专题03 点与圆及直线与圆的位置关系-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题03 点与圆及直线与圆的位置关系 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 判断点与圆的位置关系 1 题型二 求点到圆上点的距离的最值 3 题型三 判断直线与圆的位置关系 6 题型四 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 8 题型五 证明某直线是圆的切线 11 题型六 切线的性质定理 15 题型七 切线长定理 18 题型八 切线的性质和判定的综合应用 20 ☛第二层 能力提升练 题型一 判断点与圆的位置关系 ⭐技巧积累与运用 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. 例题：（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ． 题型二 求点到圆上点的距离的最值 ⭐技巧积累与运用 3点共线时最小值 例题：（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，D 是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是直线上的一动点，将沿所在直线翻折，得到，则长的最小值是 ． 题型三 判断直线与圆的位置关系 ⭐技巧积累与运用 1． 直线和圆的三种位置关系： 2． (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 3． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 4． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 例题：（24-25九年级上·全国·期末）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是 ． 题型四 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 ⭐技巧积累与运用 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　 例题：（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 题型五 证明某直线是圆的切线 ⭐技巧积累与运用 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 例题：（23-24九年级上·吉林·期末）如图所示，已知是的直径，过BC的中点D，且． 求证：是的切线． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 2．（24-25九年级上·全国·期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 题型六 切线的性质定理 ⭐技巧积累与运用 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 例题：（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，是的内切圆，，为三个切点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 题型七 切线长定理 ⭐技巧积累与运用 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 例题：（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，点是外任意一点，、分别是的切线，、是切点．设与交于点．则点是的（   ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 巩固训练 1.（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．（22-23九年级下·山东青岛·期末）如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于 ． 题型八 切线的性质和判定的综合应用 ⭐技巧积累与运用 由切线的性质得条件或由切线的判定的结论 例题：（24-25九年级上·全国·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（　　）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 点与圆及直线与圆的位置关系 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 判断点与圆的位置关系 1 题型二 求点到圆上点的距离的最值 3 题型三 判断直线与圆的位置关系 6 题型四 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 8 题型五 证明某直线是圆的切线 11 题型六 切线的性质定理 15 题型七 切线长定理 18 题型八 切线的性质和判定的综合应用 20 ☛第二层 能力提升练 题型一 判断点与圆的位置关系 ⭐技巧积累与运用 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. 例题：（24-25九年级上·宁夏银川·期末）已知圆与点在同一平面内，如果圆的半径为5，线段的长为4，则点（   ） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．在圆上或在圆内 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵圆的半径为5，线段的长为4，且， ∴点在圆内， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点A，B，C中只有1个点在圆内，， ∴在圆内的点为点B， ∴， 故选：B． 2．（22-23九年级上·北京西城·期末）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 求点到圆上点的距离的最值 ⭐技巧积累与运用 3点共线时最小值 例题：（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，D 是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最值问题．根据，推出，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，，根据，求出最小值即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接，，则： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故选A． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广西防城港·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，首先证明，根据条件可知，求出⊙D上到点E的最大距离与最小距离即可解决问题．解题的关键是发现，求出点P到点A的最大距离即可解决问题． 【详解】解： ， ， ， ， 如图连接交于点，延长交于，此时EP′最大，最小 ， ， ，， 的最大值为6，最小值为4， ． 故选：． 2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是直线上的一动点，将沿所在直线翻折，得到，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考考了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，连接，根据折叠的性质可知，可知点在以为圆心，为半径的圆上，当点在线段上时，的长取最小值，在中利用勾股定理可求出的长度，用即可求出结论． 【详解】解：如图，连接， ，点E是的中点， ， ， ， ∵将沿所在直线翻折，得到， ， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当在线段上时，最短， 长的最小值是． 故答案为：． 题型三 判断直线与圆的位置关系 ⭐技巧积累与运用 1． 直线和圆的三种位置关系： 2． (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 3． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 4． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 例题：（24-25九年级上·全国·期末）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，由的直径为，得出圆的半径是，圆心O到直线l的距离为，即，得出，即可得出直线l与的位置关系是相切． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵圆心O到直线l的距离为， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：C． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值；若大圆的弦与小圆有公共点，即与小圆相切或相交，再结合上面分析即可解答，掌握直线和圆的位置关系与的半径为和圆心到直线的距离为之间的关系是解题的关键． 【详解】解：当是大圆直径时的值最大，最大值为， 当与小圆相切时最小， 小圆的半径为，大圆半径为， ， 大圆的弦与小圆有公共点，即相切或相交， ． 故答案：． 题型四 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 ⭐技巧积累与运用 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　 例题：（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，圆与直线的位置关系； 过C作于D，利用勾股定理求出，根据三角形的面积求出，然后结合圆与直线的位置关系得出答案． 【详解】解：过C作于D， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与直线相交， ∴半径r的值或取值范围为， 故选：C． 巩固训练 1．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京·期中）已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为 ； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 题型五 证明某直线是圆的切线 ⭐技巧积累与运用 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 例题：（23-24九年级上·吉林·期末）如图所示，已知是的直径，过BC的中点D，且． 求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了切线的判定，熟练掌握切线的判定是解题的关键．连接，只要证得，即可得到是的切线． 【详解】证明：连接， ∵点O、点D分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论； （2）先利用勾股定理计算出，再证明得到，所以，设的半径为，在中利用勾股定理得到，则可方程求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， ∵平分交于点，， ， 与相切； （2）解：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质等等，解题的关键是通过过圆心作直线的垂线，证切线，利用勾股定理列方程求解． 2．（24-25九年级上·全国·期末）已知是的直径，点是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、同弧所对的圆周角相等、等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理、垂径定理、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，由等边对等角得到，利用圆周角定理得到，利用三角形内角和定理，求得，即可证明直线是的切线； （2）根据垂径定理得到，根据含度角的直角三角形的性质，得到，根据勾股定理计算，由，得出答案即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图，连接， ∵是的直径，，垂足为，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六 切线的性质定理 ⭐技巧积累与运用 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 例题：（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，是的内切圆，，为三个切点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．根据切线的性质可得出，根据圆周角定理可得出，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵是的内切圆为三个切点， ∴，，点E在上， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴设， 若， ∴， 则，选项A正确，不符合题意； 若，又∵， ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 若切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意； 连接，假设成立， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，即， ∴切于点， 而题设并没有是的切线这一条件， ∴假设不成立，选项C不正确，符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，P是圆O的直径上一点，与圆O相切于点M，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径；连接，根据切线性质得，再根据直角三角形的锐角互余得，根据圆周角定理进而求得，然后根据等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：连接， 与圆O相切于点M， ； ， ； ， ， ， ； ， ； 故答案为：． 题型七 切线长定理 ⭐技巧积累与运用 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 例题：（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，点是外任意一点，、分别是的切线，、是切点．设与交于点．则点是的（   ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内心的定义；连接、、、，证明点是的角平分线交点，即可求解． 【详解】如解图，连接、、、， 、分别是的切线， 是和的平分线，． ． ， ． ． ． ， ． 又是的平分线， 是的内心． 故选：C． 巩固训练 1.（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，可知：，进而推出，即：，求解即可． 【详解】解：∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选D． 2．（22-23九年级下·山东青岛·期末）如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于 ． 【答案】/50度 【分析】连接，先利用切线的性质得，再根据圆周角定理得，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：连接，如图所示， 为的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，比连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理． 题型八 切线的性质和判定的综合应用 ⭐技巧积累与运用 由切线的性质得条件或由切线的判定的结论 例题：（24-25九年级上·全国·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形为正方形，利用直角三角形的内切圆的半径的计算公式，求出的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ∵与，，分别相切于点，，， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴， 故选：． 巩固训练 1．（22-23九年级上·北京朝阳·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：，是的两条切线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$