3)在射线上找点，使最小，画出点，此画图的依据是 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析；两点之间线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，射线，线段和两点之间线段最短： （1）根据线段的画法画图即可； （2）根据直线和射线的画法画图即可； （3）根据两点之间线段最短连接交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，连接交于点P，点P即为所求，画图依据是两点之间线段最短． 16．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知线段，点与点在线段上，点在线段外． (1)根据要求画出图形：画直线，画射线，连接； (2)图中共有 条射线； (3)根据（1）的作图，以点A为端点的线段有 条，的理由是 ； (4)根据（1）的作图，按图填空： ； (5)若点D为线段的中点，，，则线段的长度为为 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)4，两点之间线段最短 (4) (5)1 【知识点】线段中点的有关计算、几何图形中角度计算问题、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段和两点之间的距离． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）根据射线的定义求解； （3）先根据线段的定义确定以点为端点的线段，然后根据线段公理可判断； （4）利用几何图形可得到与的差为； （5）先求出，再计算出，接着利用线段中点的定义求出，然后计算即可． 【详解】（1）解：如图，直线，画射线，线段为所作； （2）解：图中射线有：，，，，，，共6条； 故答案为：6； （3）解：以点为端点的线段有、、、，共4条， 的理由是：两点之间线段最短； 故答案为：4，两点之间线段最短； （4）解：； 故答案为：； （5）解：，， ， ， 点为线段的中点， ， ． 故答案为：1． 17．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 【答案】(1)所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，， (2)， (3) (4) 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了角的定义和角的比较与计算，解题的关键掌握三角板的角度计算． （1）根据角的定义写出即可； （2）根据三角板的特征知，则写出即可； （3）根据求出，代入求出即可； （4）求出，代入求出即可． 【详解】（1）图中所有以O点为顶点且小于平角的角有，，，，，． （2）图中相等的角有，， 故答案为：，； （3）解； ∵，， ∴， ∵， ∴． （4），理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 18．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或， 即或， 解得：或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 线段和角 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 直线、射线、线段的相关概念 1 题型二 线段和直线的基本性质问题 2 题型三 角的表示方法 4 题型四 方位角、钟面角问题 5 题型五 求一个角的余角、补角 8 题型六 尺规作线段或角 8 题型七 与线段及线段中点有关的计算 11 题型八 与余角、补角有关的计算 14 题型九 与角平分线有关的计算问题 17 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 直线、射线、线段的相关概念 例题：（23-24七年级上·天津宁河·期末）下列直线、射线、线段中，能相交的是（    ） A．B．C．D． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 2.（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 题型二 线段和直线的基本性质问题 例题：（23-24七年级上·广东汕头·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点确定一条直线 C．两直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 2.（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图：已知从A地到B地共有五条路，小红应选择第 路，用数学知识解释为： ．    题型三 角的表示方法 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ）    A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 题型四 方位角、钟面角问题 例题：（24-25七年级上·全国·期末）如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，点，，分别表示手绘地图中实践基地、公园、学校的大体位置．经测量，公园在学校的北偏东方向，则实践基地在学校的 方向．      2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 3.（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，8时整，钟表的时针和分针构成的角的度数是 ． 题型五 求一个角的余角、补角 例题：（23-24七年级上·湖北孝感·期末）的余角是 ，它的补角是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏连云港·期末）已知，则的余角为 ． 2.（23-24七年级上·河北承德·期末），则的余角为 ，的补角为 ． 题型六 尺规作线段或角 例题：（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，平面上有四个点，读下列语句，并画出符合下列所有要求的图形． (1)画射线，连接，并与射线相交于点； (2)画直线． 【变式训练】 1.（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 2.（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，在平面上有A，B，C，D四点，请按照下列语句画出图形． (1)画直线； (2)画射线； (3)连接B，C； (4)线段和线段相交于点O． 题型七 与线段及线段中点有关的计算 例题：（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 2.（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图．线段，是线段的中点，是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点，，求的长． 题型八 与余角、补角有关的计算 例题：（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，点A、O、B在同一直线上，，平分，平分． (1)求的度数； (2)判断与是否互余，并说明理由． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·天津津南·期末）与互为补角，分别平分与（题目中的涉及的角均指小于平角的角）． (1)如图1，当点B、O、C三点在一条直线上， ①请找出图中与相等的一个角，并说明理由； ②若的度数比的度数的一半小，求的度数． (2)如图2，当点B、O、C三点不在一条直线上，求∠EOF的度数． 2.（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图（1），若，则 ； (2)在图（1）中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图（1）中的直角三角板绕顶点O旋转至图（2）的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系，并直接写出你的结论，不必说明理由． 题型九 与角平分线有关的计算问题 例题：（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【变式训练】 1.（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 2.（23-24七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 一、单选题 1．（23-24七年级上·全国·期末）在三角形中，若的补角是，的余角是，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）   A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的中点，若，则线段的长度是（   ）． A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（    ） A．点A在点O的北偏东方向上 B．点D在点O的东南方向上 C．点A在点O的北偏东方向上 D．点D在点O的南偏东方向上 5．（23-24七年级上·新疆喀什·期末）如图，直线，相交于点，射线平分，，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）若，则的补角的度数为 ． 7．（24-25七年级上·全国·期末）一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角为 度． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，钟表上时针与分针所成角的度数是 ． 9．（24-25七年级上·全国·期末）已知线段，线段，线段在线段上由点A向点B从左向右移动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设线段，记图中所有线段的长度之和为S，则 ．（用含a，x的代数式表示）    10．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 三、解答题 11．（22-23七年级上·广东深圳·期末）如图所示，已知，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长．请补充完成下列解答： 解：因为是线段的中点，， 所以　　　　． 因为， 所以　　　　． 所以　　　　　　　　． ． 12．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，点在直线上，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 13．（24-25七年级上·全国·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 14．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)（填“”、“”或“”），依据是_______； (3)若点是射线上一点，且，，求的长； (4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值． 15．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点、、、均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题． (1)连接，延长到，使； (2)分别画直线、射线； (3)在射线上找点，使最小，画出点，此画图的依据是 ． 16．（23-24七年级上·广东·期末）如图，已知线段，点与点在线段上，点在线段外． (1)根据要求画出图形：画直线，画射线，连接； (2)图中共有 条射线； (3)根据（1）的作图，以点A为端点的线段有 条，的理由是 ； (4)根据（1）的作图，按图填空： ； (5)若点D为线段的中点，，，则线段的长度为为 ． 17．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将两块三角板的顶点重合． (1)请写出图中所有以O点为顶点且小于平角的角； (2)你写出的角中相等的角有 ； (3)若，试求的度数； (4)当三角板绕点O适当旋转（保持两三角板有重合部分）时，与之间具有怎样的数量关系？ 18．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$