线段计算和角的计算期末专项练- 2024—2025学年人教版数学七年级上册

线段计算和角的计算 一、线段的计算 1．如图，，，且D是线段的中点，求的长． 2．已知线段，延长到点C，使，延长到点D，使得，点M，N分别是，的中点，若，求的长． 3．如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 4．如图，已知线段AB＝4，延长AB到点C，使得AB＝2BC，反向延长AB到点D，使AC＝2AD． （1）求线段CD的长； （2）若Q为AB的中点，P为线段CD上一点，且BP＝BC，求线段PQ的长． 5．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 6．如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 7．（1）如图1，已知线段的长为，点P是线段上的任一点，且C、D分别是、的中点，求线段的长． （2）若点P在线段或线段的延长线上，如图2、3所示，且C、D分别是、的中点，则线段的长还与（1）中所求线段的长相等了吗？请分别就图2和图3的情况进行说明． 8．如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 二、角的计算 9．如图，平分，，已知，求的度数. 10．如图，点是直线上的一点，，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 11．（1）如图，若点A，O，B在同一条直线上，，OD是∠AOC内部的一条射线，，射线OE平分∠AOC．求∠DOE的度数； （2）若点A，O，B不在同一条直线上，射线OC是∠AOB（∠AOB是小于平角的角）内部的一条射线．，，射线OE平分∠AOC．当时，则∠DOE的度数为 ．（用含的代数式表示） 12．如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．    13．已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 14．如图，已知是直角，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 15．如图1，已知∠AOB＝150°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD． (1)在图1中，若∠COE＝32°，求∠BOD的度数； (2)在图1中，设∠COE＝α，∠BOD＝β，请探索α与β之间的数量关系； (3)已知条件不变，当∠COD绕点O逆时针转动到如图2的位置时，（2）中α与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请探索α与β之间的数量关系． 16．如图①，已知，，在的内部，在的内部，，．（本题中所有的角均大于且小于） (1)如图②，从图①中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，则的度数为______； (2)当从图②中的位置绕点逆时针旋转（且）时，求的度数． 参考答案： 1． 解：∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴的长为． 2． 解：如图所示， 点M是的中点，， ， 点N是的中点，， ， ， ， ， 故的长为． 3．(1) (2) （1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 4．（1）9；（2）1或3． （1）∵AB＝4，AB＝2BC， ∴BC＝2， ∴AC＝AB+BC＝6， ∵AC＝2AD， ∴AD＝3， ∴CD＝AC+AD＝6+3＝9； （2）∵Q为AB中点， ∴BQ＝AB＝2， ∵BP＝BC， ∴BP＝1， 当点P在B、C之间时，PQ＝BP+BQ＝2+1＝3； 当点P在A、B之间时，PQ＝BQ﹣BP＝2﹣1＝1． 即PQ的长为1或3． 5．(1)； (2)不会，的长为定值 （1）解：若点P表示的有理数是0， 根据题意可知：， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 若点P表示的有理数是6， ， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 故答案为：；； （2）解：的长不会发生改变； 设点表示的有理数为（且）， 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值． 6． 解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，， 所以． 因为M是的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 7．（1）；（2）相等，理由见解析 解：（1）∵C、D分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）线段CD的长还与（1）中所求线段CD的长相等，理由： ①当点P在线段AB的延长线上时， ∵C、D分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ②当点P在线段的延长线上时， ∵C、D分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上，线段的长还与（1）中所求线段的长相等，均等于． 8．(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)16或8 (3)当时，为定值，定值为6 （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． （1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：∵，， ∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴，即， 解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴， 即， 解得． 即线段的长为16或8； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 9．120°. 设∠AOD=3x，∠BOD=5x求出∠AOB=8x，∠AOC=4x，得出，即可求出答案． 设，则. 所以. 因为平分， 所以. 所以. 因为， 所以. 所以. 10．(1)见解析 (2) （1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 11．（1）40°；（2）2α或6α 解：（1）∵点A、O、B在同一条直线上， ∴∠AOC+∠BOC=180°， ∵∠AOC：∠BOC=8：1， ∴∠BOC=20°，∠AOC=160°． ∵∠COD=2∠COB， ∴∠COD=40°， ∴∠AOD=180°-∠COB-∠COD=120°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠COE=∠AOE=∠AOC=80°， ∴∠DOE=∠COE-∠COD=40°； （2）当OD在∠AOB内部时， ∵∠AOC：∠BOC=8：1，∠BOC=α， ∴∠AOC=8α， ∵∠COD=2∠COB， ∴∠COD=2α， ∴∠AOD=∠AOC-∠COD=6α， ∵OE平分∠AOC， ∴∠COE=∠AOE=∠AOC=4α， ∴∠DOE=∠COE-∠COD=2α； 当OD在∠AOB外部时， ∵∠AOC：∠BOC=8：1，∠BOC=α， ∴∠AOC=8α， ∵∠COD=2∠COB， ∴∠COD=2α， ∴∠AOD=∠AOC+∠COD=10α， ∵OE平分∠AOC， ∴∠COE=∠AOE=∠AOC=4α， ∴∠DOE=∠COE+∠COD=6α， 故答案：2α或6α． 12．．理由见解析 因为，分别是，的平分线， 所以，． 又因为， 所以． 13．或 根据题意作图，分类讨论：当在外部时，可得，则，，由平分，即可求解；当在内部时，，则，由平分，即可求解． 解：第一种情况，如答图①， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴； 第二种情况，如答图②， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的度数是或． 14．(1) (2) （1）根据角平分线的定义得出，根据即可求解； （2）根据已知条件得出，根据即可求解． （1）解：∵是直角，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 15．(1)∠BOD=34° (2) (3)不成立， （1）根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解；根据角平分线的定义求出∠AOD，再根据∠BOD=∠AOB-∠AOD计算即可得解； （2）先表示出∠DOE，然后表示出∠AOD，再根据∠AOB=∠BOD+∠AOD整理即可得解； （3）先表示出∠DOE，然后表示出∠AOD，再根据∠AOB=∠AOD-∠BOD整理即可得解． （1）解：∵∠COE与∠EOD互余， ∴∠DOE=90°-∠COE=90°-32°=58°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2×58°=116°， ∵∠AOB＝150°， ∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-116°=34°； （2）∵∠COE与∠EOD互余， ∴∠DOE=90°-∠COE=90°-α， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2（90°-α）， ∵∠AOB=150°，∠BOD=β， ∴2（90°-α）+β=150°， 整理得，2α-β=30°； （3）∵∠COE与∠EOD互余， ∴∠DOE=90°-∠COE=90°-α， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠DOE=2（90°-α）， ∵∠AOB=150°，∠BOD=β， ∴2（90°-α）-150°=β， 整理得2α+β=30°． 16．(1) (2)的度数为 本题考查了几何图形中角度的计算： （1）与重合时，，，进而求出和，最后根据可得答案； （2）分和两种情况，根据图中角的和差关系求解即可． （1）解：与重合时，，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：； （2）分以下情况讨论：①如答图①，当时， 因为， 所以，， 所以； ②如答图②，当时， 因为， 所以，， 所以． 综上所述，的度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$