专题02 圆、圆心角、圆周角-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（苏科版）

专题02 圆、圆心角、圆周角 内容早知道 ☛巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 圆的相关概念 1 题型二 圆的周长和面积问题 3 题型三 圆心角概念辨析 5 题型四 利用弦 弧 圆心角的关系求解 7 题型五 利用弦 弧 圆心角的关系证明 10 题型六 圆周角的概念及其定理 13 题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等 15 题型八 直径所对圆周角的有关性质求解 17 题型九 圆内接四边形的相关问题 20 ☛能力提升练 题型一 圆的相关概念 ⭐技巧积累与运用 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫 圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键. 根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误； B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误； D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确； 故选：D． 巩固训练 1． （23-24七年级下·山东菏泽·期末）下列说法中： ①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； ②同角或等角的余角相等； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④过圆内一点作出的最长弦只有一条； ⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形． 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，同角或等角的余角相等，点到直线的距离，正多边形的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①不符合题意； 同角或等角的余角相等，故②符合题意； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故③不符合题意； 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦，故④不符合题意； 所有边的长度都相等，所有角都相等的多边形叫做正多边形，故⑤不符合题意； 即：正确的有②，共1个， 故选：A． 2．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键． 连接，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二 圆的周长和面积问题 ⭐技巧积累与运用 圆的周长，圆的面积 例题：（22-23九年级上·河北保定·期末）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】为了方便求解令正方形的边长为1，那么圆的直径也就是1，可以表示出正方形和圆的面积，利用图形的对称性可以得到太极图黑色和白色部分各占圆的一半，这样就能得出最后结果． 【详解】设正方形边长为1， 正方形面积， 圆的直径为1，则半径为， 圆的面积， 太极图是旋转对称图形，所以黑色和白色部分各占圆面积的一半， 太极图黑色部分面积， 所求概率为． 故选B． 【点睛】本题考查了内切圆的知识，圆和正方形的面积，以及旋转图形的对称性，利用对称性得出黑色部分占太极图的一半是解答本题的关键． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的周长的计算，正确根据人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等列方程是解题的关键． 设每人向后挪动的距离是，则这个人在以为半径的圆周上，根据10人之间的距离与原来8人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等，即可列方程求解． 【详解】解：设每人向后挪动的距离为厘米． 根据题意得：， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【详解】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 题型三 圆心角概念辨析 ⭐技巧积累与运用 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，   直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 2．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 题型四 利用弦 弧 圆心角的关系求解 ⭐技巧积累与运用 弧、弦、圆心角的关系 1、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 例题：（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，满足，若，则长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦之间的关系，取中点可得，据此判断即可． 【详解】解：取中点，连接交于，连接， ∵取中点，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴各个选项中长可能是4， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据垂径定理和点C是弧的中点得从，而得出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r， ∵，为的直径， ，， 点是的中点， ， ， ， 解得： 的半径长是， 故选C． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五 利用弦 弧 圆心角的关系证明 ⭐技巧积累与运用 利用弧、弦、圆心角的关系证明相关结论 例题：（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，是的直径，，，是的弦，． (1)求证：． (2)如果弦的长为，与间的距离是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作，延长交于点，根据题意可得：，，推出，即可证明； （2）根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作，延长交于点， 是的直径，， ，， ，即， ； （2）， ， 与间的距离是，， ， ， ， ． 题型六 圆周角的概念及其定理 ⭐技巧积累与运用 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 1、 顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦. 2、 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、 圆心角定理： 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。 3、 圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦. 4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律: 5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理 例题：（24-25九年级上·云南红河·期中）下列语句中正确的是（   ） A．相等的弧所对的圆周角也相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．圆的对称轴是直径 D．三点确定一个圆 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识，垂径定理和确定圆的条件，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆周角定理，垂径定理，确定圆的条件和圆的对称轴求解判断即可． 【详解】解：A、相等的弧所对的圆周角也相等，所以A选项正确； B、平分弦（非直径）的直径一定垂直于该弦，所以B选项错误； C、圆的对称轴是直径所在的直线，所以C选项错误； D、不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以D选项错误． 故选：A． 巩固训练 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 2．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等 ⭐技巧积累与运用 圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦. 圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律: 解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理 例题：（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图， 点A， B， C均在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识．先利用等边对等角求出，由三角形内角和定理求出，最后由圆周角定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴, 故选：A 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂线的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理可得，由可得，再根据即可得出答案． 【详解】解：根据圆周角定理可得： ， ， ， ， 故选：． 2．（2025·甘肃·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上一点，若C是的中点，连接，，则 ． 【答案】/10度 【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，直角三角形两锐角互余等知识． 如图所示，连接，首先由直径得到，然后求出，根据圆周角定理得到，进而求出，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵C是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 题型八 直径所对圆周角的有关性质求解 ⭐技巧积累与运用 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图为直径，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据，得出，再结合为直径，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， 则， 故选：C 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的直径，C、D是上的两点，，若∠AOD=，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆周角定理可得，然后利用得，根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答． 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵∠AOD= ∴ ∵ ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了半圆或直径所对圆周角为直角，勾股定理，根据，可得是直径，根据点为的中点，可得，根据勾股定理可得，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 题型九 圆内接四边形的相关问题 ⭐技巧积累与运用 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆． 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． 例题：（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据等边三角形的性质、圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解∶是等边三角形， ， 是的平分线， ， ， 四边形内接于， ， ， 故选∶C． 巩固训练 1．（2021九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，．若，则的度数为           【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形，等边对等角，根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆内接四边形，根据，结合圆周角定理求出，再根据圆内接四边形对角互补得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的弦，交于点C， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．根据三角形外角的性质得出，根据圆内接四边形的性质得出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵为的外角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上两点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：平分， ， 是的直径，， ，， 则， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合题意证是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得，在中三角形内角和定理求出，得出． 【详解】解：连接，如图． ， ， 由题意可知， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∵， ， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点、、在上，，则 °．    【答案】86 【分析】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出是解此题的关键． 直接根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接M，N分别是的中点，连接．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到，推出当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，即可求解； 【详解】解：点，分别是，的中点， ， 当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大， 连接，如图所示： ，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴直径为 ． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型．连接，根据圆的半径都相等即可求出答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是⊙的直径，点C，D都在⊙上，且，，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是本题的关键． 先根据圆周角定理，得，再证明是等边三角形即可． 【详解】解：， ． ， ． 又， 是等边三角形． ． ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，为直径，，点、点均在上，，将点沿直线翻折，翻折后点的对应点为点，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了对称的性质，以及勾股定理的应用，连接，根据由折叠的性质得出或12，进而求得，由勾股定理求得，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接， ∵将点沿直线翻折，， ∴，，点在直线上， ∵为直径，， ∴， 当点在线段上时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴中，， ∴中，， 当点在线段外时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴中，， ∴中，， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形外角的定义等知识．连接，根据，可得，结合，根据等边对等角以及三角形的外角性质求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，中，，以为直径作，交边于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由直径所对的圆周角是直角可得，再根据等腰三角形三线合一即可得到； （）由等腰三角形和圆周角定理可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 13．（24-25九年级下·全国·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）首先根据圆周角定理得到，然后根据含角直角三角形的性质求出直径，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质得到，然后根据点D为的中点得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，弧、弦、角关系，等边对等角和三角形内角和定理等知识，根据题意找出相关的角度关系是解题关键． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结，，．延长，相交于点E． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理． （1）延长交于F，连接，根据直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，由此可得出结论； （2）设的半径为R，则，，证明是的中位线，则，，进而得，，在和中利用勾股定理构造方程，由此解出R即可． 【详解】（1）证明：延长交于F，连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， 即， ∵点C为的中点， ∴根据垂径定理得：， ∴； （2）解：设的半径为R，则，， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的半径为5． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，A是外一点，直线交于C、D两点，E是上的一点（不与C、D重合），连接交于点B，． (1)当点B在线段上，如图1所示，求与之间的关系； (2)当点E在线段上，如图2所示，若，求的度数． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理． （1）连接，则，根据等边对等角得出，，进而求得，得出； （2）连接，则，根据等边对等角得出，，进而根据三角形内角和定理求得即可求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：； 如图，连接，则， ． ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接，则， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆、圆心角、圆周角 内容早知道 ☛巩固提升练（9大题型） 目录 题型一 圆的相关概念 1 题型二 圆的周长和面积问题 3 题型三 圆心角概念辨析 5 题型四 利用弦 弧 圆心角的关系求解 7 题型五 利用弦 弧 圆心角的关系证明 10 题型六 圆周角的概念及其定理 13 题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等 15 题型八 直径所对圆周角的有关性质求解 17 题型九 圆内接四边形的相关问题 20 ☛能力提升练 题型一 圆的相关概念 ⭐技巧积累与运用 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫 圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 例题：（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 巩固训练 1． （23-24七年级下·山东菏泽·期末）下列说法中： ①两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； ②同角或等角的余角相等； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ④过圆内一点作出的最长弦只有一条； ⑤所有边的长度都相等的多边形叫做正多边形． 其中正确的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点，若，那么 ． 题型二 圆的周长和面积问题 ⭐技巧积累与运用 圆的周长，圆的面积 例题：（22-23九年级上·河北保定·期末）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知8人围绕一个半径为80厘米的圆桌就坐，每人离圆桌的距离均为厘米，又加入两人后，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使人都坐下，并且人之间的距离与原来8人之间的距离（即在圆周上相邻两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为厘米，根据题意，可列方程为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 题型三 圆心角概念辨析 ⭐技巧积累与运用 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 2．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 题型四 利用弦 弧 圆心角的关系求解 ⭐技巧积累与运用 弧、弦、圆心角的关系 1、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 例题：（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，满足，若，则长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（   ） A． B．4 C．5 D． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 题型五 利用弦 弧 圆心角的关系证明 ⭐技巧积累与运用 利用弧、弦、圆心角的关系证明相关结论 例题：（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 巩固训练 1．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 2．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，是的直径，，，是的弦，． (1)求证：． (2)如果弦的长为，与间的距离是，求的长． 题型六 圆周角的概念及其定理 ⭐技巧积累与运用 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 1、 顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦. 2、 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、 圆心角定理： 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。 3、 圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦. 4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律: 5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理 例题：（24-25九年级上·云南红河·期中）下列语句中正确的是（   ） A．相等的弧所对的圆周角也相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．圆的对称轴是直径 D．三点确定一个圆 巩固训练 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 题型七 同弧或等弧所对的圆周角相等 ⭐技巧积累与运用 圆周角的特点: (1)角的顶点在圆上; (2)角的两边在圆内的部分是圆的弦. 圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种: 解题规律: 解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理 例题：（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图， 点A， B， C均在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·模拟预测）如图，内接于，是的直径，D是上一点，若C是的中点，连接，，则 ． 题型八 直径所对圆周角的有关性质求解 ⭐技巧积累与运用 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图为直径，，则为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的直径，C、D是上的两点，，若∠AOD=，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点在圆上，，点为的中点，的值为 ． 题型九 圆内接四边形的相关问题 ⭐技巧积累与运用 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆． 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． 例题：（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（　　）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（2021九年级·安徽·专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，．若，则的度数为           一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，是的直径，C，D是上两点，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（   ） A．2 B．4 C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点、、在上，，则 °．    7．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，是⊙O的弦，C是优弧上一动点，连接M，N分别是的中点，连接．若，则的最大值为 ． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 ． 9．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是⊙的直径，点C，D都在⊙上，且，，若，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，为直径，，点、点均在上，，将点沿直线翻折，翻折后点的对应点为点，若，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，是的直径，是的弦，，的延长线相交于点，若，．求和的度数． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，中，，以为直径作，交边于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（24-25九年级下·全国·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，，点D为的中点．    (1)求的半径； (2)求的度数． 14．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结，，．延长，相交于点E． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，A是外一点，直线交于C、D两点，E是上的一点（不与C、D重合），连接交于点B，． (1)当点B在线段上，如图1所示，求与之间的关系； (2)当点E在线段上，如图2所示，若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$