专题04 垂径定理、弧长及扇形的面积-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题04 垂径定理、弧长及扇形的面积 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 目录 题型一 利用垂径定理求值 1 题型二 垂径定理的推论 4 题型三 求弧长 6 题型四 求扇形的面积 8 题型五 求弓形的面积 10 题型六 求不规则图形的面积 13 题型七 圆锥的侧面积 17 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 利用垂径定理求值 ⭐技巧积累与运用 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 例题：（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 题型二 垂径定理的推论 ⭐技巧积累与运用 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 例题：（2024·上海长宁·二模）如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·天津和平·开学考试）如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    题型三 求弧长 ⭐技巧积累与运用 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则弧的长为 ． 题型四 求扇形的面积 ⭐技巧积累与运用 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 例题：（2024·云南·模拟预测）如图，是的切线，连接交于点C，若的半径为2，，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 题型五 求弓形的面积 ⭐技巧积累与运用 弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积 例题：（2023·山西临汾·二模）如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    题型六 求不规则图形的面积 ⭐技巧积累与运用 将不规则的图形分部计算或转化为规则图形计算面积 例题：（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 题型七 圆锥的侧面积 ⭐技巧积累与运用 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积， 圆锥的全面积. 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级下·全国·期末）小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期中）用一个圆心角为，半径为15的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为的扇形，则该圆锥底面半径等于（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，弦，点在弦上移动，连接，过点作交于点，那么的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东临沂·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，该门洞的半径为 ． 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 则该门洞的半径为． 7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，若，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 9．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，是的弦，C是上一动点，连接，，若的半径为5，，则三角形面积最大值为 ． 三、解答题 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 12．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点、、共线，与、都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点C作的垂线，垂足为点E，连接． (1)求证：； (2)连结，若，，，求、、围成的阴影部分的面积． 15．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 垂径定理、弧长及扇形的面积 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（7大题型） 目录 题型一 利用垂径定理求值 1 题型二 垂径定理的推论 4 题型三 求弧长 6 题型四 求扇形的面积 8 题型五 求弓形的面积 10 题型六 求不规则图形的面积 13 题型七 圆锥的侧面积 17 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 利用垂径定理求值 ⭐技巧积累与运用 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 例题：（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂直定理是解题的关键． 根据得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（）． 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得从，而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵，为的直径， ，， 点是的中点， ， ， ， 解得： 的半径长是， 故选C． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理得出，设为x，则，根据勾股定理得出方程，求出x的值，连接，求出且，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴； 连接， ∵， ∴且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． 题型二 垂径定理的推论 ⭐技巧积累与运用 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 例题：（2024·上海长宁·二模）如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·天津和平·开学考试）如图，为的直径，C，D为上的两点，且为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．根据垂径定理的推论，即可求得：，由，即可求得的度数，又由，即可求得的度数 【详解】解：∵为的直径，C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 故答案为：4． 题型三 求弧长 ⭐技巧积累与运用 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查弧长的计算和圆周角的性质，掌握弧长的计算公式（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为）是解题关键． 根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理可知：， ， ， ∴弧的长为， 故选：A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长，利用弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：的长， 故选：． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则弧的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握弧长的计算公式是正确解答的关键，求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径是解决问题的前提．连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，则， ，，， ，， ， △为等边三角形， ， 的长为：． 故答案为：． 题型四 求扇形的面积 ⭐技巧积累与运用 半径为R的圆中 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 例题：（2024·云南·模拟预测）如图，是的切线，连接交于点C，若的半径为2，，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，三角形内角和定理，扇形面积是解题的关键． 由是的切线，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，扇形面积和三角形面积，根据圆周角定理得​，再由“阴影部分的面积扇形的面积的面积”即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，扇形面积公式和三角形面积公式． 【详解】解：∵， ∴， ∴阴影部分的面积扇形的面积的面积 ， 故选：． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，正五边形边长为6，以A为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正五边形的每个内角为， ∵正五边形的边长为6， ， 故答案为：． 题型五 求弓形的面积 ⭐技巧积累与运用 弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积 例题：（2023·山西临汾·二模）如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点F，求出，由圆周角定理得，得，由三角形外角的性质得，由垂径定理得，根据勾股定理得，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴∠， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·江苏盐城·三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【分析】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 题型六 求不规则图形的面积 ⭐技巧积累与运用 将不规则的图形分部计算或转化为规则图形计算面积 例题：（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案． 【详解】解：连接，过点B作，如图， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴ 同理可证，， ∴， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A 巩固训练 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，，，．以A为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 在中，根据直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∴, ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接，可推出是等边三角形、是等边三角形，进而得；根据，可得图中阴影部分的面积，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，， ∴的半径为，且， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 题型七 圆锥的侧面积 ⭐技巧积累与运用 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积， 圆锥的全面积. 例题：（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的计算方法计算方法求得侧面积． 【详解】解：∵圆锥的母线长是 ， ∴底面周长是 ∴圆锥体的侧面积是： 故选C． 巩固训练 1．（24-25九年级下·全国·期末）小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理；设圆锥底面圆的半径是r，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】∵扇形的弧长是， ∴圆锥的底面周长是， 设圆锥底面圆的半径是， ∴，解得： ∴圆锥的高是 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期中）用一个圆心角为，半径为15的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 故答案为：5． 一、单选题 1．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为的扇形，则该圆锥底面半径等于（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查圆锥的底面半径问题，熟练掌握弧长公式及圆锥的特征是解题的关键；由题意易得圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，进而问题可求解 【详解】解：由题意得：扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键．根据题意，连接OC，通过垂径定理及勾股定理求半径即可． 【详解】如下图，连接OC， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，为的中点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：，， ， 又为的中点， ， ， ， ， ， 扇形的面积， 故选：A． 5．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，弦，点在弦上移动，连接，过点作交于点，那么的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理，连接，可得，可知当取最小值，即时，的值最大，此时点和点重合，再根据垂径定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当取最小值，即时，的值最大，此时点和点重合， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东临沂·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，该门洞的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 则该门洞的半径为． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵直径，是的弦，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8． 8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长．本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是牢记有关的公式，难度不大． 【详解】解：∵底面半径为2， 则底面周长， ∵母线长为5， ∴圆锥的侧面积． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．连接，首先证明是等边三角形，得出，，再证明，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，是的弦，C是上一动点，连接，，若的半径为5，，则三角形面积最大值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．如图，过点O作的垂线，垂足为D，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，在中利用勾股定理得出的长，进而得出点C到距离的最大值为8，代入数据即可求得三角形面积最大值． 【详解】解：如图，过点O作的垂线，垂足为D，延长交于点，连接，，， ，， ， 在中，， ， 点C到距离的最大值为8， 面积的最大值为． 故答案为：32． 三、解答题 11．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：，是半径，， ，， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 12．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点、、共线，与、都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 【答案】制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．先运用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，将两个圆锥的侧面积相减即可得到灯罩的侧面积，再运用圆的面积公式求出灯罩上底面的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布. 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论； （2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形内接于，为直径，过点C作的垂线，垂足为点E，连接． (1)求证：； (2)连结，若，，，求、、围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解本题的关键． （1）先判断出，然后用等角的余角相等即可证明结论； （2）求出和，，再利用面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ． 15．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ，， 即， ． （2）解：连接，如图所示： ，， ． 由勾股定理，得． 同理可得． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$