专题05 数据的集中趋势和离散程度-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题05 数据的集中趋势和离散程度 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 目录 题型一 求一组数据的平均数 1 题型二 求加权平均数 2 题型三 由平均数或加权平均数求未知数据 4 题型四 求众数 中位数 5 题型五 运用平均数 加权平均数 众数 中位数做决策 6 题型六 求方差 8 题型七 运用方差做决策 10 ☛第二层 能力提升练 题型一 求一组数据的平均数 ⭐技巧积累与运用 一般地，如果有n个数，那么=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”. 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如图所示，则这7次成绩的平均数是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·贵州毕节·模拟预测）某校开展“文明伴成长”画展，参展的彩铅、水墨、水彩和速写四个类别的作品数分别为59，53，59，61．这组数据的平均数为（    ） A．57 B．58 C．59 D．60 2．（22-23七年级下·西藏·开学考试）西藏百万农奴解放纪念日，学校举行歌咏比赛，五位评委给六年级一班打分如下：9.5分，9.4分，9.6分，8.9分，9.3分．去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算平均分，该班最终得分是 分． 题型二 求加权平均数 ⭐技巧积累与运用 （1）一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. （2）加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） （3）“权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 例题：（24-25八年级上·山东烟台·期中）某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中健康知识考试成绩占20%，课外体育活动情况占30%，体育技能考试成绩占50%，小明的这三项成绩（百分制）依次为95、90、92，则小明这学期的体育成绩为（   ） A．90 B．91 C．92 D．95 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（   ） A．16元 B．17元 C．18元 D．19元 2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 ． 题型三 由平均数或加权平均数求未知数据 ⭐技巧积累与运用 运用平均数和加权平均数的公式计算 例题：（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知一组数据1，7，10，8，x，6，0，3，若，则x的值应等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 巩固训练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·北京密云·期中）如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 题型四 求众数 中位数 ⭐技巧积累与运用 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（   ） 时间/小时 人数 A．， B．， C．， D．， 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）某高校建设的中华优秀传统文化传承基地围绕民族民间音乐、民族民间美术、民族民间舞蹈、戏剧、戏曲、曲艺、传统手工技艺等传统文化项目，李教授了解班上7名学生最喜欢的传统文化项目的个数分别如下：3，5，4，7，5，6，5，则这组数据的众数和中位数分别是 和 ． 题型五 运用平均数 加权平均数 众数 中位数做决策 ⭐技巧积累与运用 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势. 区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际. 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）我市永逸百货某品牌女装销售专柜对一月来的销售情况进行了统计，销售情况如下表所示： 颜色 黄色 紫色 白色 蓝色 红色 数量（件） 120 180 200 80 450 经理决定下月进女装时多进一些红色的，可用来解释这一决定的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某公司全体职工的月工资统计如下表： 月工资（元） 人数（人） 对于表格数据，公司的普通职工最关注的统计量是（   ） A．中位数和众数 B．平均数和众数 C．平均数和中位数 D．平均数和方差 2．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标 是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）． 题型六 求方差 ⭐技巧积累与运用 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知数据，，，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是（    ） A．4 B．5 C．9 D．16 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）一组数据：，，，，，它的平均数是，则这组数据的方差是 ． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）杨洋同学分析了他所在城市去年11月最后5天最高气温的平均值为，方差为2.6，并记录了该市今年11月份最后5天每天的最高气温（）分别为15、17、14、13、16，请你计算该市今年11月份最后5天每天最高气温的方差，并比较去年和今年哪一年11月最后5天的最高气温相对比较稳定？ 题型七 运用方差做决策 ⭐技巧积累与运用 方差越小 数据越稳定 例题：（24-25九年级上·云南昆明·期中）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示；今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（   ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 2.1 1.8 2 1.9 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 巩固训练 1．（2024·四川眉山·二模）学校准备从初三年级的四个班中选出一组代表参加全市的数学知识大赛，各班平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示： 1班 2班 3班 4班 7 8 8 6 1 1 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应该选（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）宁城有机苹果园引进了甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树．为了了解每种苹果树的产量情况，从每个品种中随机抽取棵进行采摘，经统计每种苹果树棵产量的平均数和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 若从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种为 ． 一、单选题 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．一组数据，，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是 B．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 D．某校有名学生，随机抽取名学生进行体重调查，样本容量为名学生 2．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（河北省邢台市多校联考2024-2025学年上学期学业水平测试九年级数学（冀教版）（12月））某中学举办“古诗词大会”主题比赛，下表是该校四支队伍参赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，可知2号队伍的成绩最好且发挥最稳定，则，的值可能是（   ） 队伍 1号队伍 2号队伍 3号队伍 4号队伍 平均数 95 94 94 方差 1.8 0.5 1.8 A．93，0.5 B．95，0.4 C．93，1.9 D．95，1.9 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的中位数为 ． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如表：若对演讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5、3、2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是 ． 演讲内容 演讲能力 演讲效果 分数 90 80 85 8．（河北省邢台市多校联考2024-2025学年上学期学业水平测试九年级数学（冀教版）（12月））如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数为 h． 9．（24-25八年级上·河北张家口·期中）嘉嘉在计算一组数据的方差时，列出的算式为：，请分析算式中的信息，判断这组数据的众数为 ． 10．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若九年级五名男生的体重（单位：kg）分别为50，53，52，55，55，则这五位男生体重的中位数、众数、平均数的和是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东泰安·期中）某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 (1)甲组成绩的众数______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； (2)求乙组的平均成绩； (3)这40个学生成绩的中位数是______． (4)经计算甲组成绩的方差为，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）学校记者站要招聘名小主持人，考查形象、知识面、表达能力项素质，按形象占，知识面占，表达能力占计算加权平均数作为最后评定的总成绩．甲、乙两位同学的各项成绩如下表（单位：分） 形象 知识面 表达能力 甲 乙 (1)计算甲同学的总成绩； (2)若乙同学要在总成绩上超过甲同学，则他的表达能力成绩应超过多少分？ 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某种零件的标准直径为，从甲、乙两台机床加工的这种零件中各抽取件， 对其直径进行检测，结果如下（单位：）： 甲机床：，，，，； 乙机床：，，，，； (1)分别求这两个样本的方差； (2)估计哪一台机床的产品质量比较稳定． 14．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了下列统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 初中部 85 85 70 高中部 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： (1)______，______； (2)求高中部这5人决赛成绩的平均数的值； (3)分析上述数据，说明哪个代表队的成绩比较稳定？ 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空：甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数据的集中趋势和离散程度 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 目录 题型一 求一组数据的平均数 1 题型二 求加权平均数 2 题型三 由平均数或加权平均数求未知数据 4 题型四 求众数 中位数 5 题型五 运用平均数 加权平均数 众数 中位数做决策 6 题型六 求方差 8 题型七 运用方差做决策 10 ☛第二层 能力提升练 题型一 求一组数据的平均数 ⭐技巧积累与运用 一般地，如果有n个数，那么=叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”. 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如图所示，则这7次成绩的平均数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求平均数，根据折线图，确定7次成绩，再根据平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：； 故选：C． 巩固训练 1．（2024·贵州毕节·模拟预测）某校开展“文明伴成长”画展，参展的彩铅、水墨、水彩和速写四个类别的作品数分别为59，53，59，61．这组数据的平均数为（    ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【分析】根据算术平均数的定义解答即可． 本题主要考查了求一组数据的平均数，把这四个数相加后除以4即可得到答案 【详解】解：根据题意，得， 故选B． 2．（22-23七年级下·西藏·开学考试）西藏百万农奴解放纪念日，学校举行歌咏比赛，五位评委给六年级一班打分如下：9.5分，9.4分，9.6分，8.9分，9.3分．去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算平均分，该班最终得分是 分． 【答案】9.5 【分析】本题考查的是平均数的求法，熟记公式是解决本题的关键．解答本题运用求平均数公式：即可求解． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分后，剩下的数据为：9.4，9.5，9.6， 故剩下的数据的平均数为：（分）， 去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是9.5分， 故答案为：9.5． 题型二 求加权平均数 ⭐技巧积累与运用 （1）一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. （2）加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） （3）“权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 例题：（24-25八年级上·山东烟台·期中）某中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中健康知识考试成绩占20%，课外体育活动情况占30%，体育技能考试成绩占50%，小明的这三项成绩（百分制）依次为95、90、92，则小明这学期的体育成绩为（   ） A．90 B．91 C．92 D．95 【答案】C 【分析】本题考查加权平均数．根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小明这学期的体育成绩． 【详解】解：由题意可得， 小明这学期的体育成绩为：（分）， 故选：C． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（   ） A．16元 B．17元 C．18元 D．19元 【答案】B 【分析】本题主要考查了求加权平均数，用对应盒饭的价格乘以其销售占比再求和即可得到答案． 【详解】解：元， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 ． 【答案】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 题型三 由平均数或加权平均数求未知数据 ⭐技巧积累与运用 运用平均数和加权平均数的公式计算 例题：（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知一组数据1，7，10，8，x，6，0，3，若，则x的值应等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平均数．先根据已知条件和算术平均数的定义列出式子，解出得数即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ∴， 解得：． 故选：B． 巩固训练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 2．（22-23八年级下·北京密云·期中）如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力． 根据加权平均数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意和图表可得， 解得： 故答案为：． 题型四 求众数 中位数 ⭐技巧积累与运用 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 例题：（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位线的定义，求平均数，熟练掌握定义是解题的关键．将一组数据从小到大进行排序，中位数是指排在中间位置的数；众数是指出现次数最多的数，先根据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等得出，进而根据平均数的定义，即可求解． 【详解】解：∵3，5，9，10，12各有一个数， ∴当x为这些数中任意一个时，这组数据的众数就是那个数， 又3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等， ， 这组数据的平均数是； 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（   ） 时间/小时 人数 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查中位数、众数，解题的关键是掌握：一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数，一组数据中，众数可能不止一个；将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此解答即可． 【详解】解：抽查学生的人数为：（人）， ∵这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次， ∴众数是小时， ∵将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为， ∴中位数是小时． 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）某高校建设的中华优秀传统文化传承基地围绕民族民间音乐、民族民间美术、民族民间舞蹈、戏剧、戏曲、曲艺、传统手工技艺等传统文化项目，李教授了解班上7名学生最喜欢的传统文化项目的个数分别如下：3，5，4，7，5，6，5，则这组数据的众数和中位数分别是 和 ． 【答案】 5 5 【分析】本题考查了中位数与众数的概念，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：数据3，5，4，7，5，6，5中出现的次数最多的是5，因而众数是5 7个数据从小到大排列后为3，4，5，5，5， 6，7，处于中间位置的是第4位，是5，因而中位数是5． 故答案为：5，5． 题型五 运用平均数 加权平均数 众数 中位数做决策 ⭐技巧积累与运用 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势. 区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际. 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）我市永逸百货某品牌女装销售专柜对一月来的销售情况进行了统计，销售情况如下表所示： 颜色 黄色 紫色 白色 蓝色 红色 数量（件） 120 180 200 80 450 经理决定下月进女装时多进一些红色的，可用来解释这一决定的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色女装的人数最多，即众数． 【详解】解：决定下月进女装时多进一些红色的，主要考虑的是各色女装的销售的数量，而红色上月销售量最大．由于众数是数据中出现次数最多的数，故考虑的是各色女装的销售数量的众数． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）某公司全体职工的月工资统计如下表： 月工资（元） 人数（人） 对于表格数据，公司的普通职工最关注的统计量是（   ） A．中位数和众数 B．平均数和众数 C．平均数和中位数 D．平均数和方差 【答案】A 【分析】本题考查了统计量的选择的知识，根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项，解题的关键是了解有关统计量的意义． 【详解】解：∵数据的极差较大， ∴平均数不能反映数据的集中趋势， ∴普通员工最关注的数据是中位数和众数， 故选：． 2．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）名学生的鞋号由小到大是： ， 这组数据的平均数、中位数和众数中，指标 是鞋厂最感兴趣的（填“平均数”或“中位数”或“众数”）． 【答案】众数 【分析】本题考查了众数，众数是数据中出现最多的数，即代表销售量最多的鞋号，据此即可求解，掌握众数的意义是解题的关键． 【详解】解：这组数据的平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是众数， 故答案为：众数． 题型六 求方差 ⭐技巧积累与运用 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知数据，，，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是（    ） A．4 B．5 C．9 D．16 【答案】D 【分析】 本题考查方差的性质．先设这组数据的平均数为，则另一组新数据的平均数为，方差为，代入公式进行推导可求出答案． 【详解】解：设这组数据的平均数为，则另一组新数据的平均数为， ∵， ∴ = = ， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）一组数据：，，，，，它的平均数是，则这组数据的方差是 ． 【答案】 【分析】本题考查方差的计算，先利用平均数的计算公式得到，解得，然后根据方差公式计算这组数据的方差即可．解题的关键是掌握：一般地，设个数据，，，…，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数． 【详解】解：∵，，，，，的平均数是， ∴， 解得：， 数据为：，，，，， ∴， ∴这组数据的方差是． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）杨洋同学分析了他所在城市去年11月最后5天最高气温的平均值为，方差为2.6，并记录了该市今年11月份最后5天每天的最高气温（）分别为15、17、14、13、16，请你计算该市今年11月份最后5天每天最高气温的方差，并比较去年和今年哪一年11月最后5天的最高气温相对比较稳定？ 【答案】2，今年11月最后5天的最高气温相对比较稳定 【分析】本题考查求方程，利用方差判断稳定性，先根据方差的计算公式求出方差，再比较两个方差的大小即可得出结论． 【详解】解：，， 因为， 所以今年11月最后5天的最高气温相对比较稳定． 题型七 运用方差做决策 ⭐技巧积累与运用 方差越小 数据越稳定 例题：（24-25九年级上·云南昆明·期中）去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示；今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（   ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 2.1 1.8 2 1.9 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题主要考查方差，先比较平均数得到甲品种和乙品种产量较好，然后比较方差得到乙品种的状态稳定，据此求解即可． 【详解】解：因为甲品种、乙品种的平均数比丙品种、丁品种大，而乙组的方差比甲组的小， 所以乙组的产量比较稳定，所以乙组的产量既高又稳定， 故选：B． 巩固训练 1．（2024·四川眉山·二模）学校准备从初三年级的四个班中选出一组代表参加全市的数学知识大赛，各班平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示： 1班 2班 3班 4班 7 8 8 6 1 1 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应该选（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】B 【分析】本题考查利用平均数和方差作决策，根据平均数越大，方差越小，成绩越好越稳定，进行判断即可． 【详解】解：观察可知，2班，3班平均数最高，但2班方差最小， 故应选2班去参赛； 故选B． 2．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）宁城有机苹果园引进了甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树．为了了解每种苹果树的产量情况，从每个品种中随机抽取棵进行采摘，经统计每种苹果树棵产量的平均数和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 若从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种为 ． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先比较平均数得到甲组和乙组的产量较好，然后比较方差得到乙品种既高产又稳定． 【详解】解：因为丙、丁的平均数比甲、乙的平均数小， 而乙的方差比甲的小， 所以乙的产量既高产又稳定， 所以产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是乙； 故答案为：乙． 一、单选题 1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．一组数据，，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是 B．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 C．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 D．某校有名学生，随机抽取名学生进行体重调查，样本容量为名学生 【答案】A 【分析】此题考查了普查和抽样调查、样本的容量，事件的分类、中位数，根据普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义分别进行判断即可，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】A. 一组数据，，，，，，，的众数是4，则， 从小到大排列为：，，，，，，，这组数据的中位数是，故该选项正确，符合题意； B. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故该选项不正确，不符合题意； C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意； D. 某校有名学生，随机抽取名学生进行体重调查，样本容量为，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 3．（河北省邢台市多校联考2024-2025学年上学期学业水平测试九年级数学（冀教版）（12月））某中学举办“古诗词大会”主题比赛，下表是该校四支队伍参赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，可知2号队伍的成绩最好且发挥最稳定，则，的值可能是（   ） 队伍 1号队伍 2号队伍 3号队伍 4号队伍 平均数 95 94 94 方差 1.8 0.5 1.8 A．93，0.5 B．95，0.4 C．93，1.9 D．95，1.9 【答案】B 【分析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差、平均数的意义．根据平均数和方差的意义求解可得． 【详解】解：成绩的平均数越大代表成绩好，方差越小说明成绩越稳定， ，． 故选：B． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 根据方差越小，成绩越稳定，由此判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的是丁． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知一组数据1，2，3，4，5的平均数是，方差是，另一组数据2，3，4，5，6的平均数是，方差是，则下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了方差和算术平均数，熟练掌握方差和算术平均数计算公式是解题关键．分别计算出平均数和方差即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ，． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）为了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的中位数为 ． 【答案】小时 【分析】本题主要考查中位数、频数分布直方图，解题的关键是掌握中位数的定义．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而这2个数分别为7小时、8小时， 所以所调查学生睡眠时间的中位数为（小时）， 故答案为：小时． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某次演讲比赛中，小东同学在演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩（百分制）如表：若对演讲内容、演讲能力、演讲效果分别赋权5、3、2，则小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是 ． 演讲内容 演讲能力 演讲效果 分数 90 80 85 【答案】86 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．利用加权平均数的计算方法解题即可． 【详解】解：（分） ∴小东同学此次演讲比赛的平均成绩（百分制）是86分． 故答案为：． 8．（河北省邢台市多校联考2024-2025学年上学期学业水平测试九年级数学（冀教版）（12月））如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数为 h． 【答案】8 【分析】本题考查了众数的概念：众数是一组数据中出现次数最多的数．据此解答即可． 【详解】解：根据众数的定义可知，一组数据中出现次数最多的数是众数，从统计图可知，出现次数最多的是8时，即众数是8； 故答案为：8． 9．（24-25八年级上·河北张家口·期中）嘉嘉在计算一组数据的方差时，列出的算式为：，请分析算式中的信息，判断这组数据的众数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方差和众数，由计算方差的算式得出这组数据是解答关键． 由计算方差的算式得出这组数据为，再利用众数的定义求解． 【详解】解：根据题意得 ， 所以这组数据是：， 所以这组数据的众数为是：． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若九年级五名男生的体重（单位：kg）分别为50，53，52，55，55，则这五位男生体重的中位数、众数、平均数的和是 ． 【答案】161 【分析】将这组数据重新排列，根据中位数，众数，平均数的定义，即可求解， 本题考查了中位数，众数，平均数，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：将这组数据重新排列为：50，52，53， 55，55， 中位数为53，众数为55，平均数为， ， 故答案为：161． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东泰安·期中）某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 (1)甲组成绩的众数______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； (2)求乙组的平均成绩； (3)这40个学生成绩的中位数是______． (4)经计算甲组成绩的方差为，请你求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】(1) (2)分 (3)8分 (4)乙组的方差为，乙组的成绩比较整齐 【分析】本题考查条形统计图和统计表、众数、中位数、平均数以及方差，从统计图中获取有用数据是解答的关键． （1）根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲、乙两组的众数即可解答； （2）根据平均数的求解方法求解即可； （3）将40个数据从小到大排列，第20个和21个数据的平均数即为中位数； （4）先计算出乙的方差，根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可． 【详解】（1）解：根据统计图和统计表数据可知，甲组成绩中得分为8分的人数最多，乙成绩中得分为8分的人数最多， 甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分， ∴甲组成绩的众数乙组成绩的众数， 故答案为：； （2）解：乙组的平均成绩为（分）； （3）解：将甲乙两组成绩的40个数据从小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人， ∴第20个和21个数据都是8分， ∴这40个学生成绩的中位数是（分）； （4）解：乙组的方程为 ∵甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，， ∴乙组的成绩比较整齐． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）学校记者站要招聘名小主持人，考查形象、知识面、表达能力项素质，按形象占，知识面占，表达能力占计算加权平均数作为最后评定的总成绩．甲、乙两位同学的各项成绩如下表（单位：分） 形象 知识面 表达能力 甲 乙 (1)计算甲同学的总成绩； (2)若乙同学要在总成绩上超过甲同学，则他的表达能力成绩应超过多少分？ 【答案】(1)甲同学的总成绩分； (2)他的表达能力成绩应超过分． 【分析】（）按照各项目所占比，利用加权平均数求出甲同学的总成绩； （）利用题中乙同学要在总成绩上超过甲同学，根据加权平均数列出不等式，然后求解即可； 本题考查了加权平均数，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：（分）， 答：甲同学的总成绩分； （2）解：， 解得：， 答：他的表达能力成绩应超过分． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某种零件的标准直径为，从甲、乙两台机床加工的这种零件中各抽取件， 对其直径进行检测，结果如下（单位：）： 甲机床：，，，，； 乙机床：，，，，； (1)分别求这两个样本的方差； (2)估计哪一台机床的产品质量比较稳定． 【答案】(1)甲机床的方差为，乙机床的方差为 (2)乙机床的产品质量比较稳定 【分析】（）先求出甲、乙机床的平均数，然后根据方差公式即可求解； （）比较方差即可； 本题考查了平均数和方差，解题的关键是正确理解方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，稳定性越好． 【详解】（1）解：根据平均数的计算公式可得， 甲机床的平均数为：， 则甲机床的方差为： 根据平均数的计算公式可得， 乙机床的平均数为：， 则乙机床的方差为： （2）解：由（）得，甲机床的方差为，乙机床的方差为 ∵， ∴乙机床的产品质量比较稳定． 14．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了下列统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 初中部 85 85 70 高中部 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： (1)______，______； (2)求高中部这5人决赛成绩的平均数的值； (3)分析上述数据，说明哪个代表队的成绩比较稳定？ 【答案】(1) (2)85 (3)初中部 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解； （2）拿5人的总成绩除以个数即可求解； （3）通过比较方差确定． 【详解】（1）解：将高中代表队的成绩由低到高排列70，75，80，100，100， ∴中位数为80， ∵初中代表队85分的有2个选手，出现次数最多，所以众数是85． 故答案为：； （2）解：， ∴高中部这5人决赛成绩的平均数的值为85； （3）解：∵初中部代表队的方差70小于高中部代表队的方差160， ∴初中部代表队的成绩比较稳定． 【点睛】本题考查了方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好也考查了平均数、中位数和众数． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 (1)根据表格中的数据填空：甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； (2)求甲、乙测试成绩的方差； (3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】(1)8，10 (2)； (3)推荐甲参加全省比赛更合适，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平均数、中位数、众数平以及和方差，准确方差的定义是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：甲成绩从小到大排序为：6，7，7，9，9，10， 甲成绩的中位数是（环， 乙成绩的众数是10环． 故答案为：8，10； （2）解：甲的平均成绩是（环， 乙的平均成绩是（环， ； ； （3）解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$