专题04 一元一次方程及应用（13基础题型+5提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题04 一元一次方程及应用 方程的定义及方程的解 1. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）下列式子不是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查的是方程的定义，方程是含有未知数的等式．依据方程的定义求解即可． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、是方程，不符合题意； C、是代数式，不是方程，故符合题意； D、是方程，故不符合题意． 故选：C． 2. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入原方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于的解， ∴， 解得：， 故选：A． 3. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中，是方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】方程的解 【分析】根据方程的解，将各选项依次代入计算即可判断． 【详解】解：A、将代入，得：左边，故不是方程的解，不合题意； B、将代入，得：左边，故不是方程的解，不合题意； C、将代入，得：左边，故不是方程的解，不合题意； D、将代入，得：左边，故是方程的解，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是理解方程的解意义，代入验根． 4. （20-21七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】方程的解 【分析】将x=2分别代入方程的左边和右边，判断左右两边是否相等即可． 【详解】A、当x=2时，左边=3×2+6=12，右边=0，左边≠右边，故x=2不是本方程的解； B、当x=2时，左边=3－2×2=－1，右边=0，左边≠右边，故x=2不是本方程的解； C当x=2时，左边=×2=－1，右边=1，左边≠右边，故x=2不是本方程的解； D、当x=2时，左边=，右边=0，左边=右边，故x=2是本方程的解； 故选：D． 【点睛】本题考查了方程的解，也可以将四个选项中的方程分别解出来再判断，正确求解是解题的关键． 5. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）列等式表示“x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差”为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，x的5倍与2的和可表示为，x的3倍与4的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：由题意得，列等式表示“x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差”为， 故答案为：． 6. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是方程的解，则 ． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】方程的解 【分析】把代入得出关于a的方程，解方程可得答案． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 等式的基本性质 1. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列运用等式的性质对等式的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解答此题的关键．根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不符合等式的基本性质，故本选项错误； B、不论为何值，等式成立，故本选项正确； C、， ，即，故本选项错误； D、当时，等式不成立，故本选项错误． 故选：B． 2. （23-24七年级上·黑龙江·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质，正确掌握等式的性质，即可解题． 【详解】解：A、如果，那么，正确，不符合题意， B、如果，那么，正确，不符合题意， C、如果，那么，正确，不符合题意， D、如果，那么，不正确，当时，等式无意义，符合题意， 故选：D． 3. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质．根据等式的性质1对A、C进行判断；根据等式的性质2对B、D进行判断． 【详解】解：A、若，则，所以本选项不符合题意； B、若，则，所以本选项不符合题意； C、若，则，所以本选项不符合题意； D、若，则，所以本选项符合题意； 故选：D． 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，那么下列各式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，那么一定成立，不符合题意，选项错误； B、若，那么一定成立，不符合题意，选项错误； C、若，那么一定成立，不符合题意，选项错误； D、若，那么一定成立，不一定成立，符合题意，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是掌握等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 5. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、如果，两边同时除以2，则，故错误，不合题意； B、如果，两边同时开平方，则，故错误，不合题意； C、如果，若，则不一定成立，故错误，不合题意； D、如果，两边同时乘c，则，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 6. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列变形：①若，则；②若，则；③若，则 ④若，则；⑤若，则．其中一定正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式性质逐项进行判断． 【详解】解：①若，当时，则，故①错误； ②若，则，故②正确； ③若，当时，则，故③错误； ④若，则，故④正确； ⑤若，则，故⑤错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 7. （21-22七年级上·黑龙江鸡西·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2：等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、若，则x＝，故该选项错误； B、若3(x+1)-2x＝1，则3x+3-2x＝1，故该选项正确； C、若，则，故该选项错误； D、若，则，故该选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了等式的基本性质．解题的关键是熟练掌握等式的基本性质． 一元一次方程的定义 1. （23-24七年级上·黑龙江·期末）下列等式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式”，掌握概念一一判断，即可解题． 【详解】解：A、中不含未知数，不是一元一次方程，不符合题意， B、是一元一次方程，符合题意， C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意， D、未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意， 故选：B． 2. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列所给的方程是一元一次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：A．方程是一元一次方程，故本选项符合题意； B．方程是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．方程是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 3. （23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列等式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】根据一元一次方程的概念进行判断即可，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】A． ，是一元一次方程，故符合题意； B． ，是二元一次方程，故不符合题意； C． ，含三个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意； D． ，是分式方程，故不符合题意； 故选：A． 4. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟悉定义是解决本题的关键． 根据①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程这些条件，即可解答． 【详解】解：根据题意得：且， ∴． 故答案为：0． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）关于x的方程是一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， 故答案为：． 6. （23-24七年级上·黑龙江·期末）若方程是关于的一元一次方程，则 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，，求解即可得出答案，熟练掌握一元一次方程中未知数的次数是一次且一次项系数不为零，是解此题的关键． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 7. （23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若是关于x的一元一次方程，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（，是常数且） 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 8. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】根据一元一次方程的定义得，且，再求出a值即可． 【详解】因为是关于x的一元一次方程， 所以，且， 解得，且， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程． 9. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵方程为关于x的一元一次方程， ∴项的系数为0．且x的系数不为0， ，即， 解得：， ， ， ． ∴． 一元一次方程解法 1. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故选：A． 2. （21-22七年级上·哈尔滨·期末）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等式的性质、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：方程，去分母得， 选项A符合题意； 方程，去括号得， 选项B不符合题意； 方程，系数化为1得， 选项C不符合题意； 方程，移项得， 选项D不符合题意． 故选：A． 3. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行计算即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得： ， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握运算步骤是解此题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行计算即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行计算即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 原方程的解为：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 原方程的解为：． 5. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解答本题的关键． （1）通过去括号，移项，合并同类项，系数化为，由此得到答案． （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，由此得到答案． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得． （2） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得． 6. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1） 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1， （2） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1， 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解法步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟记方程的解法步骤是解题关键． 7. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】(1)首先去括号、移项、合并同类项，再解方程，即可求解； (2)首先去分母、去括号、移项、合并同类项，再解方程，即可求解． 【详解】（1）解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得， 所以，原方程的解为； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得， 所以，原方程的解为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握和运用一元一次方程的解法和步骤是解决本题的关键． 8. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）去括号、移向、合并同类项、化系数为1即可． （2）去分母、去括号、移向、合并同类项、化系数为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 9. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程；按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1，． 10. （21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 整理得： ， 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 一元一次方程解的综合应用 1. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）方程与方程的解相同，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程解的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先对方程求解，由于两个方程的解相同，将第一个方程的解代入，求出k的值，然后代入求解即可得． 【详解】解：， ， ； ∵两个方程的解相同， ∴将代入，得， 解得：， 当时， ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查解一元一次方程及求代数式的值，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键． 2. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】先求得方程的解，然后将x的值代入方程，然后可求得a的值． 【详解】解：解得：， ∵与方程的解相同， ∴把代入中，得：， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查的是同解方程的定义，熟练掌握同解方程的定义是解题的关键． 3. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）关于y的方程与方程的解相同，则m的值为 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】首先解方程，再把代入方程，解方程即可求解． 【详解】解：解方程， 解得：， 把代入方程， 得， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了利用同解方程的解求参数的方法，熟练掌握和运用利用同解方程的解求参数的方法是解决本题的关键． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）有一道解方程的题：，□处在印刷时被油墨盖住了，查答案知这个方程的解是，那么□处的数字应该是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】利用方程的解，把解代入方程，就可以得到关于参数的一元一次方程，解这个一元一次方程即可． 本题主要考查了含参数的整式方程． 【详解】解：设方框处的数字为，则这个方程为：， ∵它的解为， 将代入中得： 解得：． 故答案为：． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列图形都是由面积为的正方形按一定的规律组成的，其中，第个图形中面积为的正方形有个，第个图形中面积为的正方形有个，⋯⋯，按此规律，则第 个图形中面积为的正方形的个数为． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的知识点是图形的变化规律、解一元一次方程，解题关键是找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 根据图形变化发现，从第个图形开始，每个图形比前一个多个正方形，则可由此推出规律，并借此规律求解正方形个数为时是第几个图形． 【详解】解：第个图形中，面积为的正方形有个， 第个图形中，面积为的正方形有个， 第个图形中，面积为的正方形有个， ………… 即后面的每个图形都比前一个多个面积为的正方形， 第个图形中，面积为的正方形有个， 则当面积为的正方形有个时， 解得． 故答案为：． 6. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于x的方程的解为，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程与一元一次方程的解的关系是解答本题的关键，将代入关于x的方程，得到与的关系即可求解． 【详解】解：∵方程的解为1， ∴， 即，． ∴． 故答案为：2． 7. （23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查了在新定义下解一元一次方程，根据新定义分情况：当和时解题即可求出值． 【详解】当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：或． 新定义方程问题 1. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）“”表示一种运算符号，其意义是，如果，那么x等于（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】此题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴，即：， 解得：， 故选：B． 2. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）定义一种新的运算“”：．若，则的值是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程、新定义．根据，得到一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理得， 解得， 故答案为：2． 3. （23-24七年级上·黑龙江·期末）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】方程的解、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查对“平安方程”得理解和一元一次方程得运用，根据题干得出，再将代入中计算即可． 【详解】解：关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”． 又关于的一元一次方程是“平安方程”， ， 将代入中，有，解得． 故答案为：． 4. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而 的解为，而 将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程（）的解为，则称之为“奇异方程”，请解决以下问题： (1)方程是“奇异方程”吗？请说明理由； (2)若方程是“奇异方程”，求m的值． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】（1）解原方程，利用“奇异方程”的定义进行验证即可； （2）根据“奇异方程”定义，利用反证法即可说明； （3）利用“奇异方程”的定义求出原方程的根，利用方程根的意义将方程的根代入原方程得到的关系式，即可解关于的方程． 【详解】（1）方程是“奇异方程”．理由： 方程的解为：， ， 方程是“奇异方程”． （2）关于的方程为奇异方程， 方程的根为：． 把代入原方程得： ， ． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． 5. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”． 例如：，，且是方程的解，此方程为“合并式方程”． 请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)关于的一元一次方程是“合并式方程”，求n的值． 【答案】(1)一元一次方程不是“合并式方程”，详见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：一元一次方程不是“合并式方程”， 理由如下：，把代入方程的左右两边，左边， 左边右边， 不是方程的解， 一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解：一元一次方程是“合并式方程” 是方程的解 ， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解一元一次方程的解得定义以及“合并式方程”的定义是解题的关键． 6. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：关于x的方程与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1)2 (2) (3)c的值为 【难度】0.65 【知识点】方程的解、一元一次方程解的综合应用 【分析】（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， ∵与方程互为“反对方程”， ∴， 故答案为：2． （2）解：将写成的形式， 将写成的形式， ∵与方程互为“反对方程”， ∴， ∴， ； （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， ∵与的解均为整数， ∴与都为整数， ∵c也为整数， ∴当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， ∴c的值为． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． 一元一次方程应用---行程问题 1. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了一条长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了一条长96米的隧道，求这列火车的长度，设这列火车的长度为米，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查一元一次方程的应用．设这列火车长度为x米，根据题意列出方程解答即可． 【详解】解：设这列火车长度为x米，可得： ， 故选：D． 2. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）A，两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、两地同时出发，相向而行，已知甲车速度120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过小时两车相距50千米，则的值是（   ） A．2 B． C．10或 D．2或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】分两种情况讨论：①两车相遇之前相距50千米；②两车相遇之后又相距50千米，根据路程速度时间，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：①当两车相遇之前相距50千米时， 根据题意，， 解得：； ②当两车相遇之后又相距50千米时， 根据题意，， 解得：， 综上可知，经过小时两车相距50千米，则的值是2或， 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，根据题意找出等量关系是解题关键． 3. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）甲、乙两列火车从相距80千米的两站同时出发，同向而行，甲车在后，每小时行驶70千米，乙车在前，每小时行驶50千米，则经过________小时后两车相距20千米？（    ） A．3 B． C．或 D．3或5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】经过小时后两车相距20千米，分相距20千米时，甲车在乙车前和甲车在乙车后两种情况列出方程，解方程求解即可． 【详解】设经过小时后两车相距20千米，则 或 解得或 故选：D 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 4. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时．若船速为，水速为，则A港和B港相距 ． 【答案】180 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设港和港相距，根据时间路程速度结合顺流比逆流少用3小时，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设港和港相距， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：180． 5. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长 米． 【答案】248 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设这列火车长x米，然后根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设这列火车长x米， 由题意可得：，解得x＝248． 答：这列火车长248米． 故答案为：248． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，设出合适的未知数、正确列出一元一次方程是解答本题的关键． 一元一次方程应用---数字、日历问题 1. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小敏同学编了下面的数学谜题，要求在题中“”内填入同一个数字． 小聪设“”内的数字为，则可列出方程为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】设“”内的数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设“”内的数字为，由题意，得：； 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数字的表示方法，是解题的关键． 2. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）三个连续自然数的和为12，则这三个连续自然数的积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．60 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出这三个自然数，根据三个连续自然数的和为12，可以列出相应的方程，然后求解即可得到这三个自然数，然后求出这三个连续自然数的积即可． 【详解】解：设最小的自然数为， 则， 解得， 这三个自然数为3，4，5， ， 这三个连续自然数的积为60， 故选：D． 3. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和为39，则这三个数中，最大的数是（    ） A．13 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设中间的数为，则其它两个数分别为、，根据“相邻三行里同一列的三个日期数之和为39”列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设中间的数为，则其它两个数分别为、， 由题意得：， 解得：， ， 这三个数中，最大的数是， 故选：C． 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）有一列数，按一定规律排列成，，，，，，其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】观察可知相邻的两个数后面一个数是前面一个数的倍，据此设出未知数列出方程求解即可． 【详解】解：设相邻的三个数的第一个数为x，则第二个数为，第三个数为， 由题意得：，即， 解得， ∴这三个数分别为， ∴最大的数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到相邻数字之间的关系，进而列出方程求解是解题的关键． 5. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图．在2021年11月份的日历上，任意框出正方形排列的四个数，若这四个数的和是52，则这四个数中最大的数是 ． 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【答案】17 【难度】0.65 【知识点】用字母表示数、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】设正方形排列中左上角的数为x，右上角的数为（x+1）,左下角的数为（x+7）,右下角的数为（x+8），根据等量关系为四个数之和为52，列方程x+（x+1）+（x+7）+（x+8）=52，解方程求出x=9，再求代数式的值进行比较大小即可． 【详解】解：设正方形排列中左上角的数为x，右上角的数为（x+1）,左下角的数为（x+7）,右下角的数为（x+8）， 根据题意得x+（x+1）+（x+7）+（x+8）=52， 解这个方程得：x=9， 经检验x=9是原方程的根，并符合题意， 当x=9时， x+1==9+1=10， x+7=9+7=16， x+8=9+8=17， ∵9＜10＜16＜17， 这四个数中最大的数是17． 故答案为17． 【点睛】本题考查日历书列一元一次方程解应用题，列代数式，代数式的值，掌握日历中四个数的规律列出代数式表示四个数是解题关键． 6. （21-22七年级上·黑龙江鹤岗·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你知道吗？ (1)在上图的月历中，横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 【答案】(1)月历中，横行上相邻两数之差（大数减去小数）为1，竖列上相邻两数之差（大数减去小数）为7 (2)这三天分别是17号、24号、31号 【难度】0.85 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）观察月历即可得答案； （2）设这一竖列上连续的三个数分别为x-7、x、x+7，根据三个数的和为72列方程即可解答． 【详解】（1）解：月历中，横行上相邻两数之差（大数减去小数）为1，竖列上相邻 两数之差（大数减去小数）为7． （2）解：设这一竖列上连续的三个数分别为、x、 根据题意，得， 解得． 所以，． 答：这三天分别是17号、24号、31号 【点睛】此题考查一次方程的应用，解题的关键是掌握月历的特点，根据已知列方程． 一元一次方程应用---积分问题 1. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜的场数为（    ） A．7场 B．8场 C．9场 D．10场 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设该队胜场，则负场，然后根据题意列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设该队胜场 由题意得：，解得． 故答案为C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． 2. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了 场． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设八一队胜了场，则负了场，根据八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分列方程，即可求解． 【详解】解：设八一队胜了场， 由题意得：， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 3. （20-21七年级上·黑龙江鸡西·期末）某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢了14场球，负5场，共得19分，问这个队胜了几场？ 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】设这个队胜了x场，则平了14-5-x=（9-x）场，然后根据计分规则和“共得19分”列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设这个队胜了x场，则平了14-5-x=（9-x）场 3x+（9-x）=19，解得：x=5． 答：问这个队胜了5场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解答本题的关键． 4. （23-24七年级上·黑龙江·期末）民间有许多与除夕相关的习俗．某学校组织了“除夕习俗我知道”的知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 22 3 82 D 19 6 64 (1)每答对一道题得_________分，每答错一道题得_________分； (2)参赛者E答对了m道题，用含有m的式子表示他的得分是多少？ (3)参赛者F得70分，他答错了多少道题？ 【答案】(1)4； (2)参赛者E的得分是分 (3)参赛者F答错了5道题 【难度】0.65 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用∶ （1）由参赛者A可得：答对1题得（分），设答错一题扣x分，根据设每答错一道题得a分，根据参赛者B的得分得的得分列出方程，求出方程的解，即可得到结果； （2）参赛者E答对了m道题，根据他的得分等于答对的得分加上答错的得分，即可求解； （3）设参赛选手F答对y道题，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：每答对一道题得分， 设每答错一道题得a分，根据参赛者B的得分得： ， 解得：， 所以答错一道题得分； 故答案为：4； （2）解：根据题意，得． 答：参赛者E的得分是分． （3）解：设参赛者F答错了x道题， 根据题意，得，解得， 答：参赛者F答错了5道题． 一元一次方程应用---工程问题 1. （22-23七年级上·黑龙江七台河·期末）某工程要在天内完成，现由甲先做3天，再甲、乙合作，正好如期完成．若甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】由甲完成的工程+乙完成的工程=总工程（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2. （20-21七年级上·黑龙江佳木斯·期末）某项工程，甲单独完成需要45天，乙单独完成需要30天，若乙先单独做22天，剩下的由甲去完成，问：甲、乙一共用几天可完成全部工作？设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=总的工作量，根据此列方程即可． 【详解】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x-22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的． 根据等量关系列方程得：， 故选：A． 【点睛】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找． 3. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整理一批图书，由一个人做要完成．现计划有一部分人先做，再增加2人和他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作? 【答案】具体应先安排2人工作． 【难度】0.85 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设具体应先安排人工作， ， 解得，， 答：具体应先安排2人工作． 4. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某厂一所中学的冬季校服定做任务计划用、两台大型设备进行加工，如果单独用型设备，需要45天做完：如果单独用型设备，需要30天做完．为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制， (1)填空：型设备的工作效率是________，型设备的工作效率是________；两台设备同时加工，共需________天才能完成． (2)若两台设备同时加工10天后，型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有15天，如果由型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过列方程计算，说明理由． 【答案】(1)，，18 (2)会影响学校发校服的时间，理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）把工作总量看作单位“1”，由工作总量除以工作时间可得工作效率；设共需x天才能完成，依题意得（）x=1，解方程即可； （2）设由A型设备单独完成剩下的任务需要y天才能完成，依题意得（）×10+=1，求解并与15天进行比较即可． 【详解】（1）把工作总量看作单位“1”， ∵单独用型设备，需要45天做完：单独用型设备，需要30天做完 ∴型设备的工作效率是，型设备的工作效率是； 设共需x天才能完成， 根据题意得：（）x=1， 解得x=18， 答：两台设备同时加工，共需18天才能完成； 故答案为：，，18； （2）由A型设备单独完成剩下的任务需要y天才能完成， 依题意得：（）×10+=1， 解得 y=20＞15 答：会影响学校发校服的时间． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，关键是要掌握工作量的有关公式：工作总量=工作时间×工作效率． 5. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有一工程打算让甲、乙两个工程队完成，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需90天；若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成． （1）甲、乙两队合作多少天？ （2）甲队施工一天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2.5万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】（1）30；（2）由甲乙两队全程合作完成该工程省钱． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）将这个工程量看作“1”，先分别求出甲、乙两队的工作效率（即每天完成的工程量），再根据“由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成”建立方程，解方程即可得； （2）先根据“不超过计划天数的前提”可得只能是甲队单独完成工程或甲乙两队全程合作完成工程，再分别求出两种方式下的所需的工程款，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）将这个工程量看作“1”， 则甲队的工作效率（即每天完成的工程量）为，乙队的工作效率为， 设甲、乙两队合作天， 由题意得：， 解得， 答：甲、乙两队合作30天； （2）甲队单独完成工程所需工程款为：（万元）， 乙队超过计划天数，舍去， 甲乙两队全程合作完成工程所需工程款为（万元）， 因为， 所以由甲乙两队全程合作完成该工程省钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用等知识点，正确建立方程是解题关键． 6. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）第五中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件，且单独加工这批服装甲工厂比乙工厂要多用20天，在加工过程中，学校需付甲工厂每天费用80元，需付乙工厂每天费用120元． （1）求这批校服共有多少件； （2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度提高25％，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天； （3）经学校研究制定如下方案，方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问的方式完成，请你通过计算帮学校选择一种省钱的加工方案． 【答案】（1）这批校服共有960件；（2）乙工厂共加工28天；（3）见解析． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设这批校服共有x件，则可知甲厂需天，乙厂需要天，单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，根据题意找出等量关系，根据此等量关系列出方程求解即可； （2）可设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a+4）天，根据题意找出等量关系，根据此等量关系列出方程求解即可； （3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③按（2）问方式加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案． 【详解】解：（1）设这批校服共有x件，由题意得： =20， 解得：x=960． 答：这批校服共有960件； （2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a+4）天，依题意有 （16+24）a+24×（1+25%）（2a+4-a）=960， 解得a=12， 2a+4=24+4=28． 故乙工厂共加工28天； （3）①由甲厂单独加工：需要耗时为960÷16=60天，需要费用为：60×80=4800元； ②由乙厂单独加工：需要耗时为960÷24=40天，需要费用为：40×1200=4800元； ③由两加工厂共同加工：需要耗时为28天，需要费用为：12×80+28×120=4320元． 所以，按方案三方式完成既省钱又省时间． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可． 一元一次方程应用---古代数学问题 1. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意，先令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，再根据题意设未知数，列方程即可 【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度， 设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得， 根据题意可列出的方程是， 故选：B． 【点睛】本题考查应用一元一次方程解决数学史问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 2. （21-22七年级上·黑龙江黑河·期末）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意列方程． 【详解】解：由题意可得． 故选C 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解题的关键． 3. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”译文：良马平均每天能跑里，驽马平均每天能跑里．现驽马出发天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？请算出良马 天能够追上驽马． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据路程速度时间结合二者总路程相等，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．设良马天能够追上驽马，根据路程速度时间结合二者总路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设良马天能够追上驽马． 根据题意得：， 解得：． ∴良马天能够追上驽马． 故答案为： 4. （23-24七年级上·黑龙江·期末）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？”题意是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问有多少辆车？设有辆车，根据题意，可列方程是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查实际问题与一元一次方程，由于人数是一个定值，根据题干中的两种情况表示出人数，列出一元一次方程即可解题． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 5. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则“x”的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据第三列、第三行的数之和相等建立关于x的方程，求解方程即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， ∴“x”的值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次方程在古代问题的应用，根据题意建立方程是关键． 6. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为 ．    【答案】14 【难度】0.85 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最左下角的数和最中间的数，再利用第三行和第二列的数字之和相等列出方程，解之即可． 【详解】解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：， ∴， 解得：， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 一元一次方程应用---销售问题 1. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某件商品现在的售价是68元，比原价降低了，则这件商品的原价是（   ） A．102元 B．元 C．元 D．80元 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设原来售价是x元，根据“某商品现在售价是68元，比原来售价降低了”，列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：设原来售价是x元， 根据题意得： ， 解得：， 即原来售价是80元， 故选：D． 2. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一种商品每件成本价为a元，原来按照成本增加定出价格（即标价），由于受疫情影响产品出现滞销，为了减少库存积压，按标价的九折出售，每件还能盈利（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设每件还能盈利，根据所给数量关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每件还能盈利， 则， 解得， 因此每件还能盈利， 故选A． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程． 3. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某种羽绒服的进价为元，出售时标价为元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为，则可打（    ） A．4折 B．5折 C．6折 D．7折 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据利润率的公式列一元一次方程是解题的关键．设可打折，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设可打折， 依题意得，， 解得，， 故选：C． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）一家商店将某种服装按进价提高后标价，又以9折优惠卖出，结果每件仍获利16元，这种服装每件的进价是多少？ 【答案】这种服装每件的进价是200元 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设这种服装每件的进价为x元，用x表示出标价，进而得出售价； 然后根据售价进价利润，可列出方程，解方程就可以求出进价．正确找出等量关系是解题关键． 【详解】解：设这种服装每件的进价是x元，则： ， 解得： ， 答：这种服装每件的进价是200元． 5. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，光明社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用， (1)第一次购买了20瓶酒精和30瓶消毒液，每瓶酒精的价格比每瓶消毒液的价格多5元，共花费了350元，本次购买每瓶酒精和每瓶消毒液的价格各是多少元？ (2)第二次又购买了酒精和消毒液共计60瓶，（1）中酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，第二次按变化后的价格购买，共花费了315元，第二次购买了酒精和消毒液各是多少瓶？ 【答案】(1)每瓶酒精和消毒液的价格分别为10元、5元 (2)酒精和消毒液的分别为25瓶、35瓶 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据第一次购买了20瓶酒精和30瓶消毒液，每瓶酒精的价格比每瓶消毒液的价格多5元，共花费了350元列一元一次方程，从而可以求得每瓶酒精和消毒液的价格； （2）根据第二次又购买了酒精和消毒液共计60瓶，（1）中酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，第二次按变化后的价格购买，共花费了315元，列一元一次方程，解出即可． 【详解】（1）设消毒液的价格为元、则酒精的价格为元， ， 解得， 酒精的价格为 答：每瓶酒精和消毒液的价格分别为10元、5元； （2）设购买酒精瓶，则购买消毒液瓶， 由题意可得，， 解得：； 消毒液 答：酒精和消毒液的分别为25瓶、35瓶． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程并解答． 6. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某商场进行促销活动，花200元可办理一张会员卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），凭会员卡可在这家商场按标价的8折购物． (1)顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？ (2)小李要买一台标价为3000元的电视，如何购买合算？小李能节省多少元钱？ (3)小李按合算的方案，把这台电视买下，如果商场还能盈利30%，这台电视的进价是多少元？ 【答案】(1)当顾客消费等于1000元时买卡与不买卡花钱相等，当顾客消费小于1000元时不买卡购物合算，当顾客消费大于1000元时买卡购物合算 (2)买卡合算，节省400元 (3)2000元 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据顾客购买元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等列出方程，进而求解即可； （2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算； （3）首先假设这台电视的进价为元，则可得出，解方程即可． 【详解】（1）解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等， 根据题意，得200+0.8x=x， 解得x=1000， 所以当顾客消费等于1000元时买卡与不买卡花钱相等 答：当顾客消费小于1000元时不买卡购物合算，当顾客消费大于1000元时买卡购物合算； （2）解：小李买卡合算， 3000-(200+30000.8)=400(元)， 所以小李能节省400元； （3）解：设这台电视的进价为y元， 根据题意，得(200+30000.8)-y=30%y， 解得y=2000， 答：这台电视的进价是2000元 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确得出买卡后付费的等式． 7. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平价商场恰好用3800元购进甲，乙两种商品共50件，若甲种商品每件进价70元，乙种商品每件进价80元，且统一标价120元出售． (1)求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商场售出这批商品的一部分后，恰逢“元旦”对剩余商品进行促销，以标价的8折售完所有剩余商品，共获利1480元，且促销商品中乙的件数是甲件数的1.5倍，求促销商品中甲商品有多少件？ 【答案】(1)该商场购进甲种商品20件，乙种商品30件 (2)促销商品中甲种商品有12件 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程求解即可； （2）设促销商品中甲种商品有件，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，得：， 解得：； 乙种商品：（件）， 答：该商场购进甲种商品20件，乙种商品30件； （2）解：设促销商品中甲种商品有件， 根据题意，得： ， 解得， 答：促销商品中甲种商品有12件． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系，并列出方程． 8. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某文教商店有，两种型号的钢笔共10支，其中型钢笔比型钢笔多2支．请回答下列问题： (1)型钢笔有__________支，型钢笔有__________支； (2)该文教商店每支型钢笔的售价比每支型钢笔的售价多4元，，两种型号的钢笔全部售出后，销售的总金额为96元．求每支型钢笔的售价是多少元？ 【答案】(1)4，6 (2)每支型钢笔的售价是8元． 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设型钢笔有x支，则型钢笔有支，根据“有，两种型号的钢笔共10支”列方程，解方程即可求解； （2）设型钢笔的售价为a元，则型钢笔的售价为元，根据“销售的总金额为96元”列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设型钢笔有x支，则型钢笔有支， 根据题意得， 解得，， 答：型钢笔有4支，则型钢笔有6支， 故答案为：4，6； （2）解：设型钢笔的售价为a元，则型钢笔的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：每支型钢笔的售价是8元． 9. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）“百兴”商场从“高远”加工厂购进，两种商品，种商品购价每件50元，种商品的购价每件60元，购进种商品的数量比购进种商品数量的2倍多4件，购进，两种商品共用1600元． (1)求购进种商品多少件？ (2)“百兴”商场再次从“高远”加工厂购进，两种商品，购进，两种商品的数量与原来购进，两种商品数量都相同，此时，“高远”加工厂将种商品每件加价10元，种商品打折出售，此次购进，两种商品所需总钱数是原来购进种商品所需总钱数的倍，求种商品打几折出售？ 【答案】(1)8件 (2)8折 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设购进种商品件，则购进种商品件，根据题意“购进，两种商品共用1600元”，列方程求解即可； （2）由（1）可知，原购进种商品8件，则原购进种商品20件，设种商品打折出售，根据题意“此次购进，两种商品所需总钱数是原来购进种商品所需总钱数的倍”列方程求解即可获得答案． 【详解】（1）解：设购进种商品件，则购进种商品件， 根据题意，可得 ， 解得． 答：购进种商品8件； （2）由（1）可知，原购进种商品8件，则原购进种商品件， 设种商品打折出售， 则由题意可得 ， 解得 ． 答：种商品打8折出售． 【点睛】本题主要考查了利用一元一次方程解决实际问题，理解题意，找到等量关系是解题关键． 10. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）某商店分两批购进同一款文具盒共个，第一批文具盒每个进价为元，第二批文具盒每个进价为元，共花费元. (1)两批文具盒分别购进多少个？ (2)在实际销售中，第一批文具盒全部按标价元售出，第二批文具盒以标价元售出部分后，为了清理库存，将剩余的文具盒打折全部售出，两批共获得利润元.第二批文具盒中按标价售出的有多少个？ 【答案】(1)第一批购进文具盒个，则第二批购进文具盒个． (2)第二批文具盒中按标价售出的有个． 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系，列出正确的一元一次方程，是解答本题的关键． （1）根据题意设：第一批购进文具盒个，则第二批购进文具盒个，利用已知条件，列出一元一次方程，解出方程，由此得到答案． （2）根据题意设：第二批文具盒中按标价售出的有个，则未按标价售出的有个，根据已知条件，列出一元一次方程，解出方程，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意设： 第一批购进文具盒个，则第二批购进文具盒个， ， 解得：， 则第二批购进文具盒， 答：第一批购进文具盒个，则第二批购进文具盒个． （2）根据题意设： 第二批文具盒中按标价售出的有个，则未按标价售出的有个， 两批购进的进价为：（元）， 第一批文具盒全部按标价元售出，收入：（元）， 第二批文具盒以标价元售出，收入：（元）， 第二批文具盒以折全部售出，收入：（元）， 根据题意得： ， 解得：， 答：第二批文具盒中按标价售出的有个． 11. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“莲莲”“宸宸”分别代表了良渚古城遗址、西湖、世界遗产京杭大运河，以它们的形象制作的纪念品种类很多．丽才纪念品店恰好用3850元购进甲、乙两种带有这三个吉祥物图案的挂件，其中甲种挂件30个，乙种挂件20个，甲种挂件每个进价比乙种挂件每个进价少5元，且两种挂件每个售价均为120元． (1)求购进甲、乙两种挂件每个进价分别是多少元? (2)由于这两种挂件十分畅销，丽才纪念品店按原进价再次购进甲、乙两种挂件，其中甲种挂件的个数是乙种挂件个数的2倍．若两次购进的挂件全部售出共获利4750元，求丽才纪念品店第二次购进甲种挂件多少个？ 【答案】(1)购进甲、乙两种挂件每个进价分别是75元、80元 (2)40个 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设购进甲种挂件每个进价是元，则乙种挂件每个进价是元，根据“丽才纪念品店恰好用3850元购进甲、乙两种带有这三个吉祥物图案的挂件，其中甲种挂件30个，乙种挂件20个”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设丽才纪念品店第二次购进乙种挂件个，则购进甲种挂件个，根据“两次购进的挂件全部售出共获利4750元”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进甲种挂件每个进价是元，则乙种挂件每个进价是元， 根据题意，得， 解得：， （元）， 答：购进甲、乙两种挂件每个进价分别是75元、80元； （2）解：设丽才纪念品店第二次购进乙种挂件个，则购进甲种挂件个， 根据题意，得， 解得， （个）， 答：丽才纪念品店第二次购进甲种挂件40个． 一元一次方程应用---和差倍分问题 1. （22-23七年级上·黑龙江七台河·期末）一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（   ） A．12 B． C．16 D．－16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设这个数为x，一个数的与2的差就是：，这个数的一半就是，根据题意列方程解出即可． 【详解】解：设这个数为x， 根据题意列方程得：， 去分母得， 解得：， ∴这个数是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题关键是审题，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 2. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）甲、乙两个仓库的货物质量之比是，从甲仓库运出4吨货物给乙仓库后，两个仓库货物的质量比是，甲仓库原来有（　　）吨货物． A．12 B．16 C．36 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设甲仓库原来有吨货物，则乙仓库原来有吨货物，根据“从甲仓库运出4吨货物给乙仓库后，两个仓库货物的质量比是”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设甲仓库原来有吨货物，则乙仓库原来有吨货物， 根据题意得：， 即， 解得：， ， 甲仓库原来有16吨货物． 故选：B． 3. （21-22七年级上·黑龙江黑河·期末）逊克县中小学校的第二课堂活动开展的有声有色．某校合唱团30人，舞蹈队20人要共同外出表演，现根据演出需要，从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱团，使合唱团的人数恰好是舞蹈队人数的4倍．设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，可列方程为（    ）． A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x） C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x） 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，根据“合唱团的人数恰好是舞蹈队人数的4倍”列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，根据题意得， 30＋x＝4（20﹣x）， 故选B. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 4. （22-23七年级上·黑龙江·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人6梨，恰好分完，”设孩童有名，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】设孩童有名，根据“每人分4梨，多12梨；每人6梨，恰好分完”，列方程即可得到答案． 【详解】解：设孩童有名， 根据题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解决问题的关键． 5. （22-23七年级上·黑龙江七台河·期末）有若干人乘车，每3个人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2个人乘一辆车，最终剩9个人无车可乘，则一共有 个人乘车． 【答案】39 【难度】0.85 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设有x辆车，根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设有x辆车，依题意得： ． 解得，， 人数， 故答案是：39． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读可以收获知识、开阔视野．七年级1班开展读书活动，老师把一些图书分给全班学生阅读，若每人分3本，则剩余12本：若每人分4本，则还缺34本．这个班有 名学生． 【答案】46 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这个班有名学生，根据“若每人分3本，则剩余12本：若每人分4本，则还缺34本”列出一元一次方程，解方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设这个班有名学生， 由题意得：， 解得：， 这个班有名学生， 故答案为：． 7. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小亮和小刚两位同学准备将一批图书分给班级的写作兴趣小组的同学阅读．请根据两人的对话信息，求这批图书有多少本？ 如果每个同学分本，这批图书还剩余本． 如果每个同学分本，这批图书恰好分完．   【答案】这批图书有本 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，设写作兴趣小组的同学有人，根据“每个同学分本，这批图书还剩余本；如果每个同学分本，这批图书恰好分完”列出方程即可．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设写作兴趣小组的同学有人， 依题意，得：， 解得：， ∴（本）， 答：这批图书有本． 一元一次方程应用---分段计费问题 1. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户月份交水费元，则所用水为 吨． 月用水量 不超过吨的部分 超过吨不超过吨的部分 超过吨的部分 收费标准（元/吨） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】设所用水为吨，依题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵（元） ∴用水量超过15吨， 设所用水为吨，依题意得， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 2. （20-21七年级上·黑龙江黑河·期末）某地自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示 月用水量 不超过16吨的部分 超过16吨不超过 30吨的部分 超过30吨的部分 收费标准（元/吨） 2.5 3.5 4.0 (1)若张老师家6月份的用水量是12吨，则张老师应付水费多少元？ (2)若张老师家7月份的用水是22吨，则张老师应付水费多少元？ (3)若张老师家8月份用水量为a吨（a不超过30），则张老师应付水费多少元？（用含a的代数式表示）； (4)若张老师家9月份付水费82元，求张老师家9月份的用水量． 【答案】(1)6月份需交水费为30元； (2)7月份张老师需交水费61元； (3)①当a≤16时，需交水费2.5a元；②当16＜a≤30时，需交水费（3.5a-16）元； (4)张老师家9月份的用水量是28吨． 【难度】0.85 【知识点】列代数式、有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）首先得出6月份的用水量12吨，应分一段交费，再利用已知表格中数据求出答案； （2）根据题意，7月份的用水是22吨应分两段交费，利用已知表格中数据求出答案； （3）分两种情况讨论，①当a≤16时，②当16<a≤30时，求出答案； （4）首先根据9月份交费判断该月用水量位于16~30吨之间，应分两段交费，设出未知数，列出算式即可解答． 【详解】（1）解：∵12＜16，                  ∴2.5×12=30（元），    答：6月份需交水费为30元； （2）解：∵30＞22＞16， ∴16×2.5+（22-16）×3.5=61， 答：7月份张老师需交水费61元； （3）解：根据题意，a不超过30， ∴分两种情况：①当a≤16时，需交水费2.5a元； ②当16＜a≤30时，需交水费，2.5×16+（a-16）×3.5=（3.5a-16）元； （4）解：∵用水量是16吨时水费为40元，用水量是30吨时水费为89元，且89>82>40， ∴应该分两段交费， 设9月份所用水量为a吨，依据题意可得：3.5a-16=82；                        解得：a=28； 答：张老师家9月份的用水量是28吨． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及列代数式，正确表示出水费的总额是解题的关键． 3. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额： 消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同． 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1200元的商品，则消费金额为960元，获得的优惠额为（元）． (1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ (2)若顾客在该商场购买一件标价x元的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示） (3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元的商品后，第二次又购买了一件标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？ 【答案】(1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元 (2)当时，顾客获得的优惠额是元，当时，顾客获得的优惠额是元 (3)这名顾客第一次购买商品的标价是1990元 【难度】0.65 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据已知条件列出算式求出结果； （2）①分情况讨论当时，②时，列出算式； （3）在（2）的基础上列出方程解出符合条件的数． 【详解】（1）∵商场内所有商品按标价的80%出售， ∴（元）， ∵， ∴顾客获得的优惠额是100元， 打折后优惠额：（元）， ∴购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是（元）， 答：购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额460元； （2）∵顾客在该商场购买一件标价x元的商品， ①当时，顾客获得的优惠额是元， ②当时，顾客获得的优惠额是元， 综上所述：当时，顾客获得的优惠额是元，当时，顾客获得的优惠额是元； （3）①时，， 解得， ②时，， 解得（舍去）， 综上所述这名顾客第一次购买商品的标价是1990元． 【点睛】本题考查一元一次方程应用、列代数式，掌握列代数式的关键条件，分情况讨论是解题关键． 一元一次方程应用---方案问题 1. （21-22七年级上·黑龙江鹤岗·期末）为了培养同学们的社会实践能力。王老师利用假期领部分同学乘汽车到农村去搞社会调查。已知每张汽车票50元，甲车主说：如果乘我的车，可以打八折优惠。乙车主说：如果乘我的车，学生九折优惠，老师可以不买票 (1)已知王老师带了x名同学，若乘甲车需_________ 元，若乘乙车需_________ 元 (2)若王老师带了6名同学参加调查活动，请问他们乘哪辆车合算？ (3)若实际出发时，王老师发现他们乘坐两辆车的费用相同，那么王老师实际带多少名同学？ 【答案】(1)40（x+1），45x (2)乘乙车合算 (3)王老师实际带8名同学 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）根据两车的收费标准列出代数式即可； （2）根据（1）所求代数式把代入求解即可； （3）根据（1）所求代数式，令两个代数式相等得到方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得乘甲车需元， 乘乙车需元， 故答案为：；； （2）解：当时，甲车需要元，乙车需要元， ∵， ∴乘乙车更划算； （3）解：由题意得，即， 解得， 答：王老师实际带8名同学． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值和一元一次方程的应用，解题的关键在于能够正确理解题意． 2. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款． 现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球桶． (1)若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元?（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算? (3)当时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方法，并计算需付款多少元? 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)按方案一购买较合算 (3)能，先按方案一购买10副羽毛球拍送10桶羽毛球，再按方案二购买20桶羽毛球，共花费580元 【难度】0.65 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据方案要求，运用费用等于单价乘以数量，计算后求费用和即可． （2）根据两种方案，分别代入求值，后比较大小判断即可． （3）先按方案1购买10件，余下的按方案二购买即可． 【详解】（1）方案一：（元）； 方案二：（元）． （2）当时，方案一：（元）， 方案二：（元）， 所以，按方案一购买较合算． （3）能，方案如下：先按方案一购买10副羽毛球拍送10桶羽毛球，再按方案二购买20桶羽毛球，共花费， （元）． 【点睛】本题考查了购物最省的方案问题，正确把握方案实质，创新优化购买方案是解题的关键． 3. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款，现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款____________元（用含的代数式表示）． (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)为何值时，两种优惠方案所需付款相同？ 【答案】(1)， (2)按方案①购买较为合算 (3) 【难度】0.65 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用)、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）按方案①付款用表示，按方案②付款用表示，利用西装和领带的总付款数可用表示出和； （2）把代入（1）中的代数式中计算对应的和的值，然后比较它们的大小可判断按哪种方案购买较为合算； （3）即和的值相等，利用其建立等量关系式解出即可． 【详解】（1）解：设按方案①付款用表示，按方案②付款用表示， ， ． 故答案为：，； （2）当时， 因为（元）， （元）， 所以按方案①购买较为合算； （3）由题意可得 ， 解得 ， 答：当时，两种优惠方案所需付款相同． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，正确列出所需代数式． 4. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为了有序恢复线下教学，某学校计划购买20箱消毒液和一些口罩（口罩不少于20包）用于教职员工的日常防疫．现从甲、乙两家医药公司了解到：同型号的产品价格相同，消毒液每箱21元，口罩每包7元，甲医药公司的优惠政策为每买一箱消毒液赠送一包口罩，乙医药公司的优惠政策为所有商品打八折． (1)若规定只能到其中一个医药公司购买，什么情况下甲乙两个医药公司的购买费用相同？ (2)若学校想购买20箱消毒液和100包口罩，且可到两家医药公司自由选购．你认为至少要准备多少钱？并说明理由． 【答案】(1)买40包口罩时，到两家医药公司一样优惠 (2)868元，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设买x包口罩时，到两家医药公司一样优惠，根据在甲乙两个医药公司的购买费用相同建立方程，求解即可； （2）分别计算到甲医药公司购买的费用；到乙医药公司购买的费用；到甲医药公司购买购买20箱消毒液可获赠20包口罩，然后到乙医药公司购买个口罩的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设买x包口罩时，到两家医药公司一样优惠， 根据题意，得， 解这个方程，得， 答：买40包口罩时，到两家医药公司一样优惠； （2）解：①到甲医药公司购买需花费：（元）； ②到乙医药公司购买需花费：（元）； ③到甲医药公司购买购买20箱消毒液可获赠20包口罩：（元） 然后到乙医药公司购买个口罩：（元） 共需（元） ∵ ∴至少要准备868元钱 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，理解甲、乙两家医药公司的优惠政策． 5. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）为了丰富学生的课外活动，某校决定购买100个篮球和副羽毛球拍．经调查发现：甲、乙两个体育用品商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和羽毛球拍．已知每个篮球比每副羽毛球拍贵25元，2个篮球与3副羽毛球拍的费用刚好相等．经洽谈，甲商店的优惠方案是：每购买10个篮球，送1副羽毛球拍；乙商店的优惠方案是：若购买篮球的个数超过80个，则购买羽毛球拍可以打八折． (1)每个篮球和每副羽毛球拍的价格分别是多少？ (2)请用含的式子分别表示出到甲商店和乙商店购买所花的费用． (3)当等于多少时，到两家店购买所花费用一样？ 【答案】(1)每个篮球的价格是75元，每副羽毛球拍的价格是50元 (2)到甲店购买所花费用为：元；到乙店购买所花费用为：元 (3)当时，到两家店购买，所花费用一样 【难度】0.65 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设每个篮球的定价是x元，则每幅羽毛球拍是元，根据两个篮球与三幅球拍的费用相等列出方程，解方程即可； （2）根据甲、乙两商店的优惠方案即可求解； （3）先求出到两家商店购买一样合算时篮球的个数，再根据题意即可求解． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是元． 根据题意列方程，得：， 解得：，则． 答：每个篮球的价格是75元，每副羽毛球拍的价格是50元； （2）解：到甲店购买所花费用为：元， 到乙店购买所花费用为：元； （3）解：令， 解得：． 答：当时，到两家店购买，所花费用一样． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 6. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）年月日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完成全自主快速交会对接．中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．正式开启了中国空间站常态化运营的新篇章．中国空间站模型在某商店价格规定如下表： 购买数量 套 套 套以上 每套价格 元 元 元 某校七年级（1）班和（2）班共人计划购买模型，其中（1）班有多人，不足人，经估算，如果两个班以班为单位每人购买一套，则一共应付元，问： (1)两班各有多少学生？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？ 【答案】(1)（1）班有学生名，（2）班有学生名； (2)两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省元； (3)组织（1）班去购买套模型最省钱． 【难度】0.85 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由（1）班人数确定（2）班人数在范围内，且每套售价元，依题意列方程求解即可； （2）两班共人，超过，计算出即为所省的钱； （3）计算出套模型的钱数与实际比较即可． 【详解】（1）因为（1）班有多人，所以根据题意可知，（2）班人数在范围内，且每套售价元． 设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生． 解得： 答：班有学生名，（2）班有学生名． （2）（元） 答：如果两班联合起来，作为一个团体购买，可省元． （3）因为（1）班有名学生， 正常花费元； 而买套模型则花费元， 元， 所以，组织（1）班去购买套模型最省钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；解题的关键是正确建立方程求解，结合题意分析比较． 7. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒）．问： (1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)当购买50盒乒乓球时，若让你选择一家商店去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？ 【答案】(1)当购买乒乓球40盒时，两种优惠办法付款一样 (2)打算去乙商店购买，见解析 【难度】0.65 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了列一元一次方程解实际问题的运用，方案选择的运用，解答时找到等量关系建立方程式关键，通过计算两家的付款金额比较大小就可以确定购买方式． （1）设购买盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样．先根据两家的收费标准分别表示出费用，再令两种费用相等列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）根据（1）中的代数式，把分别代入计算出钱数即可． 【详解】（1）解：设当购买乒乓球x盒时， 则在甲店付款为：（元） 在乙商店付款为：（元） 两种优惠办法付款一样，由题意可， 解得：． 答：当购买乒乓球40盒时，两种优惠办法付款一样． （2）当购买50盒乒乓球时， 去甲店购买要（元）， 去乙店购买要（元） ， 所以，去乙店购买合算． 8. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩，请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价8折优惠（10张及以上） (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分别购票更省钱？ (3)另有9名家长和6名学生也计划去这个景区游玩，请直接写出这15人按照上述景区票价购票，最少需要多少元？ 【答案】(1)这次参加游玩的家长有5人，学生有4人 (2)不能 (3)945元 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：正确列式是解题的关键 （1）设家长人，则学生人，根据共需630元，进行列式计算，即可作答． （2）根据团体票的算法，列式计算，再与630元进行比较，即可作答． （3）算出分别购买成人票与学生票、团体票的金额，以及9名家长和1名学生购买团体票，5名学生购买学生票，再比较，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设家长人，则学生人， 得 解得 ∴（人） ∴这次参加游玩的家长有5人，学生有4人； （2）解：因为要10张以上才能购买团体票， 则（元） 家长和学生一起购买团体票是元， ∵ ∴不能比分别购票更省钱； （3）解：依题意，分别购票：（元） 购买团体票：（元） 9名家长和1名学生购买团体票，5名学生购买学生票： （元） ∵ ∴最少需要945元 9. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某校计划购买20个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元，A超市的优惠措施为每买一个书柜赠送一个书架，B超市的优惠措施为所有商品八折出售． (1)若规定只能到其中一家超市购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样？ (2)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少需要准备多少元货款？ 【答案】(1)当购买40个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样． (2)至少需要准备8680元货款． 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设学校购买x张书架，再分别表示到两家购买需要的费用，再建立方程求解即可； （2）买一张书柜赠送一只书架相当于所有商品都打折，可得到A买20书柜，到B买80个书架花费最小． 【详解】（1）解：设学校购买x张书架，由题意可知，到A超市所花的钱数为： ； 到B超市所花的钱数为 ， 当费用相等时，则 ， 解得：， ∴当购买40个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样． （2）买一张书柜赠送一只书架的价钱为210元， 即相当于所有商品打折，所以应该到A超市购买20个书架和20个书柜，再到B超市购买80个书架，总花费是： 元， ∴至少要准备8680元； 一元一次方程应用---配套问题 1. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设应安排名工人生产螺母，根据题意，列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产螺母，则名工人生产螺钉，根据“1个螺钉需要配2个螺母”，列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺母，则名工人生产螺钉， 由题意得：， 故选：B． 2. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有260张白铁皮，用 张制盒身可以正好制成整套罐头盒． 【答案】130 【难度】0.85 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设用x张铁皮制盒身，一共有260张铁皮，x张铁皮制盒身，那么就用张制盒底；接下来，根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，列方程求解即可． 【详解】解：设用x张铁皮制盒身，则用张铁皮制盒底， 依题意列方程：， 解得，． 所以用130张制盒身，130张制盒底可以正好制成整套罐头盒． 故答案为：130． 【点睛】本题以配套问题为背景考查了一元一次方程的应用，解本题的关键是根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒列出方程． 3. （23-24七年级上·大庆·期末）第届亚洲夏季运动会于年月日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒的工人人数为人 (2)该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套 【难度】0.65 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）设生产盲盒的工人人数为人，则生产盲盒的工人人数为人，根据该工厂共有名工人，列出一元一次方程，解方程即可； （）设安排人生产盲盒，则安排人生产盲盒，根据盲盒大礼包由个盲盒和个盲盒组成．列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产的人数为人，则生产的人数为人， 于是 解得： （人） 答：生产盲盒的工人人数为人． （2）解：设安排人生产，则安排人生产 于是 解得： （人） 答：该工厂应该安排名工人生产，名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套． 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）工厂某车间制作一批机器部件，一个机器部件由2个A零件和4个B零件组成．若制作一个A零件需千克铝料，一个B零件要用千克铝料．现共有铝料4500千克． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下： 甲：，乙： 根据两位同学所列的方程，请你分别指出下列代数式表示的意义． 甲：x表示______，表示______； 乙：x表示______，表示______． (2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求出能制作出最多的机器部件的数量．写出完整的解答过程． 【答案】(1)甲：A零件的用铝材料的重量， B零件的个数；乙：A零件的个数， B零件用铝材料的重量； (2)个 【难度】0.65 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）根据甲乙所列方程即可求解； （2）根据题意当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件，选择乙所列方程即可求解； 理解未知数的实际意义，根据题意选择恰当的方程求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由所列的方程得 甲：x表示A零件的用铝材料的重量，表示B零件的个数； 乙：x表示A零件的个数，表示B零件用铝材料的重量； 故答案：甲：A零件的用铝材料的重量， B零件的个数；乙：A零件的个数， 表示B零件用铝材料的重量； （2）解：若选择乙的思路，由题意得 当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件； 设制作A零件的个数为个，则有 ， 解得：， 此时制作机器部件最多个数为（个），此时材料刚好用完， 故能制作出最多的机器部件的数量个． 若选择甲的思路，由题意得 当制作A零件和B零件能配套，并且使得铝料4500千克剩余最少时，能制作出最多的机器部件； 设A零件的用铝材料的重量为克，则有 ， 解得：， 此时制作机器部件最多个数为（个），此时材料刚好用完， 故能制作出最多的机器部件的数量个． 5. （23-24七年级上·齐齐哈尔·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 方法：剪6个侧面； 方法：剪4个侧面和5个底面．    现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个，底面个 (2)60个 【难度】0.65 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）由张用方法，就有张用方法，则可分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出侧面的总数即可求解． 【详解】（1）解：裁剪时张用方法，   裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； （2）解：由题意得：，   解得：， 盒子的个数为：， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列代数式的运用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 一元一次方程应用---行程问题（提高） 1. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末），两地相距，甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向行驶相遇后，甲车继续以原速行驶到达地，乙车立即以原速原路返回地 (1)甲车的速度为______；乙车的速度为______；相遇时距地______； (2)甲车到达地时，求乙车距地的路程； (3)直接写出出发多长时间后两车在行驶途中相距．（不用写计算过程） 【答案】(1)80，60，120 (2) (3)出发小时或3小时后两车在行驶途中相距 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据路程速度时间，先求出甲车的速度，再根据相遇时两车的路程之和为，列出方程求出乙车的速度；再根据相遇后乙行走了求出此时距离B的距离即可； （2）根据相遇后行驶甲车到达地，求出此时乙车的路程，再根据（1）所求相遇时距离B的距离即可得到答案； （3）设出发t小时后，两车相距，分当两车相遇前相距时，当两车相遇后相距时，两种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 由题意得，， 解得， ∴甲车的速度为， ∴， 解得， ∴乙车的速度为， ∴相遇时距B地， 故答案为：80，60，120； （2）解：， ∴甲车到达地时，乙车距地的路程为； （3）解：设出发t小时后，两车相距， 当两车相遇前相距时，则， 解得； 当两车相遇后相距时，则， 解得； 综上所述，出发小时或3小时后两车在行驶途中相距． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 2. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍． (1)甲车的行驶速度是________千米/ 时，乙车的行驶速度是________千米/ 时； (2)求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问） (3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A地出发到返回A地过程中，甲车出发________小时，两车相距40千米；甲车在B地休息________小时． 【答案】(1)80，60； (2)小时； (3)；0.5． 【难度】0.4 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据速度等于路程除以时间即可求出乙车的行驶速度，从而得到甲车的行驶速度； （2）设乙车出发后x小时两车相遇，根据题意列出方程求解即可； （3）设甲车出发y小时后，甲乙两车相距40千米，分两车在相遇前相距40千米和两车在相遇后相距40千米讨论列方程求解即可得甲车出发后相距乙车40千米的时间，再求出甲车所用在途时间，即可求得甲车在B地休息的时间． 【详解】（1）解：乙车的行驶速度：（千米/小时） 甲车的行驶速度：（千米/小时）， 故答案为：80，60； （2）解：设乙车出发后x小时两车相遇， 解得 答：乙车出发后小时两车相遇； （3）解：设甲车出发y小时后，甲乙两车相距40千米， 当两车在相遇前相距40千米时：80y+60(y-1)=300-40， 解得y=， 当两车在相遇后相距40千米∶80y+60(y-1)=300+40， 解得y=， ∵乙车出发后，甲车所用在途时间：（小时），甲车所用时间为5小时，甲车比乙车晚2小时到达A地． ∴甲车在B地休息时间为：5+2-6.5=0.5（小时） 故答案为：；0.5． 【点睛】本题考查了一元一次方程解行程问题，掌握解一元一次方程的方法以及路程、速度与时间的关系是解题的关键． 3. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）问题情境：随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店米的光明小区，分钟后乙出发向西前往距离商店米的幸福小区，甲的平均速度为米/分，乙的平均速度为米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 数学思考： （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店的距离为______米，骑手乙离开商店的距离为______米（均用含的式子表示）； 问题解决： （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店的距离时，求的值； （3）已知，骑手甲到达光明小区后立即按原路原速返回商店（其中放外卖的时间忽略不计）．在骑手乙送达幸福小区之前，求甲、乙两人之间距离为米时的值． 【答案】（1），；（2）；（3）的值为或7． 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用以及已知式子的值求代数式的值， （1）根据时间速度等于路程，进行列式，即可作答； （2）用减去甲距离商店的路程，与乙距离商店的路程，然后列出等式，解出的值，即可作答； （3）甲乙距离商店路程相加为米，列出等式，解出的值，注意分类讨论，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 因为甲的平均速度为米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 所以骑手甲离开商店的距离为米； 因为乙的平均速度为米/分，分钟后乙出发 所以骑手乙离开商店的距离为米， 故答案为：，； （2）依题意得， 整理得 则 解得； （3）当甲未达到光明小区前， 则， ， 解得， 当甲达到光明小区时，此时 即，甲达到光明小区后返回， 此时甲距离商店的路程为 则， ， 解得 所以甲、乙两人之间距离为米时，的值为或． 一元一次方程应用---数轴动点问题 1. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知和是同类项，且a、b分别是点A、B在数轴上对应的数． (1)求线段的长度； (2)若点P、Q分别同时从点A、B出发，沿数轴向数轴负方向运动．点P的速度为1个单位/秒，点Q的速度为6个单位/秒，求t秒后线段的长（用含t的代数式表示）． (3)在（2）的条件下，已知点M把线段分成的两条线段的比为2：3，且，当时，求线段的长． 【答案】(1)10 (2)或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用)、已知同类项求指数中字母或代数式的值、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据同类项的定义求出，再根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）先得到，然后分当点Q没超过P时， 当点Q超过点P时，两种情况讨论求解即可； （3）先求出，则点M在数轴上表示的数为2，分情况讨论：①当Q在点M的右侧时， ②当Q在点A的左侧时，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵和是同类项， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意可知，，       ∴当点Q没超过P时，， 当点Q超过点P时，； 综上所述，或； （3）解：∵点M把线段分成的两条线段的比为，且， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M在数轴上表示的数为2， 分情况讨论： ①当Q在点M的右侧时，， 由得， 解得， 代入，得； ②当Q在点A的左侧时，， 由得， 解得， 代入，得，                 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，线段的和差计算，数轴上两点距离，灵活运用所学知识是解题的关键． 2. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践：A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12． (1)数轴上点A表示的数为 　 　，点B表示的数为 　 　； (2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒； ①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，P，Q两点重合； ③请直接写出t为何值时，P，Q两点相距5个单位长度． 【答案】(1)； (2)①；；②；③或 【难度】0.85 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）先根据点C表示的数为6，BC＝4，表示出点，然后根据AB＝12，表示出点A即可； （2）①求出，，根据A、表示的数求出、表示的数即可； ②根据在时间t内，P运动的长度-Q运动的长度=AC的长，列出方程，解方程即可； ③利用“点，相距5个单位长度”列出关于的方程，并解答即可． 【详解】（1）点对应的数为6，， 点表示的数是， ， 点表示的数是， 故答案是：-10；2． （2）①由题意得：，，如图所示： 在数轴上点表示的数是， 在数轴上点表示的数是； ②当点，重合时，， 解得：； ③当点，相距6个单位长度，Ｐ在Ｑ的左侧时：， 解得， Ｐ在Ｑ的右侧时：， 解得， 综上分析可知，当或时，点，相距5个单位长度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 3. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知点O为数轴的原点，数轴上两点A、B，点A在原点的左侧，且，点A表示的数的平方等于16． (1)请直接写出点A与点B表示的数； (2)点C为线段OB上一点，若，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，点M以2个单位/秒的速度从点A出发沿着数轴的正方向运动；同时点N以3个单位/秒的速度从点C出发，也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴向终点A运动，直到点M到与点N相遇，点M停止运动，点N继续向点A运动，点P为AN的中点，点Q为MP的中点，设点N运动的时间为t，在此运动过程中，当M、N相遇后，t为何值时? 【答案】(1)点A表示的数是-4，点B表示的数是12 (2)8 (3)6 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据题意结合图形直接求解即可； （2）设点C表示的数是，则，，根据题意列出方程求解即可； （3）先求出当时间为4秒时点M与点N相遇．根据相遇后的情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数的平方等于16，点A在原点的左侧， ∴点A表示的数是-4， ∵OB=3OA， ∴点B表示的数是12． （2）设点C表示的数是，则，， ∵， ∴， 解得， ∴点C所表示的数是8． （3）∵点C表示的数为8，当点M与点N相遇时则有，， 解得， ∴当时间为4秒时点M与点N相遇， 相遇后，点M表示的数为4，，， ∵点P为AN的中点， ∴， ∵点Q为MP的中点， ∴， ∵， ， 解得， ∴当M、N相遇后，秒时． 【点睛】题目主要考查线段动点问题及一元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键． 4. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是关于x的一元一次方程． (1)求n的值． (2)已知线段，点C是线段上一点，点D是的中点，且，求线段CD的长． (3)在（2）的条件下，已知线段在数轴上，点A所表示的数为，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有？ 【答案】(1)2 (2)1 (3)秒或秒 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义直接求值即可． （2）根据数量关系推出C的中点位置，直接代值计算即可． （3）动点问题，分类讨论计算即可． 【详解】（1）因为是关于x的一元一次方程， 所以，， 所以． （2）因为，所以． 又因为，，所以， 因为D是的中点，所以； （3）根据题意建立数轴： ①在数轴上，当B点在A点右侧时： 设t秒时 ， ， 根据题意可列方程：， 解得：或． ②在数轴上，当B点在A点左侧时： 根据题意可列方程：， t值为负数，不符合题意，舍去． 答：秒或秒时，． 【点睛】此题考查动点问题和一元一次方程，解题关键是找出每个点对应的数，然后分类讨论进行求解． 5. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知数轴上三点对应的数分别为、0、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为______； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点沿数轴向左运动，同时点和点分别从点和点出发以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿数轴向左运动．设运动时间为秒，当点到点、点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)x的值是或5 (4)t的值为或4 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）MN的长为，即可解答； （2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值； （3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算； （4）分别根据①当点A和点B在点P同侧时；②当点A和点B在点P异侧时，进行解答即可； 【详解】（1）解：的长为； （2）根据题意得：， 解得：， ∴对应的数为； （3）①当点P在点M的左侧时， 根据题意得： 解得： ②P在点M和点N之间时，则，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间， ③点P在点N的右侧时， 解得：， ∴x的值是或5； （4）设运动t秒时，点P到点A，点B的距离相等，即， 点P对应的数是，点A对应的数是，点B对应的数是 ①当点A和点B在点P同侧时，点A和点B重合， 所以，解得，符合题意， ②当点A和点B在点P异侧时，点A位于点P的左侧，点B位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点A在点P左侧，且点A运动的速度大于点P的速度，所以点A永远位于点P的左侧）， 故， 所以，解得，符合题意， 综上所述，t的值为或4； 【点睛】此题主要考查了数轴上的两点之间的距离，绝对值方程的应用，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据A，B位置的不同进行分类讨论得出是解题关键， 6. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，综合运用所学知识和解题方法，这样才能提高我们解决问题的能力，下面就从学完《数轴》发现的规律，开始我们的探究之旅吧! 规律发现： (1)点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段的中点C表示的数为 ； (2)点A表示的数是，点B表示的数是5，则线段的中点C表示的数为 ； 发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段的中点C表示的数为 ． 直接运用： 数轴上有三个不重合的点A、B、C，点A表示的数为，点B表示的数为，C表示的数为，且，则x值为 ． 类比迁移： 如图：，若射线绕O点每秒的速度顺时针旋转，射线绕O点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？    问题解答： ①设运动时间为t秒，请用含t的式子表示： （        ）度； （         ）度； （        ）度． ②请直接写出你探究的所有符合条件的运动时间． 【答案】(1) (2)，发现：，直接运用：，类比迁移：①，②秒或秒或秒 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】规律发现：（1）根据线段的中点的定义解答即可； （2）根据线段的中点的定义解答即可； 发现：根据线段的中点的定义解答即可； 直接运用：根据，得到点A在点B和点C中点上，利用中点的定义，得出，求出x即可， 类比迁移：①根据题意，在没运动前，则，，则运动后；；；②分析出2秒时与重合，是与的角平分线；秒时与重合，是与的角平分线，3秒时与重合，是与的角平分线；4秒时与直线重合，是与的角平分线；分别计算出时间，再确定符合实际的结果即可． 【详解】（1）解：在数轴上，点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段的中点C表示的数为 ， 故答案为：； （2）解：在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数是5，则线段的中点C表示的数为； 故答案为：； 发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段的中点C表示的数为； 故答案为：； 直接运用：， 点A在点B和点C中点上， ，即， 解得：； 故答案为：； 类比迁移：①根据题意，在没有运动前， ， ， ， ， ， 在运动后， 射线绕O点每秒的速度顺时针旋转，射线绕O点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转， ；；； 故答案为：； ②， ， 经分析知2秒时与重合，所以在2秒以前设运动秒时，是与的角平分线， ， 解得：； 经分析知2秒时与重合，秒时与重合，所以在2秒到秒间，是与的角平分线，设运动秒时， ， 解得：； 3秒时与重合，所以在3秒以前设运动秒时，是与的角平分线， ， 解得：． 4秒时与直线重合，设3秒后4秒前运动秒时是与的角平分线， ， 解得：（舍去）． 故运动秒或秒或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 7. （23-24七年级上·黑龙江·期末）已知是关于x的二次多项式，并且二次项系数为8，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b． (1)请直接写出：_________，_________； (2)点P为数轴上的一点，若；求的长度； (3)有一动点Q从原点出发沿数轴正方向运动，同时，动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴正方向运动，点M，Q，N运动的速度分别是每秒4个单位长度，每秒2个单位长度，每秒1个单位长度．若M，Q，N三个点中，恰有一个点是以另外两个点为端点的线段的中点，请直接写出点Q表示的数． 【答案】(1)，8 (2)12或36 (3)4或13或 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、多项式的项、项数或次数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据多项式的次数和项数的定义，即可求解； （2）设点P对应的数为p，然后分两种情况：当点P在点A，B之间时，当点P在点B的右侧时，即可求解； （3）设三个点的运动时间为t秒，然后分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，并且二次项系数为8， ∴， ∴； 故答案为：；8． （2）解：设点P对应的数为p， 当点P在点A，B之间时， ∵， ∴， 解得：， 此时； 当点P在点B的右侧时， ∵， ∴， 解得：， 此时； 综上所述，的长度为12或36； （3）解：设三个点的运动时间为t秒， 根据题意得：点M对应的数为，点Q对应的数为，点N对应的数为， 当点M与点Q重合时，，解得：， 当点M与点N重合时，，解得：， 当点N与点Q重合时，，解得：， 当点Q为的中点时，，此时， ， 解得：， 此时点Q对应的数为； 当点M为的中点时，，此时， ， 解得：， 此时点Q对应的数为； 当点N为的中点时，，此时， ， 解得：， 此时点Q对应的数为； 当，点Q为的中点时，此时， ， 解得：，不合题意，舍去； 综上所述，点Q对应的数为4或13或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，多项式的项数和次数的定义，一元一次方程的应用，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 8. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在数轴上，点为数轴的原点，点所表示的数为，点所表示的数为8．点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点从点出发沿数轴运动，速度为每秒1个单位长度．设点运动的时间为秒． (1)若点向左运动，当时，、两点之间的距离为__________个单位长度； (2)若点向左运动，当点运动到原点时，、两点同时停止运动．在运动过程中，当为何值时，、两点到原点的距离相等； (3)在点、运动的过程中，当、两点之间的距离为2个单位长度时，请直接写出的值． 【答案】(1)16 (2)当秒或5秒时，、两点到原点的距离相等； (3)当秒或秒或11秒或9秒时，、两点之间的距离为2个单位长度． 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】本题考查了数轴上动点的运动，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值方程等知识． （1）分别求出当时，点、表示的有理数，然后求距离即可； （2）由题意知，点表示的有理数为，点表示的有理数为，分两种情况讨论，列式计算求解即可； （3）由题意知，分两种情况，点向左运动和点向右运动，根据题意分别列式，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，点表示的有理数为，点表示的有理数为7， ∴两点之间的距离为个单位长度， 故答案为：16； （2）解：由题意知，点表示的有理数为，点表示的有理数为， 由题意得或， 解得或； 答：当秒或5秒时，、两点到原点的距离相等； （3）解：当点向左运动时，点表示的有理数为，点表示的有理数为， 由题意得， 整理得， 解得或； 当点向右运动时，点表示的有理数为，点表示的有理数为， 由题意得， 整理得， 解得或； 答：当秒或秒或11秒或9秒时，、两点之间的距离为2个单位长度． 9. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）点A，B在同一条直线上，点C在线段的延长线上，如果，那么我们把点C叫做点A关于点B的伴随点． (1)如图，在数轴上，点E表示的数是，点E关于原点O的伴随点F表示的数是______； (2)在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值； (3)如图，数轴上的三个点P，Q，R分别表示的数是，1，4．有一动点M从点Q出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M，N同时停止运动．设动点M，N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P，M，N三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或或 【难度】0.4 【知识点】数轴上的动点问题、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查新定义下数轴上两点之间的距离，熟练掌握新定义列出方程求值，是解题的关键． （1）求出，根据伴随点的定义求出，即得F点的值； （2）根据伴随点的定义，得到，代入m．即可求的m得值； （3） 当时，，，若点P关于点M的伴随点是点N， ，求得(舍去)；若点N关于点M的伴随点是点P， ，求得；当时，，，若点M关于点P的伴随点是点N，，求得；若点N关于点P的伴随点是点M，，求得； 【详解】（1）根据题意： ∵， ∴， ∴点F表示的数是2． 故答案为：2； （2）根据题意：，点G在点E、F之间， ∵， ∴， 解得：． （3）t秒后，N点的位置为：，M点的位置为：， 点P表示的数是， ①当时，点M在点P、N之间， 则， 若点P关于点M的伴随点是点N，有：， 则，解得(舍去)； 若点N关于点M的伴随点是点P，有：， 则， 解得； ②当时，点在P点M、N之间， ，， 若点N关于点P的伴随点是点M，有：， 则， 解得； 若点M关于点P的伴随点是点N，有：， 则， 解得； 综上：或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次方程及应用 方程的定义及方程的解 1. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）下列式子不是方程的是（    ） A． B． C． D． 2. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 3. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中，是方程的解是（    ） A． B． C． D． 4. （20-21七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解为的是（  ） A． B． C． D． 5. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）列等式表示“x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差”为 ． 等式的基本性质 1. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列运用等式的性质对等式的变形中，正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2. （23-24七年级上·黑龙江·期末）根据等式的性质，下列变形不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）根据等式的基本性质，下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，那么下列各式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 6. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列变形：①若，则；②若，则；③若，则 ④若，则；⑤若，则．其中一定正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7. （21-22七年级上·黑龙江鸡西·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 一元一次方程的定义 1. （23-24七年级上·黑龙江·期末）下列等式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列所给的方程是一元一次方程的是（） A． B． C． D． 3. （23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列等式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）关于x的方程是一元一次方程，则m的值是 ． 6. （23-24七年级上·黑龙江·期末）若方程是关于的一元一次方程，则 7. （23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）若是关于x的一元一次方程，则k的值为 ． 8. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 9. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知是关于x的一元一次方程，求m的值． 一元一次方程解法 1. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2. （21-22七年级上·哈尔滨·期末）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得 3. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： (1)； (2)． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1)； (2)． 5. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）解方程： (1) (2) 6. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程： (1) (2) 7. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）解方程： (1)； (2)． 8. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程 (1)； (2)． 9. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程： 10. （21-22七年级上·黑龙江大庆·期末）解下列方程： (1) (2) (3) (4) 一元一次方程解的综合应用 1. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）方程与方程的解相同，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于的方程与方程的解相同，则的值为 ． 3. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）关于y的方程与方程的解相同，则m的值为 ． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）有一道解方程的题：，□处在印刷时被油墨盖住了，查答案知这个方程的解是，那么□处的数字应该是 ． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列图形都是由面积为的正方形按一定的规律组成的，其中，第个图形中面积为的正方形有个，第个图形中面积为的正方形有个，⋯⋯，按此规律，则第 个图形中面积为的正方形的个数为． 6. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于x的方程的解为，则的值为 ． 7. （23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）定义一种新运算：，若，则 ． 新定义方程问题 1. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）“”表示一种运算符号，其意义是，如果，那么x等于（    ） A．1 B． C．3 D．2 2. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）定义一种新的运算“”：．若，则的值是 ． 3. （23-24七年级上·黑龙江·期末）若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平安方程”．例如，方程的解是，而，则方程是“平安方程”．如果关于的一元一次方程是“平安方程”，那么的值是 ． 4. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而 的解为，而 将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程（）的解为，则称之为“奇异方程”，请解决以下问题： (1)方程是“奇异方程”吗？请说明理由； (2)若方程是“奇异方程”，求m的值． 5. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”． 例如：，，且是方程的解，此方程为“合并式方程”． 请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)关于的一元一次方程是“合并式方程”，求n的值． 6. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：关于x的方程与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 一元一次方程应用---行程问题 1. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了一条长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了一条长96米的隧道，求这列火车的长度，设这列火车的长度为米，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）A，两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、两地同时出发，相向而行，已知甲车速度120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过小时两车相距50千米，则的值是（   ） A．2 B． C．10或 D．2或 3. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）甲、乙两列火车从相距80千米的两站同时出发，同向而行，甲车在后，每小时行驶70千米，乙车在前，每小时行驶50千米，则经过________小时后两车相距20千米？（    ） A．3 B． C．或 D．3或5 4. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用3小时．若船速为，水速为，则A港和B港相距 ． 5. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长 米． 一元一次方程应用---数字、日历问题 1. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小敏同学编了下面的数学谜题，要求在题中“”内填入同一个数字． 小聪设“”内的数字为，则可列出方程为（　　）    A． B． C． D． 2. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）三个连续自然数的和为12，则这三个连续自然数的积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．60 3. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和为39，则这三个数中，最大的数是（    ） A．13 B．18 C．20 D．24 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）有一列数，按一定规律排列成，，，，，，其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是 ． 5. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图．在2021年11月份的日历上，任意框出正方形排列的四个数，若这四个数的和是52，则这四个数中最大的数是 ． 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 6. （21-22七年级上·黑龙江鹤岗·期末）你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你知道吗？ (1)在上图的月历中，横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？ (2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？ 一元一次方程应用---积分问题 1. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜的场数为（    ） A．7场 B．8场 C．9场 D．10场 2. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了 场． 3. （20-21七年级上·黑龙江鸡西·期末）某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢了14场球，负5场，共得19分，问这个队胜了几场？ 4. （23-24七年级上·黑龙江·期末）民间有许多与除夕相关的习俗．某学校组织了“除夕习俗我知道”的知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 25 0 100 B 24 1 94 C 22 3 82 D 19 6 64 (1)每答对一道题得_________分，每答错一道题得_________分； (2)参赛者E答对了m道题，用含有m的式子表示他的得分是多少？ (3)参赛者F得70分，他答错了多少道题？ 一元一次方程应用---工程问题 1. （22-23七年级上·黑龙江七台河·期末）某工程要在天内完成，现由甲先做3天，再甲、乙合作，正好如期完成．若甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2. （20-21七年级上·黑龙江佳木斯·期末）某项工程，甲单独完成需要45天，乙单独完成需要30天，若乙先单独做22天，剩下的由甲去完成，问：甲、乙一共用几天可完成全部工作？设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整理一批图书，由一个人做要完成．现计划有一部分人先做，再增加2人和他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作? 4. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某厂一所中学的冬季校服定做任务计划用、两台大型设备进行加工，如果单独用型设备，需要45天做完：如果单独用型设备，需要30天做完．为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制， (1)填空：型设备的工作效率是________，型设备的工作效率是________；两台设备同时加工，共需________天才能完成． (2)若两台设备同时加工10天后，型设备出了故障，暂时不能工作，此时离发冬季校服时间还有15天，如果由型设备单独完成剩下的任务，会不会影响学校发校服的时间？请通过列方程计算，说明理由． 5. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有一工程打算让甲、乙两个工程队完成，甲队单独完成这项工程需要60天，乙队单独完成这项工程需90天；若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成． （1）甲、乙两队合作多少天？ （2）甲队施工一天需付工程款4万元，乙队施工一天需付工程款2.5万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 6. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）第五中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件，且单独加工这批服装甲工厂比乙工厂要多用20天，在加工过程中，学校需付甲工厂每天费用80元，需付乙工厂每天费用120元． （1）求这批校服共有多少件； （2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度提高25％，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天； （3）经学校研究制定如下方案，方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问的方式完成，请你通过计算帮学校选择一种省钱的加工方案． 一元一次方程应用---古代数学问题 1. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2. （21-22七年级上·黑龙江黑河·期末）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”译文：良马平均每天能跑里，驽马平均每天能跑里．现驽马出发天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？请算出良马 天能够追上驽马． 4. （23-24七年级上·黑龙江·期末）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？”题意是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问有多少辆车？设有辆车，根据题意，可列方程是 ． 5. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则“x”的值为 ． 6. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2是一个未完成的幻方，则的值为 ．    一元一次方程应用---销售问题 1. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某件商品现在的售价是68元，比原价降低了，则这件商品的原价是（   ） A．102元 B．元 C．元 D．80元 2. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一种商品每件成本价为a元，原来按照成本增加定出价格（即标价），由于受疫情影响产品出现滞销，为了减少库存积压，按标价的九折出售，每件还能盈利（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某种羽绒服的进价为元，出售时标价为元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为，则可打（    ） A．4折 B．5折 C．6折 D．7折 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）一家商店将某种服装按进价提高后标价，又以9折优惠卖出，结果每件仍获利16元，这种服装每件的进价是多少？ 5. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，光明社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用， (1)第一次购买了20瓶酒精和30瓶消毒液，每瓶酒精的价格比每瓶消毒液的价格多5元，共花费了350元，本次购买每瓶酒精和每瓶消毒液的价格各是多少元？ (2)第二次又购买了酒精和消毒液共计60瓶，（1）中酒精和消毒液每瓶价格分别下降了30%和20%，第二次按变化后的价格购买，共花费了315元，第二次购买了酒精和消毒液各是多少瓶？ 6. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）某商场进行促销活动，花200元可办理一张会员卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），凭会员卡可在这家商场按标价的8折购物． (1)顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？ (2)小李要买一台标价为3000元的电视，如何购买合算？小李能节省多少元钱？ (3)小李按合算的方案，把这台电视买下，如果商场还能盈利30%，这台电视的进价是多少元？ 7. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）平价商场恰好用3800元购进甲，乙两种商品共50件，若甲种商品每件进价70元，乙种商品每件进价80元，且统一标价120元出售． (1)求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该商场售出这批商品的一部分后，恰逢“元旦”对剩余商品进行促销，以标价的8折售完所有剩余商品，共获利1480元，且促销商品中乙的件数是甲件数的1.5倍，求促销商品中甲商品有多少件？ 8. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某文教商店有，两种型号的钢笔共10支，其中型钢笔比型钢笔多2支．请回答下列问题： (1)型钢笔有__________支，型钢笔有__________支； (2)该文教商店每支型钢笔的售价比每支型钢笔的售价多4元，，两种型号的钢笔全部售出后，销售的总金额为96元．求每支型钢笔的售价是多少元？ 9. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）“百兴”商场从“高远”加工厂购进，两种商品，种商品购价每件50元，种商品的购价每件60元，购进种商品的数量比购进种商品数量的2倍多4件，购进，两种商品共用1600元． (1)求购进种商品多少件？ (2)“百兴”商场再次从“高远”加工厂购进，两种商品，购进，两种商品的数量与原来购进，两种商品数量都相同，此时，“高远”加工厂将种商品每件加价10元，种商品打折出售，此次购进，两种商品所需总钱数是原来购进种商品所需总钱数的倍，求种商品打几折出售？ 10. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）某商店分两批购进同一款文具盒共个，第一批文具盒每个进价为元，第二批文具盒每个进价为元，共花费元. (1)两批文具盒分别购进多少个？ (2)在实际销售中，第一批文具盒全部按标价元售出，第二批文具盒以标价元售出部分后，为了清理库存，将剩余的文具盒打折全部售出，两批共获得利润元.第二批文具盒中按标价售出的有多少个？ 11. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“莲莲”“宸宸”分别代表了良渚古城遗址、西湖、世界遗产京杭大运河，以它们的形象制作的纪念品种类很多．丽才纪念品店恰好用3850元购进甲、乙两种带有这三个吉祥物图案的挂件，其中甲种挂件30个，乙种挂件20个，甲种挂件每个进价比乙种挂件每个进价少5元，且两种挂件每个售价均为120元． (1)求购进甲、乙两种挂件每个进价分别是多少元? (2)由于这两种挂件十分畅销，丽才纪念品店按原进价再次购进甲、乙两种挂件，其中甲种挂件的个数是乙种挂件个数的2倍．若两次购进的挂件全部售出共获利4750元，求丽才纪念品店第二次购进甲种挂件多少个？ 一元一次方程应用---和差倍分问题 1. （22-23七年级上·黑龙江七台河·期末）一个数的与2的差等于这个数的一半，这个数是（   ） A．12 B． C．16 D．－16 2. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）甲、乙两个仓库的货物质量之比是，从甲仓库运出4吨货物给乙仓库后，两个仓库货物的质量比是，甲仓库原来有（　　）吨货物． A．12 B．16 C．36 D．8 3. （21-22七年级上·黑龙江黑河·期末）逊克县中小学校的第二课堂活动开展的有声有色．某校合唱团30人，舞蹈队20人要共同外出表演，现根据演出需要，从舞蹈队中抽调了部分同学参加合唱团，使合唱团的人数恰好是舞蹈队人数的4倍．设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱团，可列方程为（    ）． A．4（30﹣x）＝20＋x B．30＋x＝4（20﹣x） C．30﹣4x＝20＋x D．30﹣x＝4（20﹣x） 4. （22-23七年级上·黑龙江·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4梨，多12梨；每人6梨，恰好分完，”设孩童有名，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5. （22-23七年级上·黑龙江七台河·期末）有若干人乘车，每3个人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2个人乘一辆车，最终剩9个人无车可乘，则一共有 个人乘车． 6. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读可以收获知识、开阔视野．七年级1班开展读书活动，老师把一些图书分给全班学生阅读，若每人分3本，则剩余12本：若每人分4本，则还缺34本．这个班有 名学生． 7. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小亮和小刚两位同学准备将一批图书分给班级的写作兴趣小组的同学阅读．请根据两人的对话信息，求这批图书有多少本？ 如果每个同学分本，这批图书还剩余本． 如果每个同学分本，这批图书恰好分完．   一元一次方程应用---分段计费问题 1. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户月份交水费元，则所用水为 吨． 月用水量 不超过吨的部分 超过吨不超过吨的部分 超过吨的部分 收费标准（元/吨） 2. （20-21七年级上·黑龙江黑河·期末）某地自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示 月用水量 不超过16吨的部分 超过16吨不超过 30吨的部分 超过30吨的部分 收费标准（元/吨） 2.5 3.5 4.0 (1)若张老师家6月份的用水量是12吨，则张老师应付水费多少元？ (2)若张老师家7月份的用水是22吨，则张老师应付水费多少元？ (3)若张老师家8月份用水量为a吨（a不超过30），则张老师应付水费多少元？（用含a的代数式表示）； (4)若张老师家9月份付水费82元，求张老师家9月份的用水量． 3. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额： 消费金额（元） 小于或等于500元 500～1000 1000～1500 1500以上 返还金额（元） 0 60 100 150 注：500～1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同． 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1200元的商品，则消费金额为960元，获得的优惠额为（元）． (1)购买一件标价为1800元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ (2)若顾客在该商场购买一件标价x元的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x的代数式表示） (3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x元的商品后，第二次又购买了一件标价为800元的商品，两件商品的优惠额共为768元，则这名顾客第一次购买商品的标价是多少？ 一元一次方程应用---方案问题 1. （21-22七年级上·黑龙江鹤岗·期末）为了培养同学们的社会实践能力。王老师利用假期领部分同学乘汽车到农村去搞社会调查。已知每张汽车票50元，甲车主说：如果乘我的车，可以打八折优惠。乙车主说：如果乘我的车，学生九折优惠，老师可以不买票 (1)已知王老师带了x名同学，若乘甲车需_________ 元，若乘乙车需_________ 元 (2)若王老师带了6名同学参加调查活动，请问他们乘哪辆车合算？ (3)若实际出发时，王老师发现他们乘坐两辆车的费用相同，那么王老师实际带多少名同学？ 2. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款． 现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球桶． (1)若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元?（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算? (3)当时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方法，并计算需付款多少元? 3. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的付款，现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条． (1)若该客户按方案①购买，需付款_________元（用含的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款____________元（用含的代数式表示）． (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)为何值时，两种优惠方案所需付款相同？ 4. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）为了有序恢复线下教学，某学校计划购买20箱消毒液和一些口罩（口罩不少于20包）用于教职员工的日常防疫．现从甲、乙两家医药公司了解到：同型号的产品价格相同，消毒液每箱21元，口罩每包7元，甲医药公司的优惠政策为每买一箱消毒液赠送一包口罩，乙医药公司的优惠政策为所有商品打八折． (1)若规定只能到其中一个医药公司购买，什么情况下甲乙两个医药公司的购买费用相同？ (2)若学校想购买20箱消毒液和100包口罩，且可到两家医药公司自由选购．你认为至少要准备多少钱？并说明理由． 5. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）为了丰富学生的课外活动，某校决定购买100个篮球和副羽毛球拍．经调查发现：甲、乙两个体育用品商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和羽毛球拍．已知每个篮球比每副羽毛球拍贵25元，2个篮球与3副羽毛球拍的费用刚好相等．经洽谈，甲商店的优惠方案是：每购买10个篮球，送1副羽毛球拍；乙商店的优惠方案是：若购买篮球的个数超过80个，则购买羽毛球拍可以打八折． (1)每个篮球和每副羽毛球拍的价格分别是多少？ (2)请用含的式子分别表示出到甲商店和乙商店购买所花的费用． (3)当等于多少时，到两家店购买所花费用一样？ 6. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）年月日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完成全自主快速交会对接．中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．正式开启了中国空间站常态化运营的新篇章．中国空间站模型在某商店价格规定如下表： 购买数量 套 套 套以上 每套价格 元 元 元 某校七年级（1）班和（2）班共人计划购买模型，其中（1）班有多人，不足人，经估算，如果两个班以班为单位每人购买一套，则一共应付元，问： (1)两班各有多少学生？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？ 7. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒）．问： (1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)当购买50盒乒乓球时，若让你选择一家商店去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？ 8. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩，请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价8折优惠（10张及以上） (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分别购票更省钱？ (3)另有9名家长和6名学生也计划去这个景区游玩，请直接写出这15人按照上述景区票价购票，最少需要多少元？ 9. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某校计划购买20个书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元，A超市的优惠措施为每买一个书柜赠送一个书架，B超市的优惠措施为所有商品八折出售． (1)若规定只能到其中一家超市购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家超市购买所付货款都一样？ (2)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少需要准备多少元货款？ 一元一次方程应用---配套问题 1. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设应安排名工人生产螺母，根据题意，列出方程（    ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有260张白铁皮，用 张制盒身可以正好制成整套罐头盒． 3. （23-24七年级上·大庆·期末）第届亚洲夏季运动会于年月日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事，现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有名工人． (1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的倍少人，请求出生产盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由个盲盒和个盲盒组成，已知每个工人平均每天可以生产个盲盒或个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）工厂某车间制作一批机器部件，一个机器部件由2个A零件和4个B零件组成．若制作一个A零件需千克铝料，一个B零件要用千克铝料．现共有铝料4500千克． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下： 甲：，乙： 根据两位同学所列的方程，请你分别指出下列代数式表示的意义． 甲：x表示______，表示______； 乙：x表示______，表示______． (2) 请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求出能制作出最多的机器部件的数量．写出完整的解答过程． 5. （23-24七年级上·齐齐哈尔·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） 方法：剪6个侧面； 方法：剪4个侧面和5个底面．    现有38张硬纸板，裁剪时张用方法，其余用方法． (1)用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？ 一元一次方程应用---行程问题（提高） 1. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末），两地相距，甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向行驶相遇后，甲车继续以原速行驶到达地，乙车立即以原速原路返回地 (1)甲车的速度为______；乙车的速度为______；相遇时距地______； (2)甲车到达地时，求乙车距地的路程； (3)直接写出出发多长时间后两车在行驶途中相距．（不用写计算过程） 2. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的倍． (1)甲车的行驶速度是________千米/ 时，乙车的行驶速度是________千米/ 时； (2)求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问） (3)若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A地出发到返回A地过程中，甲车出发________小时，两车相距40千米；甲车在B地休息________小时． 3. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）问题情境：随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利．如图，某天甲乙两名骑手从商店到同一条街道上的两个小区送外卖，由于备餐时间不同，甲先出发向东前往距离商店米的光明小区，分钟后乙出发向西前往距离商店米的幸福小区，甲的平均速度为米/分，乙的平均速度为米/分，设骑手甲行驶的时间为分钟． 数学思考： （1）在两人送外卖到达目的地前，骑手甲离开商店的距离为______米，骑手乙离开商店的距离为______米（均用含的式子表示）； 问题解决： （2）在两人送外卖到达目的地前，当骑手甲距光明小区的距离等于骑手乙距商店的距离时，求的值； （3）已知，骑手甲到达光明小区后立即按原路原速返回商店（其中放外卖的时间忽略不计）．在骑手乙送达幸福小区之前，求甲、乙两人之间距离为米时的值． 一元一次方程应用---数轴动点问题 1. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知和是同类项，且a、b分别是点A、B在数轴上对应的数． (1)求线段的长度； (2)若点P、Q分别同时从点A、B出发，沿数轴向数轴负方向运动．点P的速度为1个单位/秒，点Q的速度为6个单位/秒，求t秒后线段的长（用含t的代数式表示）． (3)在（2）的条件下，已知点M把线段分成的两条线段的比为2：3，且，当时，求线段的长． 2. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践：A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12． (1)数轴上点A表示的数为 　 　，点B表示的数为 　 　； (2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒； ①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，P，Q两点重合； ③请直接写出t为何值时，P，Q两点相距5个单位长度． 3. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知点O为数轴的原点，数轴上两点A、B，点A在原点的左侧，且，点A表示的数的平方等于16． (1)请直接写出点A与点B表示的数； (2)点C为线段OB上一点，若，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，点M以2个单位/秒的速度从点A出发沿着数轴的正方向运动；同时点N以3个单位/秒的速度从点C出发，也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴向终点A运动，直到点M到与点N相遇，点M停止运动，点N继续向点A运动，点P为AN的中点，点Q为MP的中点，设点N运动的时间为t，在此运动过程中，当M、N相遇后，t为何值时? 4. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是关于x的一元一次方程． (1)求n的值． (2)已知线段，点C是线段上一点，点D是的中点，且，求线段CD的长． (3)在（2）的条件下，已知线段在数轴上，点A所表示的数为，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有？ 5. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知数轴上三点对应的数分别为、0、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为______； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点沿数轴向左运动，同时点和点分别从点和点出发以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿数轴向左运动．设运动时间为秒，当点到点、点的距离相等时，直接写出的值． 6. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，综合运用所学知识和解题方法，这样才能提高我们解决问题的能力，下面就从学完《数轴》发现的规律，开始我们的探究之旅吧! 规律发现： (1)点A表示的数是4，点B表示的数是10，则线段的中点C表示的数为 ； (2)点A表示的数是，点B表示的数是5，则线段的中点C表示的数为 ； 发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段的中点C表示的数为 ． 直接运用： 数轴上有三个不重合的点A、B、C，点A表示的数为，点B表示的数为，C表示的数为，且，则x值为 ． 类比迁移： 如图：，若射线绕O点每秒的速度顺时针旋转，射线绕O点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？    问题解答： ①设运动时间为t秒，请用含t的式子表示： （        ）度； （         ）度； （        ）度． ②请直接写出你探究的所有符合条件的运动时间． 7. （23-24七年级上·黑龙江·期末）已知是关于x的二次多项式，并且二次项系数为8，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b． (1)请直接写出：_________，_________； (2)点P为数轴上的一点，若；求的长度； (3)有一动点Q从原点出发沿数轴正方向运动，同时，动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴正方向运动，点M，Q，N运动的速度分别是每秒4个单位长度，每秒2个单位长度，每秒1个单位长度．若M，Q，N三个点中，恰有一个点是以另外两个点为端点的线段的中点，请直接写出点Q表示的数． 8. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在数轴上，点为数轴的原点，点所表示的数为，点所表示的数为8．点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点从点出发沿数轴运动，速度为每秒1个单位长度．设点运动的时间为秒． (1)若点向左运动，当时，、两点之间的距离为__________个单位长度； (2)若点向左运动，当点运动到原点时，、两点同时停止运动．在运动过程中，当为何值时，、两点到原点的距离相等； (3)在点、运动的过程中，当、两点之间的距离为2个单位长度时，请直接写出的值． 9. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）点A，B在同一条直线上，点C在线段的延长线上，如果，那么我们把点C叫做点A关于点B的伴随点． (1)如图，在数轴上，点E表示的数是，点E关于原点O的伴随点F表示的数是______； (2)在（1）的条件下，点G表示的数是m，若点F关于点G的伴随点是点E，求m的值； (3)如图，数轴上的三个点P，Q，R分别表示的数是，1，4．有一动点M从点Q出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动；同时，另一动点N从点R出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动．当动点N运动至点P处时，两动点M，N同时停止运动．设动点M，N的运动时间为t秒，在运动过程中，若P，M，N三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的伴随点，请直接写出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$