专题3.3 函数、方程、不等式及函数的应用（考点清单，5个考点梳理+12题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题3.3 函数、方程、不等式及函数的应用 【清单01】函数的零点 1.函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2.三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点 3.拓广：（1）若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点． （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 【清单02】二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根（函数零点）的个数 2 1 0 ax2＋bx＋c>0（a>0） 的解集 （-ꝏ，x1)∪(x2,+ꝏ) （-ꝏ，x0)∪(x0,+ꝏ) R （注：a<0的情况，类似可以给出） 2.拓广：穿根法（根轴法）解不等式： （1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正； （2）求相应方程的根； （3）将上述根标在数轴上； （4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）； （5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立. 类似如图所示： 【清单03】零点存在性定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【清单4】二分法 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【清单5】常见函数模型 1.常见函数模型 （1）一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； （2）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （3）分式函数模型 （4）分段函数模型 （5）拓广：函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值： (1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x>0时，x＝ 时取最小值2， 当x<0时，x＝－ 时取最大值－2. 2.函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【考点题型一】求函数的零点 【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则= 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．不存在 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）表示不大于的最大整数，例，则的的取值范围 ，方程的解集是 . 【变式1-4】（20-21高三上·上海嘉定·期中）设，则方程的解集为 . 【考点题型二】函数零点所在区间的判断 【例2】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，则的零点所处的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】函数零点个数的判断 【例3】（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，设． 给出下列四个结论： ①当时，不存在最小值； ②当时，在为增函数； ③当时，存在实数b，使得有三个零点； ④当时，存在实数b，使得有三个零点． 其中正确结论的序号是 ． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，有，则实数的值有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【变式3-2】（23-24高二下·陕西汉中·期末）设函数,则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象，并结合图象讨论方程的解的个数 【变式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象.    (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)讨论方程解的个数. 【考点题型四】根据函数零点所在区间求参数 【例4】（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是 ． 【变式4-1】（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-3】（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】根据函数零点个数求参数 【例5】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，.若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 【变式5-1】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数若存在实数，使得函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）若关于的方程有4个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24高一下·浙江金华·期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点题型六】比较函数零点的大小 【例6】（2024高三·全国·专题练习）若，，，则，，由小到大的顺序是 【变式6-1】（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】“二分法”与零点的近似解 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）求方程的零点（精确到0.1）． 【变式7-1】（24-25高一上·山东德州·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期期中理科数学试题）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】（2020上·陕西渭南·高一校考期中）为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如表所示： 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 －0.8716 －0.5788 －0.2813 0.2101 0.32843 0.64115 则方程的近似解（精确到0.1）可取为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【考点题型八】函数零点与函数的基本性质 【例8】（多选）（24-25高一上·江苏常州·期中）某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（    ） A．等式对恒成立； B．若，则一定有； C．若，方程有两个不等实数根； D．函数在上只有一个零点. 【变式8-1】（23-24高一上·福建南平·期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】（24-25高一上·湖北·期中）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（    ） 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 A．若，均为增函数，则也为增函数 B．若，均为减函数，则也为减函数 C．若，均存在零点，则也存在零点 D．若，均存在零点，则也存在零点 【变式8-4】（多选）（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（    ） A．时方程有3个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 【考点题型九】二次函数零点、方程的根与不等式 【例9】（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知是函数的两个零点，且，则的取值范围为 ． 【变式9-2】（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （为实数）在的范围内有解，则 的取值范围是 ．    【变式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的取值范围是 ． 【变式9-4】（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)已知函数有两个不同的正数零点. （i）求的取值范围； （ii）若，求的值. 【考点题型十】函数与方程、不等式综合问题 【例10】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数 (1)若关于x的方程有2个不同的实根，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有4个不同的实根，求实数a的取值范围． 【变式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知，函数． （1）当时，不等式的解集是 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 【变式10-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）已知函数，. (1)若函数在上单调递减，求的取值范围. (2)讨论函数的零点个数. (3)解关于的不等式. 【变式10-3】（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为1，且. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【变式10-4】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，的定义域均为．    (1)请在所给的图中画出的图像； (2)若不等式的解集为，求a的取值范围； (3)讨论函数的零点个数． 【考点题型十一】构建函数模型解决实际问题 【例11】（24-25高一上·广东·期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用． (1)若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价元 (2)如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？ 【变式11-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 【变式11-2】（24-25高一上·全国·课后作业）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间满足，若小球飞到最高处时用了2s，则小球的飞行高度不低于15m的时长为 s． 【变式11-3】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 【变式11-4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元． (1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km）应该在什么范围？ (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 【考点题型十二】已知函数模型解决实际问题 【例12】（24-25高一上·全国·课后作业）某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表： 时间 第4天 第32天 第60天 第90天 价格/元 23 30 22 7 (1)写出价格关于时间的函数关系式（表示投放市场的第天）； (2)销售量与时间的函数关系式为，则该产品投放市场第多少天销售额最高？最高为多少元？ 【变式12-1】（24-25高一上·全国·课后作业）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）城市公共自行车作为一种健康环保的代步工具，已成为绿色出行的象征．已知某自行车出租行的租金规则制度如下： ①2km以内（含2km），租金2元； ②2km以上，每增加1km，租金增加0.5元（不足1km的按1km计算） 若某人租用自行车骑行4.7km，则应付租金 元． 【变式12-3】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【变式12-4】（24-25高一上·四川泸州·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 函数、方程、不等式及函数的应用 【清单01】函数的零点 1.函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2.三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点 3.拓广：（1）若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点． （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 【清单02】二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根（函数零点）的个数 2 1 0 ax2＋bx＋c>0（a>0） 的解集 （-ꝏ，x1)∪(x2,+ꝏ) （-ꝏ，x0)∪(x0,+ꝏ) R （注：a<0的情况，类似可以给出） 2.拓广：穿根法（根轴法）解不等式： （1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正； （2）求相应方程的根； （3）将上述根标在数轴上； （4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）； （5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立. 类似如图所示： 【清单03】零点存在性定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【清单4】二分法 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【清单5】常见函数模型 1.常见函数模型 （1）一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； （2）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （3）分式函数模型 （4）分段函数模型 （5）拓广：函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值： (1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x>0时，x＝ 时取最小值2， 当x<0时，x＝－ 时取最大值－2. 2.函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【考点题型一】求函数的零点 【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则= 【答案】/ 【知识点】求函数的零点 【分析】由零点定义可得答案. 【详解】令， 得的零点为1与，则. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】求出方程的根，即可得答案； 【详解】函数的零点可以转化为方程的根， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 【答案】D 【知识点】对数的运算、求函数的零点 【分析】根据零点定义结合对数运算计算即可. 【详解】令，则，解得或． 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）表示不大于的最大整数，例，则的的取值范围 ，方程的解集是 . 【答案】 【知识点】函数新定义 【分析】根据的含义即可求，根据可得且，即可结合为整数求解. 【详解】由可得， 由于，故由可知， 故，解得且， 由于为整数，故，或，或0，或2， 故答案为，， 【变式1-4】（20-21高三上·上海嘉定·期中）设，则方程的解集为 . 【答案】 【知识点】求函数的零点、等式的性质与方程的解 【分析】根据绝对值方程的特点，分别求出绝对值内部一次函数的零点，将分成，，和四个部分，分别去掉绝对值，求解方程即得. 【详解】当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，舍去； 当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，故解集为. 综上，方程的解集为. 故答案为：. 【考点题型二】函数零点所在区间的判断 【例2】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，则的零点所处的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】由函数的单调性与零点存在性定理可得. 【详解】，且是上的减函数. 由，， 根据区间上零点存在性定理，有且只有一个零点，且在区间上. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】计算区间端点的函数值的乘积，利用零点的存在性定理进行判断即可. 【详解】由题意得， ， 所以一定包含零点的区间是. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理即可判断. 【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数， 又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性和零点存在性定理即可得到答案. 【详解】根据指数函数、对数函数单调性知， 在上的单调递增， 又因为， 且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C 【变式2-4】（2024·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、判断零点所在的区间 【分析】由题可得在上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】注意到函数图象在上连续不间断，因为在上均单调递增，则在上单调递增. 对于A，.因函数在上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误； 对于B，因为在上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确； 对于CD，由于在上单调递增，，可知C､D都是错误的. 故选：B. 【考点题型三】函数零点个数的判断 【例3】（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，设． 给出下列四个结论： ①当时，不存在最小值； ②当时，在为增函数； ③当时，存在实数b，使得有三个零点； ④当时，存在实数b，使得有三个零点． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的单调性、分段函数的值域或最值 【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断. 【详解】对于①：当时，， 易知函数在上的最小值为0， 函数，在内单调递增，即， 所以时，函数的最小值为0，故①错误； 对于②：当时，函数，在内单调递减，在内单调递增， 函数的对称轴为，所以在内单调递增， 又，即，解得， 综上可知，当时，在为增函数，故②正确； 对于③：当时， 函数，则，即，存在一个零点； 函数，在内单调递增，与存在一个交点， 又，即，解得或， 于是时，，如下图所示： 综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误； ④当时， 函数，在内单调递减，在内单调递增， 则与存在两个个交点， 由③知，与存在一个交点，， 又，即，解得或， 于是时，如下图所示： 综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点. 故答案为：②④. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，有，则实数的值有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据偶函数的定义判断为偶函数，则可得，再分析得时，，从而得解. 【详解】因为的定义域为， 又， 所以可知为偶函数，若， 可得或， 解之可得或，则的值有4个， 当时，，若此时， 化简求交集可得，此时恒成立，故的值有无数个， 综上，的值有无数个. 故选：D 【变式3-2】（23-24高二下·陕西汉中·期末）设函数,则的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】分别判断函数在时以及时的零点个数，即得答案. 【详解】当时，令或，有2个零点； 当时，令，即， 结合函数的图象可知二者在时有1个交点， 即此时有1个零点. 综合可知，的零点个数为3. 故选：D 【变式3-3】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象，并结合图象讨论方程的解的个数 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求函数零点或方程根的个数、画出具体函数图象、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）设，则，由此可求的解析式，结合奇偶性可求时的解析式，则解析式可知； （2）根据的解析式作出图象；再根据的图象交点个数分析方程的解的个数. 【详解】（1）当时，，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以的解析式为. （2）的图象如下图所示： 因为“方程的解的个数”“的图象交点个数”， 在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示： 由图象可知，当时，的图象无交点，所以方程无解； 当或时，的图象有个交点，所以方程有个解； 当时，的图象有个交点，所以方程有个解； 当时，的图象有个交点，所以方程有个解； 综上所述，当时，方程无解；当或时，方程有个解； 当时，方程有个解；当时，方程有个解. 【变式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象.    (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)讨论方程解的个数. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)答案见解析 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据偶函数定义即可画出图象，由图象即可求出单调区间； （2） 根据偶函数定义即可求出解析式； （3）数形结合即可讨论方程解的个数. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，图象如下：    其递增区间为； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则， 则； （3）当时，， 所以当时，， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，， 方程解的个数即为函数与的交点个数， 由图象可知，当时没有解； 当或时有2个解；       当时有4个解；       当时有3个解. 【考点题型四】根据函数零点所在区间求参数 【例4】（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】先求解出、、、时的解析式，然后作出与的图象，根据图象的交点横坐标确定出符合条件的的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 且， 作出的大致图象如下图所示： 由图象可知：若，对于任意都有显然不成立，所以， 由图象可知，当时，令，则有，解得或， 结合图象可知，若对于任意都有成立，则有， 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据零点所在的区间求参数范围、根据函数零点的个数求参数范围、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】求出函数的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得且或且， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【变式4-2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】令，根据零点的范围得到满足的条件，解不等式组可得结果. 【详解】令， 由题意，得，即，解得， 故的取值范围是.四个选项中在内的只有. 故选：D. 【变式4-3】（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得. 【详解】若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-4】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】利用零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 因为，， 则零点在区间上，可得. 故选：C. 【考点题型五】根据函数零点个数求参数 【例5】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，.若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】首先作出的图象，再利用换元法设，合理分类讨论，再利用二次函数的零点分布列出出不等式组，解出即可. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，则， 根据对勾函数和指数函数的性质以及函数为奇函数作出整个函数图象如下图所示： 令，则， 显然由图知直线与图象最多3个交点， 若要满足题意，则有两个不等实数解， 则，且根据韦达定理得，显然当不适合方程，且， 不妨设，则由图知： （i）当直线与有3个交点，直线与有1个交点， ①，则， 即，无解； ②，则，即，解得； （ii）当直线与有3个交点，直线与有1个交点， ①，则，即，无解； ②，则，即，解得； （iii）当直线与有2个交点，直线与有2个交点， ①，则，即，无解； ②当时，则，由图知此时符合题意，此， 综上所述的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 【变式5-2】（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数若存在实数，使得函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出函数的图象，根据图象可求解. 【详解】由题意，， 函数有4个不同的零点， 函数的图象和直线有4个交点， 函数的图象如下：    由图可知，当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增，且， 当 时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，且； 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一上·湖北黄冈·期中）若关于的方程有4个互不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】令，作出函数的图象与直线，结合图象即可求出实数a的取值范围. 【详解】令，问题转化为函数的图象与直线有四个不同交点. 由得为偶函数，函数图象关于轴对称. 当时，，作出函数的图象与直线，如图所示：    由图可知，当时，满足条件. 故选：A . 【变式5-4】（23-24高一下·浙江金华·期末）若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由已知条件可判断为偶函数，函数图象关于轴对称，由函数有且只有一个零点，过坐标原点即可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，函数图象关于轴对称， 因为函数有且只有一个零点， 所以函数过坐标原点，，解得. 故选：. 【考点题型六】比较函数零点的大小 【例6】（2024高三·全国·专题练习）若，，，则，，由小到大的顺序是 【答案】 【知识点】对数函数图象的应用、指数函数图像应用、比较零点的大小关系 【分析】把给定的三个等式作等价变形，比较函数，，的图象与曲线交点的横坐标大小即可. 【详解】依题意，，，， ，，， 因此，成立的值是函数与的图象交点的横坐标， 成立的值是函数与的图象交点的横坐标， 成立的值是函数与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数，，，的图象，如图， 观察图象，得，即， 所以，，由小到大的顺序是. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 【变式6-2】（2024·广东梅州·二模）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复合函数的单调性、比较零点的大小关系 【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 【变式6-3】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】由题意分别为函数与函数图象交点的横坐标，作出函数的图象，结合函数图象即可得解. 【详解】分别令， 则， 则分别为函数与函数图象交点的横坐标， 分别作出函数的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：A. 【变式6-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数的零点、比较零点的大小关系 【分析】依据零点存在性定理可判定的零点所在范围；对通分，应用一元二次方程可求解；将的零点转化为两个函数图像交点的横坐标，画简图可求，从而得出结果. 【详解】由函数在上为增函数，又， 则存在唯一零点，即； 令，则，解得或，则； 令，可得函数的零点即为与的交点的横坐标，画简图如图： 可得（负值舍去），则．综上，． 故选：B 【考点题型七】“二分法”与零点的近似解 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）求方程的零点（精确到0.1）． 【答案】2.1 【知识点】二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】令，设函数的零点为，因为，，所以，再由精确度为0.1时，利用二分法确定. 【详解】令，设函数的零点为， 因为，，所以， 由二分法得到下表， 中点 所在区间 2.5 2.25 2.125 2.1875 2.15625 2.140625 2.1484375 因为在精确度为0.1时，，， 所以在精确度为0.1时， ． 【变式7-1】（24-25高一上·山东德州·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】根据二分法的原理即可判断即可. 【详解】因为，，且函数图象连续不断， 所以函数在区间内有零点， 所以下一步应计算，， 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小胡同学用二分法求函数在内近似解的过程中，由计算可得，，，则小胡同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，，，则根应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 【变式7-3】（安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期期中理科数学试题）设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二分法求方程近似解的过程、判断零点所在的区间 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得，再求的符号，只须找到满足即可 【详解】取，因为，所以方程近似解， 取，因为， 所以方程近似解， 故选：A. 【变式7-4】（2020上·陕西渭南·高一校考期中）为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如表所示： 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 －0.8716 －0.5788 －0.2813 0.2101 0.32843 0.64115 则方程的近似解（精确到0.1）可取为（   ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【解析】根据二分法结合零点存在定理求解. 【详解】因为， 所以方程的解在区间内， 又精确到0.1， 所以可取1.4 故选：C 【考点题型八】函数零点与函数的基本性质 【例8】（多选）（24-25高一上·江苏常州·期中）某同学在研究函数时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（    ） A．等式对恒成立； B．若，则一定有； C．若，方程有两个不等实数根； D．函数在上只有一个零点. 【答案】ABD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数零点或方程根的个数、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性进行判断，对于B，通过判断函数的单调性分析判断，对于C，由的奇偶性和单调性，结合函数的值域分析判断，对于D，由的奇偶性和单调性分析判断. 【详解】对于A，因为， 所以是奇函数，故对恒成立，故A正确； 对于B，当时，，因为在上递减， 所以在上递增， 因为是奇函数，所以在上也是增函数， 而，的图象连续，所以在上为单调递增函数， 所以，则一定有成立，故B正确； 对于C，易知的定义域为， 又，所以为偶函数， 当时，， 因为在上为单调递增函数，所以在上为单调递增函数， 则在上单调递减， 当时，， 因为，所以，所以，则， 因为，为偶函数，所以， 所以当时，有两个不相等的实数根， 当时，不可能有两个不等的实数根，故C错误； 对于D，因为，易得的定义域为， 又，所以为奇函数， 当时，， 因为为奇函数，所以当时，， 又，所以函数在上只有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 【变式8-1】（23-24高一上·福建南平·期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、求零点的和 【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数， 所以，则的图象关于对称，且， 当时，， 又因为函数， 所以的图象关于对称， 所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和， 和的图象，如图所示：    由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称， 所以5个交点的横坐标之和为， 故选：C 【变式8-2】（24-25高一上·湖北·期中）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与方程的综合应用、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数新定义 【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】设为奇函数，且当时，， 则时，， 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【变式8-3】（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（    ） 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 A．若，均为增函数，则也为增函数 B．若，均为减函数，则也为减函数 C．若，均存在零点，则也存在零点 D．若，均存在零点，则也存在零点 【答案】AC 【知识点】求函数的零点、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数单调性的性质判断A，取特例可判断B，根据零点概念判断C，取特例判断D. 【详解】对A，，均为增函数，则也为增函数，故A正确； 对B，，均为减函数，则不一定是减函数，例如，不是减函数，故B错误； 对C，因为定义域为，且有解，则有解，故C正确； 对D，，均存在零点，则不一定有零点，例如都有零点，但无零点，故D错误. 故选：AC 【变式8-4】（多选）（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（    ） A．时方程有3个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 【答案】ACD 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】画出函数图象，结合图象逐个判断即可. 【详解】方程根的问题可以转换成和图象交点问题， 对于A：由图象可知：时方程有3个不同的实数根，正确； 对于B：当时，结合图象可知，方程无解，故错误； 对于C：由图象可知和由3个交点时，的取值范围为，故正确； 对于D：假设，结合图象可知，所以，故正确. 故选：ACD 【考点题型九】二次函数零点、方程的根与不等式 【例9】（24-25高一上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】一元二次方程根的分布问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意，方程有两个不同的实数根，进而求解出方程的两个解，再根据的不同取值范围，讨论两根的分布情况，从而得出结果. 【详解】恰有两个整数解   方程有两个不相等的实数根 ，解得，，且方程的两根可写为 时，，，此时不等式至少有4个整数解，不合题意； 时，，，此时不等式有两个整数解1和2，符合题意； 时，，. 当时，，即，解得，; 当时，不等式最多一个整数解，不合题意. 综上，. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知是函数的两个零点，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意可得是的两个不等实根，结合韦达定理可得，结合二次函数的性质及，求解即可. 【详解】解：令，得是方程的两个不等实根， 则，且． 由及，可得， 所以， 又因为，可得的取值范围为． 故答案为： 【变式9-2】（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （为实数）在的范围内有解，则 的取值范围是 ．    【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、函数 【分析】根据对称轴求出的值，从而得到时的函数值，再根据一元二次方程（为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论. 【详解】∵对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式为. 当时，；当时，；当时，. 因为方程的根为图象与直线的交点的横坐标， ∴当时，在的范围内有解. 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高一上·安徽·期中）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题 【分析】将问题转化为“的图象在上有唯一交点” ，然后对进行分类讨论，根据值域间的关系求解出的取值范围. 【详解】因为对任意的，总存在唯一的，使得成立， 即对任意的，方程在上有唯一解， 即对任意的，的图象在上有唯一交点； 在同一平面直角坐标系中作出的函数图象如下图， 因为的对称轴为且开口向上，所以在上单调递减， 所以，所以， 当时，，此时与在上有唯一交点，符合条件； 当时，，若满足条件只需，解得； 当时，，若满足条件只需，解得； 综上所述，的取值范围是. 【变式9-4】（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)已知函数有两个不同的正数零点. （i）求的取值范围； （ii）若，求的值. 【答案】(1). (2)（i）；（ii）. 【知识点】求二次函数的解析式、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）待定系数法可求二次函数解析式. （2）（i）由函数有两个不同的正数零点可得方程有两个不相等正实数根，利用判别式和韦达定理可求的取值范围，（ii）由可求的值. 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 由题意得，，解得， ∴函数解析式为. （2）由（1）知， ∴. （i）∵有两个不同的正数零点， ∴有两个不相等正实数根， ∴，解得， ∴的取值范围是. （ii）由（i）得，， ∴， ∴， ∵，∴. 【考点题型十】函数与方程、不等式综合问题 【例10】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数 (1)若关于x的方程有2个不同的实根，求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有4个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据二次函数以及指数函数的图象性质，作出函数图象，即可根据图象求解， （2）将问题转化为或有4个实数根，进一步转化为有2个实数根，结合函数图象即可求解. 【详解】（1）作出的图象如下： 可知在单调递增，在单调递减， 要使有2个不同的实根，则 （2）由可得， 故或， 由的图象可知：有两个不相等的实数根， 要使x的方程有4个不同的实根，则有两个不相等的实数根，故，解得 【变式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知，函数． （1）当时，不等式的解集是 （2）若函数恰有2个零点，则a的取值范围是 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、解不含参数的一元二次不等式、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）分别求解两个不等式得到两段上的解集，再求其并集即得； （2）结合函数图象，可将函数恰有2个零点分成有1和4两个零点或有1和3两个零点两种情况分别考虑，即得参数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当时，由可得，则有； 当时，由可得，则有. 综上，不等式的解集为； （2）因有一个零点为4，而有两个零点，分别为1和3. 若函数恰有2个零点,可以分成两种情况： ①当函数有1和4两个零点时，如图1所示，需使； ②当函数有1和3两个零点时，如图2所示，需使. 综上可得，. 【变式10-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）已知函数，. (1)若函数在上单调递减，求的取值范围. (2)讨论函数的零点个数. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】求函数零点或方程根的个数、根据函数的单调性解不等式、解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）根据函数在上单调递减，分情况讨论，即可求解； （2）根据m不同的取值情况，利用一次函数和二次函数的性质进行解答； （3）根据一次函数不等式和二次函数不等式的相关性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）①当时，函数在上单调递减，符合题意； ②当时，对称轴为，很明显，在上单调递增，不合题意，舍； ③当时，在上单调递减，所以，解得，所以. 综上，的取值范围. （2）当时，函数有一个零点； 当时，， ①当即时，解得， 所以当时，函数无零点； ②当即时，解得或， 所以当或时，函数有一个零点； ③当即时，解得或， 所以当时，函数有两个零点； 综上，当时，函数无零点； 当或或时，函数有一个零点； 当时，函数有两个零点. （3）当时，解得； 当时，， ①当时，此时，所以x的取值范围是； ②当时，此时，所以x的取值范围是； ③当时，此时，所以x的取值范围是. 当时，，x的取值范围是； 综上，当时，x的取值范围是；当时，x的取值范围是； 当时，x的取值范围是；当时，x的取值范围是； 当时，x的取值范围是. 【点睛】关键点睛：在求解二次函数不等式时，要注意二次项系数与的大小关系，应分情况讨论. 【变式10-3】（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为1，且. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围、求二次函数的解析式 【分析】（1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与己知点，可得答案； （2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案； （3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案. 【详解】（1）由，则二次函数的对称轴， 由二次函数的最小值为，则其顶点为， 可设二次函数，由，则， 所以. （2）由题意可得，则，解得. （3）由不等式，整理可得， 令，则其对称轴， ①当，即时，在上单调递增， 则， 令，解得，可得； ②当，即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 令，解得，可得； ③当，时，在上单调递减， ， 令，解得，此时无解； 综上所述，. 【变式10-4】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，的定义域均为．    (1)请在所给的图中画出的图像； (2)若不等式的解集为，求a的取值范围； (3)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)图象见解析 (2) (3)当或时，函数的零点个数为0；当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2. 【知识点】求函数零点或方程根的个数、二次函数的图象分析与判断、画出具体函数图象 【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，再画出图象即可； （2）利用函数图象可以解决恒成立问题； （3）将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，再结合函数图像，分类讨论，即可解决. 【详解】（1）由题意知， 所以其函数图象如下所示：    （2）因为不等式的解集为，所以在上恒成立， 函数图象的对称轴为：，函数和的图象如下：      所以，由图可知： ， 故的取值范围为：. （3）因为，所以函数和图象的交点个数即为函数的零点个数， 由（2）可知，①当，或时， 函数和图象的交点个数为0，此时函数的零点个数为0， 此时或， ②当，且时， 函数和图象的交点个数为2，此时函数的零点个数为2， 此时， ③当，即时， 函数和图象的交点个数为1，此时函数的零点个数为1， 综上所述：当或时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1； 当时，函数的零点个数为2. 【考点题型十一】构建函数模型解决实际问题 【例11】（24-25高一上·广东·期中）某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用． (1)若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价元 (2)如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？ 【答案】(1) (2)底面长宽分别为，；最低价格为元 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，即可列出方程； （2）由得，利用基本不等式即可得出． 【详解】（1）如图所示，根据题意，母婴室底面长为x米，宽为米，则，    该游乐场母婴室的总造价 （2）由得， 当且仅当即时，等号成立， 所以当该游乐场母婴室的底面长宽分别为，时总造价最低，最低总造价为元. 【变式11-1】（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 【答案】D 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】根据题意可得，整理得， 解得，又，所以，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为. 故选：D. 【变式11-2】（24-25高一上·全国·课后作业）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间满足，若小球飞到最高处时用了2s，则小球的飞行高度不低于15m的时长为 s． 【答案】2 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据二次函数性质求得，即得函数解析式，再由求解集，根据所得解集区间长度即可得答案. 【详解】小球的飞行高度与飞行时间之间满足二次函数， 二次函数的对称轴方程为，又小球飞到最高处时用了2s， 所以，解得，故， 令，即，解得， 故小球的飞行高度不低于15米的时长为． 故答案为：2 【变式11-3】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 【答案】(1) (2)从第3年开始盈利 (3)方案①比较合理 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题目描述得到函数关系，化简即可. （2）根据题意列出不等关系，解不等式得到结果，向上取整即可. （3）①先表示出年平均盈利额，利用基本不等式求出去年平均盈利额最大年份，求出总获利；②由二次函数的性质求出盈利额最大年份，求出总获利；比较获利金额，金额相同比较时间，即可得到合理方案. 【详解】（1）依题得：， （2）解不等式，得：， ，，故从第3年开始盈利. （3）①， 当且仅当时，即时等号成立， 故第七年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元， ②，当时，， 故第十年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理. 【变式11-4】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元． (1)若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km）应该在什么范围？ (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值． 【答案】(1) (2)15km，最小值为7万元． 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再由题意列不等式求解； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设，， 由题知：当时，和的费用分别为1万元和8万元， 即，，解得，， 所以，． 若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元， 即，解得， 所以若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元， 则仓库到车站的距离的取值范围为（单位：km）． （2）由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以仓库到车站的距离为15km时，两项费用之和最小，最小值为7万元． 【考点题型十二】已知函数模型解决实际问题 【例12】（24-25高一上·全国·课后作业）某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表： 时间 第4天 第32天 第60天 第90天 价格/元 23 30 22 7 (1)写出价格关于时间的函数关系式（表示投放市场的第天）； (2)销售量与时间的函数关系式为，则该产品投放市场第多少天销售额最高？最高为多少元？ 【答案】(1) (2)第10天和第11天，最高销售额为808.5元. 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用 【分析】（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式； （2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值. 【详解】（1）由题意，设且 则得 且 同样设且 则得， 且 （2）设该产品的日销售额为则 当时， 此时当或11时，（千元） 当时， 此时（千元） 综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）. 【变式12-1】（24-25高一上·全国·课后作业）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【答案】D 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】分别令和，求出后检验是否符合范围. 【详解】令，解得；令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 故选：D 【变式12-2】（24-25高一上·全国·课后作业）城市公共自行车作为一种健康环保的代步工具，已成为绿色出行的象征．已知某自行车出租行的租金规则制度如下： ①2km以内（含2km），租金2元； ②2km以上，每增加1km，租金增加0.5元（不足1km的按1km计算） 若某人租用自行车骑行4.7km，则应付租金 元． 【答案】3.5 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】根据题设写出分段函数形式，再求对应函数值即可. 【详解】设骑行里程为，租金为元， 由题意知，， 若某人租用自行车骑行4.7km，则需按5km计算， 即，则元， 所以若某人租用自行车骑行4.7km，则应付租金3.5元． 故答案为：3.5 【变式12-3】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)，； (2)，，销售单价39元. 【知识点】分式型函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）取数据对代入求出即可求出解析式. （2）求出日销售利润函数，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）取数据对，则，解得， 由实际意义知，，解得， 所以与之间的函数解析式，. （2）由（1）得，日销售利润，， ，当且仅当，即时取等号， 所以当销售单价为39元时，获得最大日销售利润400元. 【变式12-4】（24-25高一上·四川泸州·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第10天的销售收入为505元. 提示：第10的销售收入=第10天每件销售价格×第10天的销售量 (1)求的值； (2)给出以下三个函数模型：①；②；③，根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设过去一个月该工艺品日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)且定义域为 (3) 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意得到，解之即可得解； （2）利用表格中数据的增长趋势选定模型，再利用待定系数法求得，从而得到所求函数解析式和定义域； （3）利用（1）（2）中结论，得到，分类讨论的取值范围，结合基本不等式与函数的单调性即可得解. 【详解】（1）由题意得，第10天每件销售价格为元，第10天的销售量为50件， 所以，得； （2）由表格数据知：日销售量随时间的增长先增后减， 而①，②两函数都是单调函数，显然①②不符合， 而③满足题意，故选③， 则，解得，则， 综上，且定义域为； （3）由（1）（2）知，，，， 则， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时最小值为441元； 当时，在上单调递减， 此时最小值为元； 显然， 所以的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司49 学科网（北京）股份有限公司 $$