专题05 几何图形初步（11基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题05 几何图形初步 立体几何与平面图形 1. （22-23七年级上·黑龙江七台河·期末）如图中棱柱的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2. （21-22九年级·黑龙江大庆·期末）计算制作一个圆柱体需要多少铁皮，应该计算的是（　　） A．侧面积+一个底面积 B．侧面积 C．底面积 D．侧面积+两个底面积 3. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下面的四个几何图形中，表示平面图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的立体图形的名称是 ． 5. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）与九棱锥的棱数相等的是 棱柱． 6. （21-22七年级上·黑龙江鸡西·期末）在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为 平方厘米． 不同方向看几何体 1. （20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看该几何体得到的图是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面几何体中，从上面看不是圆形的为（    ） A． B． C． D． 3. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）是的（　　）面． A．前面 B．上面 C．左面 D．右面 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各选项中水平放置的几何体，从左面看不是长方形的是(        ) A． B． C． D． 5. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，若在此基础上（不改变原几何体中小正方形的位置），继续添加相同的小正方体，搭成一个大正方体，至少还需要 个小正方体． 6. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，一个几何体是由几个大小相同的小立方块搭成的.请你分别从正面、左面、上面观察该几何体，并在下面相应的网格中画出你所看到的几何体的形状图.    7. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是由10个边长为同样大小的小正方体搭成的几何体； (1)请你在网格中分别画出它的从左面看和从上面看的图形； (2)求出这个几何体的表面积是多少． 8. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示是由棱为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个方向看到的形状图． （1）请你观察它是由 　 　个立方体小木块组成的； （2）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数； （3）求出该几何体的表面积（包含底面）． 几何体展开图 1. （23-24七年级上·齐齐哈尔·期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   2. （22-23七年级上·齐齐哈尔·期末）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级上·黑龙江·期末）下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）下列图形，不能作为一个正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 5. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）大庆市于2023年夏季成功举办了黑龙江省第五届旅游发展大会.举办期间，小明设计了一个正方体的环保废纸箱.如图是将这个正方体展成的平面图形.正方体展开前，有“建”字一面的相对面上的字是（   ） A．美 B．丽 C．城 D．市 6. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小明将图（甲）围成图（乙）的正方体（甲）中的笑脸标志“”所在的正方形的对面是正方体中的（　　） A．面EFGH B．面ABCD C．面ABFE D．面CDHG 7. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，某长方体的表面展开图的面积为，其中，则AB= ． 8. （23-24七年级上·佳木斯·期末）一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“要”字相对的字是 ．    直线、射线、线段区别联系 1. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法错误的是（　　） A．直线和直线表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 2. （22-23七年级上·黑龙江·期末）如图，下列说法正确的是（    ）    A．点O在射线上 B．点B是直线的端点 C．直线比直线长 D．经过A，B两点的直线有且只有一条 3. （22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ） A．两点之间的距离是两点间的直线长度 B．线段没有延长线 C．两点之间线段最短 D．直线有无数个端点 4. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）直线，射线，线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 5. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知三点A、B、C，画射线，画直线，连接．画图正确的是（　　） A． B． C． D． 6. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，图中以B为一个端点的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 7. （22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（    ） A．15 B．30 C．20 D．10 8. （23-24七年级上·黑龙江·期末）建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线．用你所学数学知识，说明其中的道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过一个点能画无数条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 9. （22-23七年级上·黑龙江伊春·期末）平面上有任意三点，经过其中两点画一条直线，共可以画（    ） A．一条直线 B．两条直线 C．三条直线 D．一条或三条直线 10. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）    A． B． C． D．无法确定 线段有关计算 1. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，C、D是线段上两点，cm，cm，D是的中点，则线段的长为（    ） A．7cm B．8cm C．11cm D．14cm 2. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如果A，B，C三点在同一条直线上，且线段，，那么A，C两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 3. （22-23七年级上·黑龙江双鸭山·期末）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，则的长为 ． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）已知线段，直线上有一点C，且，点M、N分别是线段、的中点，则的长是 ． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，B，C两点在射线上，，在射线上作一点D使得． (1)请用圆规作出点D的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求线段的长． 6. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是线段的中点，点，D把线段三等分．已知线段的长为，求线段的长． 7. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知线段的长为，点C是线段的中点，点D在直线上，且，则线段的长为 ． 8. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，线段，点在线段上，且，为的中点，则的长为 ． 角的概念及和差表示 1. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用一副三角板（两块）画角，不可能画出的角的度数是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小明每天下午放学，此时时钟上的时针和分针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 4. （21-22七年级上·黑龙江黑河·期末）如图，下列说法中正确的是（    ）    A．方向是北偏东 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是南偏东 5. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示某校平面图的一部分，下面对于，两点方位的估计正确的是（   ） A．在的西北方向 B．在的东南方向 C．在的北偏西左右方向 D．在的东偏南左右方向 6. （21-22七年级上·黑龙江七台河·期末）1点20分时，时钟的时针与分针的夹角是 度． 7. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西的方向上，在图上找到灯塔S的位置． 8. （23-24七年级上·黑龙江·期末）如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处分别观测到小岛在它南偏西的方向上，小岛在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 角度制单位换算及角度的四则运算 1. （22-23七年级上·黑龙江伊春·期末）用度、分、秒表示 ． 2. （21-22七年级上·黑龙江·期末）∠α=47°48′= °． 3. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）比较：32.75° 32°75′（填“＜”“＞”或“=”） 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： ． 5. （23-24七年级上·大庆·期末）计算： ． 6. （20-21七年级上·北京房山·期末）已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α ∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 7. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末） ． 8. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）① ′ ″； ② ； ③ ． 尺规作图 1. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，平面内有A、B、C、D四点，请按要求作图； (1)作直线和线段相交于点O； (2)画射线； (3)反向延长线段． 2. （22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，已知线段，，，用圆规和直尺作线段，使它等于． 3. （21-22七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，请用直尺按下列要求作图． （1）作直线AB； （2）作射线BC； （3）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD． 4. （21-22七年级上·黑龙江·期末）已知线段，点位置如图所示． (1)画射线，请用圆规在射线上截取，，点位于点的右侧（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作图形中，若分别为、的中点，在图形中标出点的位置，再求出当，时，线段的长． 5. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在平面内有四点A、B、C、D． (1)按照下列要求画图：①画射线；②连接交于点E；③画直线交线段延长线于点F． (2)若已知线段，且C点恰好为线段的三等分点，求线段的长． 6. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，平面内有四个点．    (1)画直线和射线； (2)画线段相交于点； (3)在线段上的所有点中，到点的距离之和最小的点是__________，理由是__________． 几何图形中的角度计算（含角平分线） 1. （22-23七年级上·哈尔滨·期末）如图，，平分，且，度数是（    ）    A． B． C． D． 2. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，过点O作射线，使．是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D． 3. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，平面内，平分，有以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 4. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，是的平分线，射线在内，是的平分线，已知，那么的度数为 ． 5. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，射线在的内部，是的平分线． 若，则的度数是 ． 6. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，为的三等分线，则 ． 7. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面内，是直线上一点，，.在直线上方引出一条射线，使、、三条射线满足其中一条射线是另两条射线夹角的平分线，则的度数是 . 8. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则的大小为 ．    几何图形角度计算（解答题） 1. （20-21七年级上·佳木斯·期末） 如图，已知，平分，，平分．求和的度数． 2. （23-24七年级上·黑龙江·期末）如图，在的内部，是的平分线，是的平分线． (1)直接写出与的数量关系是_________； (2)若，且，求的度数． 3. （20-21七年级上·哈尔滨·期末）如图，已知，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数 4. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知点O是直线上一点，射线平分．    (1)若，则________度； (2)若，求的度数． 6. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知，平分，且，求．    解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，当时，求的度数． 8. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，OC是∠AOB的平分线，且． (1)当时，求∠AOB的度数： (2)如图2，若射线OP在的内部，且，请直接写出图中相等的四对角．（和除外） 互余、互补 1. （21-22七年级上·齐齐哈尔·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 2. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD=90°，则图中互余的角有（　）对． A．5 B．4 C．3 D．2 3. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，，则的度数是（   ）      A． B． C． D． 4. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角是（   ） A． B． C． D． 5. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）一个角为，则它的余角等于 ． 7. （23-24七年级上·黑龙江·期末）如果，那么的补角的度数是 ． 8. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）已知一个角的度数是，则它的余角的度数是 . 9. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知与互余，若，则 ． 10. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若一个角的余角为，那么这个角的补角等于 ． 11. （21-22七年级上·黑龙江黑河·期末）若一个角比它的补角大30°，则这个角为 °． 12. （22-23七年级上·齐齐哈尔·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是 ． 13. （22-23七年级上·黑龙江·期末）已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数为 ． 14. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，平分，平分，，． (1)求的度数； (2)分别求和的度数； (3)判断与是否互补，并说明理由． 双中点问题 1. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点、是线段上两点，点、分别是线段、的中点．若，，则线段的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知点C为线段所在直线上一点，，，点D为的中点，E为的中点，则 ． 3. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）点在同一条直线上，，点分别是的中点．若，则的长是 ． 4. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知点为线段所在直线上一点，点为的中点，为的中点．则 ． 5. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作20次，则 ．    6. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，点，将线段分成的三部分，，，分别是，，的中点，且，求的长. 7. （23-24七年级上·黑龙江·期末）数学课上，同学们按下面步骤完成了如图所示的尺规作图． 第一步，用直尺画射线； 第二步，用圆规在射线上依次截取，，． (1)用含a，b的式子表示线段的长度是_________； (2)爱钻研的小星同学在以上信息的基础上，添加了下面的条件，并提出了新的问题，请将小星同学的解答过程补充完整． 添加条件：如图，点E，F分别是线段，的中点，且，． 提出问题：求线段的长度． 解答过程： 解：因为点E，F分别是线段，的中点，且，， 所以，__________________=_________． 因为，所以_________=_________． 8. （21-22七年级上·双鸭山·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 线段计算---动点问题 1. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图所示，数轴上有三点，且，若为原点，点表示数为6． (1)求C点表示的数； (2)若数轴上有一动点，以每秒1个单位的速度从点向点匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示的长． 2. （23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1)_______，_______； (2)若数轴上有一点C，使得，M为的中点，求的长； (3)有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为t秒（），D为线段的中点，F为线段的中点，点E在线段上，且，在点G，H的运动过程中，直接写出的值（用含t的式子表示）． 几何图形角度综合探究题 1. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点． (1)若，则______cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，、分别平分和，若，，则______．由此，你猜想、和有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 2. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）已知，从的顶点引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点逆时针旋转形成．    (1)如图1，若，求和大小； (2)作射线，射线为平分线，设． ①如图2，当，若射线好平分，求度数； ②当时，请探究与间的数量关系． 3. （23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知，以O为顶点，为一边画，然后再分别画出与的平分线，． (1)在图①中，射线在的内部，若锐角，则____°； (2)在图②中，射线在的外部，且为任意锐角，求的度数； (3)在（2）中，“为任意锐角”改为“为任意钝角”，其余条件不变，如图③，求的度数． 4. （22-23七年级上·大庆·期末）已知O为直线上一点，射线位于直线的下方且互不重合，在的右侧，，． (1)如图1，，当平分时，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数；（用含α的代数式表示） (3)如图3，点M在射线上，把射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线是的四等分线，且，请求出在运动过程中的值． 5. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当射线在内部，且时，求的度数； (2)如图2，当射线在内部绕O点旋转时，的大小是否发生变化？若变化，请直接写出的度数；若不变，说明理由； (3)当射线在外部绕O点旋转时，则________． 6. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知∠AOB、∠BOC，∠AOB＝90°， (1)若∠BOC为锐角，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC， ①如图1，当射线OC在∠AOB外部，∠BOC＝40°时，求∠EOD的度数； ②当∠BOC＝α()时，则∠EOD的度数是_____； (2)若∠AOC和∠BOC均为小于平角的角，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC， ①当∠BOC＝40°，OC位置如图2所示时，求∠EOD的度数． ②当∠BOC＝α时（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是_____． 几何图形中的角度计算（含互余、互补性质） 1. （22-23七年级上·黑龙江·期末）已知在同一平面内， (1)填空： ______． (2)若平分，平分，则的度数是多少？ (3)在（2）的条件下，将题目中的改成，则______． 2. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）在一节综合实践课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；用直尺画射线，使平分．”为问题背景，展开研究． (1)提出问题：如下图，若，求的度数；    (2)探索发现：如下图，的值是__________；    (3)拓展探究：若点在直线的同侧，利用下图探索与之间的数量关系．请直接写出它们之间的数量关系．    3. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使； (1)求的度数； (2)如图，射线在的内部，射线和射线都绕着点旋转，当射线平分、射线平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，射线和射线同时都在（2）中各自的位置继续绕着点顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，（转过的角度小于）求经过几秒后． 4. （20-21七年级上·哈尔滨·期末）点为直线上一点，以点为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为_________，与的数量关系为_________； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点旋转至图3的位置，射线仍然平分，请写出与间的数量关系，并说明理由． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）【实践操作】三角尺中的数学． (1)如图，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，． ①若，则______；若，则______； ②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由； (2) 如图，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由． 6. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、 (1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度； (2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度 (3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若， ①______．（用含的代数式表示） ②请求出的度数． 7. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，小明将两块完全相同的含60°角的直角三角板的直角顶点C叠放在一起，保持△BCD不动 问题发现：    如图1，若∠DCE＝50°，则∠ACB＝　 　°；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　°； 问题探究： ①当直角三角形ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为 　 　； ②当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，图1中∠ACB与∠DCE的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 问题拓展： 如图3，将两块直角三角板重叠在一起，将直角三角形ADE绕60°角的顶点A逆时针旋转到如图所示的位置，∠EAC与∠BAD有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 8. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点О处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)___________度； (2)将图1中的三角板绕点О按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度； (3)在（2）旋转过程中，当旋转至图3的位置时，使得在的内部，落在直线下方，试写出与之间的数量关系，并说明理由． 9. （21-22七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN=30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．则∠BON=______°． （2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？ 综合与实践---场地设计（期末预测） 1. 如图①是某校操场实物图，图②是该校操场示意图，共有六条跑道，每条跑道由两条直跑道和两个半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，第一条跑道长为400米，且两端半圆的半径R为36米（取3） (1)求第一条跑道两端半圆形跑道的总长度； (2)若每两条跑道之间的距离为a米，第六条跑道周长为b米，试用含a的代数式表示b； (3)若每两条跑道之间的距离a为米，现学校要进行400米比赛，如果终点相同，则第一条跑道和第五条跑道的起跑线应相差多少米？ 2. 如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米，每条跑道的宽为米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题：    (1)第2道比第1道长 米（结果保留）； (2)第3道的总长度为 米（结果用含、的代数式表示，保留，并化简） (3)若 ，且要求第1道的总长度为米， ① 求的值（结果精确到个位，取） ② 在①的条件下，操场中心（阴影部分）铺设地砖，跑道及两端的半圆铺设人工草， 若铺地砖元，人工草元，则学校共需付多少这两项铺设费用？ 3. 根据以下素材，完成任务． 如何设计比赛场地？ 素材1 如图1是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． 素材2 如图1，为了设计比赛场地，兴趣小组通过查阅资料，得知学校操场最内侧跑道的周长为：． 素材3 如图2，兴趣小组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地，． 任务1 分析数量关系 分别求出，的长度． 任务2 确定场地面积 先用含，，的代数式表示两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和），再求的值（取3）． 综合实践（期末预测） 1. 综合与实践 如何设计装饰布，优化透光面积 素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为，宽为． 素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为． 问题解决 任务1 分析数量关系 结合素材1，用含，的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留） 任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积．（取14） 任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（取） 2. 根据以下素材，探索完成任务． 不同方案利润问题的探索 素材1 某校开展爱心义卖活动，小方和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计． 素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒； 方案2：木板制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子； 方案3：在方案2的基础上，每块图2的余料可以另制作1个小玩具． 素材4 义卖时的售价如标签所示：（所有手工制品全部售出） 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度_______； 任务2 不同分配方案利润相同的探索 当方案1与方案2利润相同时，求a的值； 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当a值为39时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 3. 【项目式学习】：根据素材，探索完成任务． 材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体． 简单多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：，这一关系式被称为欧拉公式． 任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； 任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求的值； 任务三：在任务二的条件下，已知，求代数式的值． 4. 【问题情境】 李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． 【操作探究】 (1)同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案______（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．    (2)小李刚好有一张边长为的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．设底面边长为，则这个纸盒的底面积是______，高是______（用含的代数式表示）．    (3)小红所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图所示的几何体．    ①求这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加______个正方体纸盒． 5. 根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点为直线上一点，，. 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点与三角尺①的顶点重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放. 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程. 6. 根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中均匀分布，分针分钟转动一周是，时针分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转度，时针转速为每分钟转度． 素材2 当时钟显示时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从：到．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此点分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度，因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示：时，时针与分针所成角度为，在：到：的分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 ：之后的下一个美妙时刻是______， 一天个小时内，共有______个美妙时刻． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 几何图形初步 立体几何与平面图形 1. （22-23七年级上·黑龙江七台河·期末）如图中棱柱的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】常见的几何体 【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，根据棱柱的定义进行判断即可． 【详解】根据定义可知所给几何体中， （1）正方体，（5）四棱柱，（6）三棱柱，这三个都是棱柱； 其他分别是（2）球、（3）圆柱、（4）圆锥，（7）棱锥，都不是棱柱． 故选：B． 【点睛】本题考查棱柱的定义，熟记柱体、锥体、球体的概念是关键． 2. （21-22九年级·黑龙江大庆·期末）计算制作一个圆柱体需要多少铁皮，应该计算的是（　　） A．侧面积+一个底面积 B．侧面积 C．底面积 D．侧面积+两个底面积 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】组合几何体的构成 【分析】根据圆柱的外形得出选项即可． 【详解】解：一个圆柱包括侧面和两个底面， 所以计算制作一个圆柱体需要多少铁皮，应该计算的是侧面积+两个底面积． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆柱的计算，认识立体图形，几何体的表面积等知识点，能正确认识立体图形是解此题的关键． 3. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下面的四个几何图形中，表示平面图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.85 【知识点】常见的几何体 【分析】几何体和平面图形的甄别． 【详解】 A.   是几何体，不符合题意； B.   是几何体，不符合题意； C.   是几何体，不符合题意； D.   是平面图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了几何体和平面图形，熟练掌握几何体是解题的关键． 4. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的立体图形的名称是 ． 【答案】三棱柱 【难度】0.85 【知识点】常见的几何体 【分析】根据三棱柱的形状即可得出答案． 【详解】解：∵该立体图形上面和底面都是三角形，且有三条棱， ∴它的名称是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 【点睛】本题主要考查立体图形的名称，关键是要牢记三棱柱的形状． 5. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）与九棱锥的棱数相等的是 棱柱． 【答案】六 【难度】0.85 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】根据棱柱和棱锥的概念和特性即可解． 【详解】解：∵九棱锥的棱数：2×9=18(条)，n棱柱共有3n条棱． ∴3n=18， ∴n=6． 故答案为：六． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥的定义和运用，n棱柱共有3n条棱．n棱锥共有2n条棱． 6. （21-22七年级上·黑龙江鸡西·期末）在学习完”七巧板“相关知识后，小明所在四人数学兴趣小组，分别用边长为8厘米的正方形制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品，请你帮他们计算出图中圈出来的图形的面积之和为 平方厘米． 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】用七巧板拼图形 【分析】确定①②③④这四块面积的和就是图中圈出来的图形面积的和，其面积=正方形的面积-大等腰直角三角形的面积-小等腰直角三角形的面积． 【详解】如下图所示： 所求面积为： ①②③④这四部分的面积之和 ＝ ＝20（平方厘米）． 故答案为：20． 【点睛】本题是七巧板的问题，考查了图形面积的计算．难点在于如图所示的第③④这区域的面积等于原图中圈出来的梯形的面积． 不同方向看几何体 1. （20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面左边是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看该几何体得到的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】根据从正面看得到的图形是正视图，可得答案． 【详解】从正面看左数第一列是2个小正方形，第二列是2个小正方形，第三列是2个正方形， 故选择：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 2. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下面几何体中，从上面看不是圆形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】观察各选项图形从上面看得到的形状图即可得答案． 【详解】A. 圆柱从上面看是圆形，不符合题型；     B. 圆锥从上面看是圆形，不符合题型； C. 三棱锥从上面看是三角形，符合题型；     D. 球从上面看是圆形，不符合题型； 故选：C 【点睛】此题考查从不同方向看几何体，解题关键是有良好的空间想象能力． 3. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）是的（　　）面． A．前面 B．上面 C．左面 D．右面 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看简单组合体，首先从不同方向观察图形，分别画出看到的平面图形，进行解答即可，解题的关键是熟练掌握常见几何体的从不同方向所看到的图形． 【详解】解：从前面观察图形得到的图为：    从上面观察图形得到的图为：    从左面和右面得到的图为：    故选：． 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列各选项中水平放置的几何体，从左面看不是长方形的是(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】根据左视图是从左面看到的视图，从而结合选项逐项判定左视图即可得到结论． 【详解】解：A、圆柱的左视图是长方形，故本选项不符合题意 B、圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项符合题意； C、三棱柱的左视图是长方形，故本选项不符合题意； D、长方体的左视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图-左视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 5. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，若在此基础上（不改变原几何体中小正方形的位置），继续添加相同的小正方体，搭成一个大正方体，至少还需要 个小正方体． 【答案】54 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】先由从正面看、从左面看、从上面看求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有个小正方体，即可得出答案． 【详解】解：从正面看可知，搭成的几何体有三层，且有4列；从左面看可知，搭成的几何体共有3行； 第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，共有10个正方体， ∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体， ∴搭成的大正方体的共有个小正方体， ∴至少还需要个小正方体． 故答案为：54． 【点睛】本题考查了学生从三个不同方向看几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体． 6. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，一个几何体是由几个大小相同的小立方块搭成的.请你分别从正面、左面、上面观察该几何体，并在下面相应的网格中画出你所看到的几何体的形状图.    【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看几何体．根据从不同方向看到的几何体的形状画出相应的图形即可． 【详解】解：如图所示，   ． 7. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是由10个边长为同样大小的小正方体搭成的几何体； (1)请你在网格中分别画出它的从左面看和从上面看的图形； (2)求出这个几何体的表面积是多少． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】（1）根据从左面和上面看到的图形形状进行画出即可； （2）从左面、右面看各有6个面，从上面、下面看各有6个面，从前面、后面看各有6个面，由此计算表面积. 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：从左面、右面看各有6个面，从上面、下面看各有6个面，从前面、后面看各有6个面，每个小正方形的面积为4， ∴， 答：这个几何体的表面积是． 【点睛】此题考查从不同方向看几何体，求几何体表面积，正确画出从不同方向看到的图形形状是解题的关键． 8. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示是由棱为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个方向看到的形状图． （1）请你观察它是由 　 　个立方体小木块组成的； （2）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数； （3）求出该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】（1）10；（2）见解析；（3）40cm2 【难度】0.65 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】（1）由从上面看的图可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看的图和从左面看的图可得第二层和第三层小木块的个数，相加即可； （2）根据上题得到的正方体的个数在从上面看到的形状图中标出来即可； （3）将几何体的暴露面（包括底面）的面积相加即可得到其表面积． 【详解】解：（1）∵从上面看的图中有6个正方形， ∴最底层有6个正方体小木块， 由从正面看的图和从左面看的图可得第二层有3个正方体小木块，第三层有1个正方体小木块， ∴共有10个正方体小木块组成， 故答案为：10； （2）根据（1）得： （3）表面积为(6+6+6)×2+2×2＝40cm2． 【点睛】此题考查了从不同的方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力． 几何体展开图 1. （23-24七年级上·齐齐哈尔·期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.94 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有七个面，两个五边形的底面，五个长方形的侧面， 因此该几何体是五棱柱， 故选：D． 【点睛】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键． 2. （22-23七年级上·齐齐哈尔·期末）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意； C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意； D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键． 3. （23-24七年级上·黑龙江·期末）下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的展开图，可利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况)判断，熟记展开图的11种形式是解题的关键． 【详解】解：A．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； B．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； C．可以作为一个正方体的展开图，符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意． 故选：C． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）下列图形，不能作为一个正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查正方体的展开图．利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断． 【详解】解：观察图形，A、C、D都可以作为一个正方体的展开图， B、出现田字形，不可以作为一个正方体的展开图， 故选：B． 5. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）大庆市于2023年夏季成功举办了黑龙江省第五届旅游发展大会.举办期间，小明设计了一个正方体的环保废纸箱.如图是将这个正方体展成的平面图形.正方体展开前，有“建”字一面的相对面上的字是（   ） A．美 B．丽 C．城 D．市 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “建”与“丽”是相对面， “美”与“城”是相对面， “创”与“市”是相对面． 故选：B． 6. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小明将图（甲）围成图（乙）的正方体（甲）中的笑脸标志“”所在的正方形的对面是正方体中的（　　） A．面EFGH B．面ABCD C．面ABFE D．面CDHG 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】观察图（甲）中的笑脸标志在等腰三角形的位置， 在图（乙）中等腰三角形位于面，进而可得其对立面． 【详解】解：观察图（甲）中的笑脸标志在等腰三角形的位置 ∴观察图（乙）等腰三角形位于面 ∴面的对面是正方体中的面ABCD 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的展开图．解题的关键在于明确笑脸标志位于等腰三角形的面上． 7. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，某长方体的表面展开图的面积为，其中，则AB= ． 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】由展开图计算几何体的表面积 【分析】设AB=x，根据长方体的表面积列方程即可． 【详解】解：由题意得 2×（5x+10x+5×10）=340， 解得x=8． 则AB=8 故答案是：8． 【点睛】本题考查了几何体的表面积以及几何体的展开图，解题的关键是掌握长方体表面积的计算公式． 8. （23-24七年级上·佳木斯·期末）一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“要”字相对的字是 ．    【答案】查 【难度】0.65 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中与“要”字相对的字是“查”． 故答案为：查． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析及解答问题． 直线、射线、线段区别联系 1. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法错误的是（　　） A．直线和直线表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示不同射线 D．射线比直线短 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】两点确定一条直线、直线、射线、线段的联系与区别 【分析】题目主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项正确，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，不符合题意； C、射线和射线表示不同射线，选项正确，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，符合题意． 故选：D． 2. （22-23七年级上·黑龙江·期末）如图，下列说法正确的是（    ）    A．点O在射线上 B．点B是直线的端点 C．直线比直线长 D．经过A，B两点的直线有且只有一条 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】两点确定一条直线、直线、射线、线段的联系与区别 【分析】射线是有方向的，直线没有端点且无限长，基本事实：两点确定一条直线，据此进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：A.点O在射线的反向延长线上，故此项错误； B.直线没有端点，故此项错误； C.直线无法比较长短，故此项错误； D.两点确定一条直线，故此项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了射线、直线的基本概念，基本事实，理解定义和基本事实是解题的关键． 3. （22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）下列说法正确的是（    ） A．两点之间的距离是两点间的直线长度 B．线段没有延长线 C．两点之间线段最短 D．直线有无数个端点 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】利用直线，射线及线段的定义求解即可． 【详解】解：A、两点之间的距离是两点间线段的长度，A不正确， B、线段有延长线和反向延长线，B不正确， C、两点之间，线段最短，C正确， D、直线无端点，D不正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是熟记直线，射线及线段的联系与区别． 4. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）直线，射线，线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】利用直线、射线、线段的定义，结合图形进行分析即可． 【详解】解：A．由图可知，直线PQ与射线AB不能相交，不符合题意； B． 由图可知，直线PQ与射线AB不能相交，不符合题意； C． 由图可知，直线PQ与线段MN不能相交，不符合题意； D． 由图可知，直线PQ与射线AB能相交，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是直线、射线、线段的定义，掌握其能否延伸以及延伸方向是判断的关键． 5. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知三点A、B、C，画射线，画直线，连接．画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】根据要求画射线，画直线，连接，再进行判断即可． 【详解】解：画射线，画直线，连接，如图所示： 故选：B． 【点睛】本题考查画直线，射线和线段．熟练掌握直线，射线和线段的定义，是解题的关键． 6. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，图中以B为一个端点的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】根据线段的定义“直线上两点间的有限部分（包括两个端点）”找出以B为一个端点的线段即可选择． 【详解】根据题意可知： 以B为一个端点的线段有：AB，BC，BD共3条． 故选B． 【点睛】本题考查线段的定义，理解线段的定义，正确找出以B为一个端点的线段是解答本题的关键． 7. （22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（    ） A．15 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】可以借助线段图来分析，有多少条线段，就有多少中不同的票价． 【详解】解：如图所示：    A，F代表甲，乙两市，B，C，D，E代表四个停靠站， 图中共有线段：，，，，．，，，，，，，，，，总共15条， 所以共有15种不同的票价， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线，射线，线段，借助线段图来解决是解题的关键． 8. （23-24七年级上·黑龙江·期末）建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线．用你所学数学知识，说明其中的道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．经过一个点能画无数条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查了直线的性质，根据直线的性质：两点确定一条直线进行解答即可．关键是掌握两点确定一条直线． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线．这个实例体现的数学知识是两点确定一条直线， 故选：A． 9. （22-23七年级上·黑龙江伊春·期末）平面上有任意三点，经过其中两点画一条直线，共可以画（    ） A．一条直线 B．两条直线 C．三条直线 D．一条或三条直线 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】两点确定一条直线 【分析】三点在一条直线上，可画一条，三点不在同一条直线上可以画三条，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 当三点在同一条直线上时，可以画一条直线； 如图所示， 三点不在同一条直线上可以画三条． 综上所述，可以画一条或三条直线． 故选：． 【点睛】本题主要考查直线的基本事实，理解和掌握两点确定一条直线是解题的关键． 10. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题 【分析】两点之间，线段最短，甲到乙最短的路线是从甲到乙的线段，由此解答即可． 【详解】解：甲到乙最短的路线是， 故选：B． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的是理解最短路线的简单应用． 线段有关计算 1. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，C、D是线段上两点，cm，cm，D是的中点，则线段的长为（    ） A．7cm B．8cm C．11cm D．14cm 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】求出长，D是的中点，求出的长，利用即可得到的长． 【详解】解：∵cm，cm， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查线段的和与差．正确的识图，理清线段的和差关系，是解题的关键． 2. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如果A，B，C三点在同一条直线上，且线段，，那么A，C两点之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】两点间的距离、线段的和与差 【分析】分当点C在点B左侧和点C在点B右侧时，两种情况，分别计算，即可分别求得． 【详解】解：当点C在点B左侧时，A、C两点间的距离为：， 当点C在点B右侧时，A、C两点间的距离为：， 故A，C两点之间的距离为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了两点之间距离的求法，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 3. （22-23七年级上·黑龙江双鸭山·期末）线段，点C在直线上，且，点M为的中点，则的长为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，，两种情况画出图形，讨论求解即可． 【详解】可分为两种情况： 如图，当点在线段上时， 因为 所以， 又为的中点， 所以， 所以， 如图，当点在线段的延长线上时， 因为 所以， 又为的中点， 所以， 所以， 故答案为：或． 4. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）已知线段，直线上有一点C，且，点M、N分别是线段、的中点，则的长是 ． 【答案】4或8 【难度】0.65 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查两点间的距离，线段中点的定义，分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，根据两点间的距离先求解的长，再根据线段中点的定义可求解的长．画出草图是解决问题的关键． 【详解】解：点在线段上时， ∵，， ∴， ∵、分别是线段、的中点， ∴，， ∴； 点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∵、分别是线段、的中点， ∴，， ∴； 故答案为：4或8． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，B，C两点在射线上，，在射线上作一点D使得． (1)请用圆规作出点D的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见详解； (2)6． 【难度】0.85 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查作图-复杂作图、两点间的距离、线段的和差计算，熟知相关知识点是解答本题的关键． （1）依据“作一条线段等于已知线段”的基本尺规作图方法及线段的和差即可； （2）由题意可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点E，再以点E为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点D，则点D即为所求． 如图，点D即为所求． （2）， ， ， ． ∴线段AD的长为8cm． 6. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是线段的中点，点，D把线段三等分．已知线段的长为，求线段的长． 【答案】线段的长为 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差计算，主要利用了线段中点和三等分点的定义，是基础题，熟记概念并准确识图，理清图中各线段的关系是解题的关键．根据线段中点和三等分点的定义可用分别表示出和，作差求出即可得出答案． 【详解】解：∵点P是线段的中点， ∴， ∵点，把线段三等分， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 答：线段的长为． 7. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知线段的长为，点C是线段的中点，点D在直线上，且，则线段的长为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】两点间的距离、线段之间的数量关系 【分析】根据题意可知，分D在B左侧与右侧两种情况进行求解． 【详解】解：①当点D在点B的左侧时， ∵cm，点C是线段AB的中点， ∴BC＝AB＝＝5cm， ∵BD＝3cm， ∴cm； ②当点D在点B的右侧时， ∴cm． 故答案为：2cm或8cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的中点．解题的关键在于找出线段的数量关系． 8. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，线段，点在线段上，且，为的中点，则的长为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】两点间的距离、线段的和与差 【分析】根据线段，点在线段上，且，求出的长，点为的中点，再求出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴，， 又∵点为的中点， ∴， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和、差及倍数关系，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 角的概念及和差表示 1. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角的概念理解、角的表示方法、角的分类 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 2. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用一副三角板（两块）画角，不可能画出的角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、角度的四则运算 【分析】根据一副三角板各个内角的度数分别组合出要求的角度，即可得出答案． 【详解】解：A、，可以画出的角，不符合题意，故选项错误； B、，不能由、、、的角组合得出，符合题意，故选项正确； C、，可以画出的角，不符合题意，故选项错误； D、，可以画出的角，不符合题意，故选项错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的计算，根据三角板各角的度数（、、、）得出要求的角是解答本题的关键． 3. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）小明每天下午放学，此时时钟上的时针和分针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】钟面角 【分析】本题考查时针与分针所成角度问题，分针指向4，经过分钟时针走过1大格的，则夹角为，即可求解． 【详解】解：时钟上的时针和分针之间的夹角为 故选：A． 4. （21-22七年级上·黑龙江黑河·期末）如图，下列说法中正确的是（    ）    A．方向是北偏东 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是南偏东 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】方向角的表示 【分析】根据方向角的定义，即可解答． 【详解】解：A、的方向是北偏东，原说法错误，本选项不符合题意； B、的方向是北偏西，原说法错误，本选项不符合题意； C、的方向是南偏西，原说法错误，本选项不符合题意； D、的方向是南偏西，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义． 5. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示某校平面图的一部分，下面对于，两点方位的估计正确的是（   ） A．在的西北方向 B．在的东南方向 C．在的北偏西左右方向 D．在的东偏南左右方向 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】方向角的表示 【分析】根据方位角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：在的北偏西左右方向， 故选：C． 【点睛】本题考查了方位角的表示，数形结合是解题的关键．方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角． 6. （21-22七年级上·黑龙江七台河·期末）1点20分时，时钟的时针与分针的夹角是 度． 【答案】80 【难度】0.85 【知识点】钟面角 【分析】根据时针走一圈需要720分，分针走一圈需要60分即可得到时针一分钟走0.5度，分针一分钟走6度，据此求解即可． 【详解】解：∵时针走一圈需要720分，分针走一圈需要60分， ∴时针走一圈需要720分，分针走一圈需要60分， ∵1点20分可以看做从12点开始时针和分针走了80分钟， ∴时针与分针的夹角， 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了钟面角的计算，解题的关键在于能够求出时针和分针每一分钟所走的度数． 7. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西的方向上，在图上找到灯塔S的位置． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题主要考查了方位角的计算，首先根据“上北下南，左西右东”确定方向，接下来由确定的方向在点A处作北偏东的方位角； 然后在点B处作北偏西的方位角，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，灯塔S的位置即为所求； 8. （23-24七年级上·黑龙江·期末）如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处分别观测到小岛在它南偏西的方向上，小岛在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】/90度 【难度】0.94 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角及其计算，掌握概念即可解题． 【详解】解：小岛处分别观测到小岛在它南偏西的方向上，小岛在它南偏东的方向上， ， 故答案为：． 角度制单位换算及角度的四则运算 1. （22-23七年级上·黑龙江伊春·期末）用度、分、秒表示 ． 【答案】 38 7 12 【难度】0.85 【知识点】角的单位与角度制 【分析】将度的小数部分化为分，将分的小数部分化为秒．进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：38，7，12． 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的转化运算，解题关键是注意进行度、分、秒的转化运算要以60为进制求解． 2. （21-22七年级上·黑龙江·期末）∠α=47°48′= °． 【答案】47.8 【难度】0.94 【知识点】角的单位与角度制 【分析】根据1°=60′，1′=60″进行计算即可． 【详解】解：47°48′=47.8°. 故答案为：47.8． 【点睛】本题考查度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键． 3. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）比较：32.75° 32°75′（填“＜”“＞”或“=”） 【答案】< 【难度】0.94 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】由题意根据大单位化小单位乘以进率，进而即可进行大小比较得出答案． 【详解】解：32.75°=32°45′，32°75′=33°15′ 32°45′＜33°15′， ∴32.75°＜32°75′. 故答案为：＜． 【点睛】本题考查度分秒的换算，注意掌握并利用大单位化小单位乘以进率是解题的关键． 4. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角的单位与角度制 【分析】此题考查了角度的计算，解题的关键是熟悉角度的计算法则．根据角度的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5. （23-24七年级上·大庆·期末）计算： ． 【答案】/16度 【难度】0.94 【知识点】角度的四则运算、角的单位与角度制 【分析】根据角的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的运算，解题的关键是掌握角的进制． 6. （20-21七年级上·北京房山·期末）已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α ∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 【答案】＜ 【难度】0.65 【知识点】角的度数大小比较 【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠β的度数化成分的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵∠β＝0.35°=（0.35×60）'=21'． ∴∠α＜∠β， 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了角的大小比较，掌握度分秒之间的换算法则是解本题的关键． 7. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末） ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角度的四则运算 【分析】根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角的四则运算，熟知角度制的进率为是解题的关键． 8. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）① ′ ″； ② ； ③ ． 【答案】 3 45 36 【难度】0.85 【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算 【分析】本题考查了角度的单位换算及四则运算，熟练掌握角度的单位换算是解题的关键．①根据角度的单位进率换算即可；②根据乘法法则计算即可；③两个度数相加，度与度，分与分对应相加，秒加秒，秒的结果若满60，则转化为分，分的结果若满60，则转化为度． 【详解】①， 故答案为：3，45，36； ， ②故答案为； ③， 故答案为． 尺规作图 1. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，平面内有A、B、C、D四点，请按要求作图； (1)作直线和线段相交于点O； (2)画射线； (3)反向延长线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.85 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】（1）过A，C两点画直线，连接即可得到点O即可； （2）连接并延长即可； （4）连接并延长即可． 【详解】（1）解：直线和线段如图所示： ； （2）解：如图所示； （3）解：反向延长线段如图所示． 【点睛】本题主要考查了基本作图，掌握线段，射线和直线概念的运用是解题的关键． 2. （22-23七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，已知线段，，，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】首先做射线，在射线上依次截取，，再截取，进而得出即为所求． 【详解】解：如图所示：即为所求． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确截取已知线段是解题关键． 3. （21-22七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D，请用直尺按下列要求作图． （1）作直线AB； （2）作射线BC； （3）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【难度】0.94 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】（1）根据直线的定义，画出图形即可； （2）根据射线的定义，画出图形即可； （3）根据线段及其延长线的定义，画出图形即可． 【详解】解：（1）如图所示直线AB即为所求； （2）如图所示射线BC即为所求； （3）如图所示，线段AD与点E即为所求． 【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段是解题的关键． 4. （21-22七年级上·黑龙江·期末）已知线段，点位置如图所示． (1)画射线，请用圆规在射线上截取，，点位于点的右侧（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作图形中，若分别为、的中点，在图形中标出点的位置，再求出当，时，线段的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)的长为 【难度】0.94 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【详解】（1）解：根据题意，作图如下所示， （2）解：如图所示， ∵分别为、的中点， ∴，， ∵， ∴， 当，时，则， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查线段作图，线段的和差计算，理解并掌握尺规作图的方法，线段的和差运算方法是解题的关键． 5. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在平面内有四点A、B、C、D． (1)按照下列要求画图：①画射线；②连接交于点E；③画直线交线段延长线于点F． (2)若已知线段，且C点恰好为线段的三等分点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【难度】0.65 【知识点】画出直线、射线、线段、线段n等分点的有关计算 【分析】（1）①画射线即可； ②连接找出交点E即可； ③画直线，延长线段，标出交点F即可； （2）分两种情况分别画出图形，解答即可． 【详解】（1）解：①如图，射线即为所求； ②连接交于点E； ③画直线，延长线段，交点为F； （2）解：当点C为靠近D点的三等分点时，如图所示： ∵， ∴； 当点C为靠近F点的三等分点时，如图所示： ∵， ∴； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了画射线、直线、线段，线段间的数量关系，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 6. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，平面内有四个点．    (1)画直线和射线； (2)画线段相交于点； (3)在线段上的所有点中，到点的距离之和最小的点是__________，理由是__________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)M，理由：两点之间线段最短． 【难度】0.85 【知识点】两点之间线段最短、画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了直线，射线以及线段的特征，两点之间线段最短等知识． （1）根据直线是向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，画出直线和射线即可． （2）根据线段不能向两方无限延伸，画出线段得出交点. （3）根据线段的性质∶两点之间，线段最短，即可解答． 【详解】（1）解：直线和射线如下图：    （2）连接线段相交于点如下图：    （3）M，理由：两点之间线段最短． 几何图形中的角度计算（含角平分线） 1. （22-23七年级上·哈尔滨·期末）如图，，平分，且，度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、角的单位与角度制 【分析】根据角平分线的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵平分，且 ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角度的运算，解题的关键的关键是掌握． 2. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，过点O作射线，使．是的平分线，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分点B在内部和点B在外部两种情况先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当点B在内部时， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当点B在外部时， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故选：B． 3. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，平面内，平分，有以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】根据角平分线的性质再结合，逐项分析即可获得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 即，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； ∵， 又∵， ∴，故结论③不正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的序号有①②④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质以及平面内角的计算，熟练掌握角平分线的定义和性质是解题关键． 4. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，是的平分线，射线在内，是的平分线，已知，那么的度数为 ． 【答案】/40度 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了和角平分线有关的计算． 根据角平分线的定义得出，进而推出，即可解答． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 5. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，射线在的内部，是的平分线． 若，则的度数是 ． 【答案】/40度 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的性质．根据题意得，进一步得到，进而即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 6. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若，为的三等分线，则 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】分当OC是∠AOB靠近OA的三等分线和当OC时∠AOB靠近OB的三等分线两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当OC是∠AOB靠近OA的三等分线， ∴； 如图所示，当OC时∠AOB靠近OB的三等分线， ， 故答案为：40°或80°． 【点睛】本题主要考查了角三等分线的定义，熟知定义是解题的关键． 7. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在平面内，是直线上一点，，.在直线上方引出一条射线，使、、三条射线满足其中一条射线是另两条射线夹角的平分线，则的度数是 . 【答案】，或 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的计算，分是的平分线；是的平分线；是的平分线三种情况求解即可 【详解】解：分三种情况：①若是的平分线，如图， ∵，， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴ ②若是的平分线，如图，    ∵ ∴ ∴ ∴； ③若是的平分线时，如图，    ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：，或 8. （23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则的大小为 ．    【答案】/68度 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】根据折叠可知，，再根据平角可知：，进而可以求出． 【详解】解：由折叠知：，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角的计算和折叠的性质，解题关键是结合图形熟练运用折叠的性质和平角的定义进行角的计算． 几何图形角度计算（解答题） 1. （20-21七年级上·佳木斯·期末） 如图，已知，平分，，平分．求和的度数． 【答案】和的度数分别为， 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题考查角平分线的相关计算，根据角平分线和角之间关系进行计算即可． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ． 即和的度数分别为，． 2. （23-24七年级上·黑龙江·期末）如图，在的内部，是的平分线，是的平分线． (1)直接写出与的数量关系是_________； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）本题考查角平分线的定义，根据角平分线的定义表示出和，再利用，即可表示出与的数量关系． （2）本题考查角的运算，将乘以2，结合角平分线定义和，算出、、，再利用，即可解题． 【详解】（1）解：是的平分线，是的平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：， 则，即， ， ，解得， ， ， ． 3. （20-21七年级上·哈尔滨·期末）如图，已知，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的意义，根据图形直观，得出角的和或差，是解决问题的关键． （1）利用两个角的和进行计算即可； （2）根据角平分线的意义和等式的性质，得出即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：平分， ， 平分， ； ． 4. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的运算： （1）由是的角平分线，是的角平分线，得，再根据，即可作答． （2）同理，得，再根据，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，是的角平分线 ∴ ∴ （2）解：∵是的角平分线，是的角平分线，且，， ∴， ∴． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知点O是直线上一点，射线平分．    (1)若，则________度； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角之间的关系是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，则，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知，平分，且，求．    解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【答案】，，，，， 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形角度的计算，角平分线的相关的计算，先求得，根据角平分线的意义得出，然后根据角度的之差，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 7. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图①，当，时，求的度数； (2)如图②，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据题意可知，结合角平分线的定义可得，，由即可获得答案； （2）当，可有，结合角平分线的定义可得，，，由即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）当，可有， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平面内角的相关计算，理解并掌握角平分线的定义是解题关键． 8. （21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，OC是∠AOB的平分线，且． (1)当时，求∠AOB的度数： (2)如图2，若射线OP在的内部，且，请直接写出图中相等的四对角．（和除外） 【答案】(1)60° (2)、、、 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据角平分线的定义，找出角的对应关系，列出代数式并求解即可； （2）看图分析，根据角的对应关系，即可找出相等的四对角． 【详解】（1）解：∵OC是∠AOB的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）根据图2分析可得： 、、、． 【点睛】本题主要考查了角平分线、角的计算等知识，解题关键是找出角的对应关系． 互余、互补 1. （21-22七年级上·齐齐哈尔·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角的概念，熟练掌握其定义是解题的关键．如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、不一定是90°，则C不符合题意； D、，则D符合题意； 故选：D． 2. （21-22七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD=90°，则图中互余的角有（　）对． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求一个角的余角 【分析】根据余角的定义找出互余的角即可得解． 【详解】解：∵OE平分∠AOB， ∴∠AOE=∠BOE=90°， ∴互余的角有∠AOC和∠COE，∠AOC和∠BOD，∠COE和∠DOE，∠DOE和∠BOD共4对， 故选：B． 【点睛】本题考查了余角的定义，从图中确定余角时要注意按照一定的顺序，防止遗漏． 3. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，，则的度数是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角的性质．根据同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据互为余角的两个角的和等于，互为补角的两个角的和等于，列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为，余角为， 根据题意可得：， 解得：， 即这个角为， 故选：C． 【点睛】本题考查了互为余角与补角的性质，表示出这个角的余角与补角然后列出方程是解题的关键． 5. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】由可确定的度数，由可确定的度数，再由补角的概念可确定的度数． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查垂直的概念和补角的概念，关键是要知道垂直的概念和补角的定义． 6. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）一个角为，则它的余角等于 ． 【答案】/度分 【难度】0.94 【知识点】求一个角的余角、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查余角的概念及计算，掌握余角的计算方法是解题的关键． 根据余角的概念“两个角的和为”，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 7. （23-24七年级上·黑龙江·期末）如果，那么的补角的度数是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个角的补角 【分析】此题考查的是补角的定义，两个角相加得，就说其中一个角是另一个角的补角，直接根据补角定义列出算式求解即可. 【详解】解：的补角为， 故答案为：． 8. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）已知一个角的度数是，则它的余角的度数是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个角的余角 【分析】此题考查了余角．根据两个角的和为，这两个角互为余角，即可求得答案． 【详解】解：， 故答案：． 9. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知与互余，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一个角的余角 【分析】根据余角的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：与互余，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握若两个角互余，则这两个角的和为，是解题的关键． 10. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若一个角的余角为，那么这个角的补角等于 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】与余角、补角有关的计算、角度的四则运算 【分析】根据一个角的余角为，求得这个角的度数，再求这个角的补角即可． 【详解】解：∵一个角的余角为， ∴这个角为， ∴这个角的补角为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90度，互补两角之和为180度． 11. （21-22七年级上·黑龙江黑河·期末）若一个角比它的补角大30°，则这个角为 °． 【答案】105 【难度】0.85 【知识点】求一个角的补角 【分析】令这个角为x°，列出关于x的方程，解这个方程即可． 【详解】解：令这个角为x°,则 x-(180-x)=30 解得x=105 故答案为：105． 【点睛】本题考查余角和补角，根据题中角之间的关系正确列出方程是解题的关键． 12. （22-23七年级上·齐齐哈尔·期末）如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是 ． 【答案】/度 【难度】0.85 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数为， ∴这个角的补角的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了余角和补角，解题的关键在于熟知如果两个角的度数之和为，那么这两个角互余，如果两个角的度数之和为，那么这两个角互补． 13. （22-23七年级上·黑龙江·期末）已知一个角的余角是这个角的补角的，则这个角的度数为 ． 【答案】/度 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则它的余角为，它的补角为，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 14. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，平分，平分，，． (1)求的度数； (2)分别求和的度数； (3)判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)与互补，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查角平分线的定义和补角的定义，需要熟练掌握． （1）的度数等于已知两角的和； （2）根据角平分线的定义即可求解； （3）根据角平分线把角分成两个相等的角，求出度数后即可判断． 【详解】（1）； （2）由平分，知， 同理，； （3）与互补，理由如下： ∵，， ∴， 又，所以， ∴与互补． 双中点问题 1. （23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点、是线段上两点，点、分别是线段、的中点．若，，则线段的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】整式加减的应用、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的意义，整式加减运算的应用．设，，先求得，再根据中点的意义，求得，，再根据，进一步计算即可求解． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，即， ∵点、分别是线段、的中点， ∴，， ∴ ， 故选：B． 2. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知点C为线段所在直线上一点，，，点D为的中点，E为的中点，则 ． 【答案】或/或/或/或 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，点C在线段上和点C在线段的延长线上，两种情况根据线段中点的定义得到，再根据线段的和差关系即可得到答案． 【详解】解：当点C在线段上时， ∵，，点D为的中点，E为的中点， ∴， ∴； 当点C在线段的延长线上时， ∵，，点D为的中点，E为的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 3. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）点在同一条直线上，，点分别是的中点．若，则的长是 ． 【答案】4或8 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段和差．根据题意作出图形，分两种情况讨论，当在的延长线上时，当在线段上时，根据线段中点的性质以及线段和差的计算即可求解． 【详解】解：当在的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴； 当在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴； 故答案为：4或8． 4. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知点为线段所在直线上一点，点为的中点，为的中点．则 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】分两种情况：①当点在点的右侧时，如图所示，②当点在点的左侧时，如图所示，代入即可求出． 【详解】解：∵点分别是线段的中点，且线段线段 当点在点的右侧时，如图所示， 当点在点的左侧时，如图所示， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了两点间的距离：两点间的线段长叫做两点间的距离，也考查了线段中点的定义． 5. （22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作20次，则 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】线段中点的有关计算、图形类规律探索、两点间的距离 【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵线段，线段和的中点，， ∴    ∵线段和的中点，； ∴ 发现规律：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义得出是解题关键． 6. （22-23七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，点，将线段分成的三部分，，，分别是，，的中点，且，求的长. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】先设出，，的长，进而根据线段中点的定义求出，，的长，由即可得到答案． 【详解】解：设为、为、为 点E、F、G分别、、的中点 ，， ，解得 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，正确推出，，的长是解题的关键． 7. （23-24七年级上·黑龙江·期末）数学课上，同学们按下面步骤完成了如图所示的尺规作图． 第一步，用直尺画射线； 第二步，用圆规在射线上依次截取，，． (1)用含a，b的式子表示线段的长度是_________； (2)爱钻研的小星同学在以上信息的基础上，添加了下面的条件，并提出了新的问题，请将小星同学的解答过程补充完整． 添加条件：如图，点E，F分别是线段，的中点，且，． 提出问题：求线段的长度． 解答过程： 解：因为点E，F分别是线段，的中点，且，， 所以，__________________=_________． 因为，所以_________=_________． 【答案】(1) (2)，6，3，3，9 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，解题的关键是根据图形，得出线段之间的数量关系，以及熟练掌握线段中点的定义． （1）根据即可解答； （2）先根据中点的定义得出，，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：由图可知， ， 故答案为：； （2）解：因为点E，F分别是线段，的中点，且，， 所以，． 因为， 所以． 故答案为：，6，3，3，9． 8. （21-22七年级上·双鸭山·期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点． (1)若，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请直接写出你的答案． (3)若C在线段的延长线上，且满足，M、N分别为的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，图形见解析；结论理由见解析 【难度】0.85 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】（1）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （2）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解； （3）根据M、N分别是的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解∶ ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解∶ ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴； （3）解∶ ，理由如下∶ 如图， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键． 线段计算---动点问题 1. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）如图所示，数轴上有三点，且，若为原点，点表示数为6． (1)求C点表示的数； (2)若数轴上有一动点，以每秒1个单位的速度从点向点匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示的长． 【答案】(1)C点表示的数为 (2)若时，；若时，的长为；若时，的长为 【难度】0.85 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段的和差关系，理解题意是关键. （1）由可得，结合的位置可得对应的数； （2）分三种情况讨论，结合线段的和差可得答案； 【详解】（1）解：∵，A点表示数为6，若B为原点， ∴C点表示的数为． （2）设运动时间为t秒， 若时，点P与点B重合，此时， 若时，， 若时，. 2. （23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1)_______，_______； (2)若数轴上有一点C，使得，M为的中点，求的长； (3)有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为t秒（），D为线段的中点，F为线段的中点，点E在线段上，且，在点G，H的运动过程中，直接写出的值（用含t的式子表示）． 【答案】(1)，20 (2)5或45 (3) 【难度】0.65 【知识点】数轴上的动点问题、多项式系数、指数中字母求值、整式的加减运算、线段中点的有关计算 【分析】本题考查多项式的次数和系数以及数轴上点之间的距离， （1）根据多项式的次数和系数定义即可求得； （2）分情况讨论：①当点C在之间时，可求得，进一步求得，即可求出；②当点C在B右侧时，可求得，即可求得； （3）根据题意求得点G、点H、点D和点F表示的数，即可表示出、和，结合整式的混合运算即可求得答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的二次多项式， ∴，解得， ∵多项式二次项系数为b， ∴， （2）①当点C在之间时， ∵，， ∴，解得， 则， ∵点M为的中点， ∴， 则； ②当点C在B右侧时， ∵，， ∴， 则， ∵点M为的中点， ∴， 则； 故的长为5或45． （3）∵点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴点G表示的数为∶， 同理点H表示的数为∶， ∵， ∴点G在线段之间， ∵D为中点． ∴点D表示的数为， ∵点F是中点， ∴点F表示的数为， 则， ∵ ∴， 则． 几何图形角度综合探究题 1. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点． (1)若，则______cm． (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，、分别平分和，若，，则______．由此，你猜想、和有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可） 【答案】(1)11 (2)的长度不变， (3)， 【难度】0.4 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）欲求，需求．已知，需求．由E，F分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）根据（1）的原理计算即可得到结论； （3）欲求，需求．已知，需求．由，分别平分和，得，，进而解决此题．同法同理可得、和的数量关系． 【详解】（1）解：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴． 又∵线段，， ∴． ∴． ∴． （2）不变，理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∴． ∴， 又∵，， ∴EF＝． （3）∵，分别平分和， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． 由（1）得：． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和与差，角的平分线，角的和与差，类比的思想，熟练掌握线段的中点，角的平分线的定义是解题的关键． 2. （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）已知，从的顶点引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点逆时针旋转形成．    (1)如图1，若，求和大小； (2)作射线，射线为平分线，设． ①如图2，当，若射线好平分，求度数； ②当时，请探究与间的数量关系． 【答案】(1)， (2)①；② 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，求解即可； （2）①根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可； ②分两种情况：当时，当时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 又 ； （2）①恰好平分， ， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ； ②分情况讨论： 当时，   ， ，为的平分线， ， ， ； 当时，   ， ，为的平分线， ， ， ； 综上所述，． 3. （23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知，以O为顶点，为一边画，然后再分别画出与的平分线，． (1)在图①中，射线在的内部，若锐角，则____°； (2)在图②中，射线在的外部，且为任意锐角，求的度数； (3)在（2）中，“为任意锐角”改为“为任意钝角”，其余条件不变，如图③，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角平分线的定义和角度之间的关系， （1）根据角平分线的定义计算出和，即可求得； （2）设，则，根据角平分线定义得和，即可求得； （3）根据角平分线定义得和，利用周角即可求得； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，平分与， ∴，， ∴． （2）设，，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴． （3）∵平分，平分， ∴，， 则． 4. （22-23七年级上·大庆·期末）已知O为直线上一点，射线位于直线的下方且互不重合，在的右侧，，． (1)如图1，，当平分时，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数；（用含α的代数式表示） (3)如图3，点M在射线上，把射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线是的四等分线，且，请求出在运动过程中的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而求出，再根据平角的定义即可得到答案； （2）根据，求出，则； （3）先求出，再分当时，如图3-1所示，当时，如图3-2所示，两种情况分别求出，的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 当时，如图3-1所示， ∵射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 当时，如图3-2所示， ∵射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5. （21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当射线在内部，且时，求的度数； (2)如图2，当射线在内部绕O点旋转时，的大小是否发生变化？若变化，请直接写出的度数；若不变，说明理由； (3)当射线在外部绕O点旋转时，则________． 【答案】(1)； (2)不变，； (3)或； 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； （2）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； （3）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：不变，． 理由如下： ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ， ， ， ． （3）解：如下图 ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ， ， ， ， 如下图： ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的性质和角之间的关系，关键要结合图形进行分析，清楚角之间的关系． 6. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 已知∠AOB、∠BOC，∠AOB＝90°， (1)若∠BOC为锐角，OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC， ①如图1，当射线OC在∠AOB外部，∠BOC＝40°时，求∠EOD的度数； ②当∠BOC＝α()时，则∠EOD的度数是_____； (2)若∠AOC和∠BOC均为小于平角的角，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC， ①当∠BOC＝40°，OC位置如图2所示时，求∠EOD的度数． ②当∠BOC＝α时（0°＜α＜180°），则∠EOD的度数是_____． 【答案】(1)①；②或 (2)①；②或 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】（1）①根据角平分线的定义即可求出，，再相加即可；②分类讨论：当射线OC在∠AOB外部时和当射线OC在∠AOB内部时，根据角之间的关系运算即可． （2）①由题意可求出，再根据角平分线的定义即可求出，，结合图形即利用求值即可；②分类讨论ⅰ当，且射线OC在OB下方时；ⅱ当，且射线OC在OB下方时；ⅲ当，且射线OC在OB上方时；ⅳ当，且射线OC在OB上方时，分别先求出的大小，再利用角平分线的定义计算即可． 【详解】（1）①∵OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，且， ∴，， ∴； ②由题意可知，． 分类讨论：ⅰ.当射线OC在∠AOB外部时， 由①可知，； ⅱ.如图，当射线OC在∠AOB内部时， ∴； 故答案为：或； （2）①由题意可求， ∵OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC， ∴，， ∴； ②由题意可知． 分类讨论：ⅰ.当，且射线OC在OB下方时，由（2）①可知， ， ∴， ∴； ⅱ.如图，当，且射线OC在OB下方时， ， ∴， ∴； ⅲ.如图，当，且射线OC在OB上方时， ， ∴， ∴； ⅳ.如图，当，且射线OC在OB上方时， ， ∴， ∴． 综上可知为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 几何图形中的角度计算（含互余、互补性质） 1. （22-23七年级上·黑龙江·期末）已知在同一平面内， (1)填空： ______． (2)若平分，平分，则的度数是多少？ (3)在（2）的条件下，将题目中的改成，则______． 【答案】(1)或 (2)的度数为 (3) 【难度】0.65 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】 （1）直接根据已知利用求出即可； （2）利用角平分线的性质和（1）中所求得出答案即可；（3）根据角平分线的性质，，进而求出即可． 【详解】（1）如图所示，或′即为所求，     当在内部时，， 当在外部时，， 故答案为：或； （2） 平分，平分， ，， 的度数为：； （3）如图，    ，， ， 、平分，， ，， ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分线的性质得出是解题关键． 2. （23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）在一节综合实践课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；用直尺画射线，使平分．”为问题背景，展开研究． (1)提出问题：如下图，若，求的度数；    (2)探索发现：如下图，的值是__________；    (3)拓展探究：若点在直线的同侧，利用下图探索与之间的数量关系．请直接写出它们之间的数量关系．    【答案】(1)； (2) (3)与之间的数量关系为或． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角的计算以及角平分线定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键． （1）利用邻补角的性质、余角的性质求得，，再利用角平分线的定义求得的度数，据此即可求解； （2）设，则，同（1）求得，据此即可求解； （3）分点C靠近点B和点C靠近点A时，同（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：； （3）解：如图，当点C靠近点B时，    ∵平分， ∴， 设，， ∴，， ∴； 如图，当点C靠近点A时，    ∵平分， ∴， 设， ∴，， ∴； 综上，与之间的数量关系为或． 3. （22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使； (1)求的度数； (2)如图，射线在的内部，射线和射线都绕着点旋转，当射线平分、射线平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，射线和射线同时都在（2）中各自的位置继续绕着点顺时针旋转，射线每秒旋转，射线每秒旋转，（转过的角度小于）求经过几秒后． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)秒或秒 【难度】0.65 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据，设，，由可得，解出，即可求出的度数； （2）根据角平分线可知，，由可得，可证； （3）由，求出，设经过秒后，分类讨论：当没超过时，或当超过时，分别计算即可。 【详解】（1）解：∵点为直线上一点， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． （2）解：证明：∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵由（2）得，， ∴， 设经过秒后 由转过的角度小于，分情况讨论： ①当没超过时， ，解得； ②当超过时， ，解得， 综上所述，经过秒或秒后． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和角度的和差问题，根据图象得出角度之间的关系并列出一元一次方程是解答本题的关键。 4. （20-21七年级上·哈尔滨·期末）点为直线上一点，以点为顶点作，射线平分． (1)如图1，与的数量关系为_________，与的数量关系为_________； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； (3)若将绕点旋转至图3的位置，射线仍然平分，请写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)互余， (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据，及角之间的关系，可求出与的数量关系，根据平分，可求出（如图所示，见详解），再根据等量代换即可求解； （2）根据，可知，再根据平分，可得，，最后等量代换即可求解； （3）根据，可得，根据平分，可得，，再根据等量代换即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴，即与的数量关系为互余， ∵平分，即， ∴，即， ∴，且， ∴， ∴，即， 故答案为：互余，． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角的和、差、倍、分的运算，理解图示中线的位置与角的关系，掌握互余、互补的运算，角平分线的性质是解题的关键． 5. （23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）【实践操作】三角尺中的数学． (1)如图，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，． ①若，则______；若，则______； ②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由； (2)如图，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由． 【答案】(1)①，；②理由见解析； (2)，理由见解析． 【难度】0.4 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】此题考查了角的和差，余角和补角、角的计算等知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系． （）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （）根据（）解决思路确定与的大小并证明． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； ②猜想得（或与互补）， 理由：∵，， ∴，－， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ． 6. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有一副三角尺，将和重合于点放置，且，，．将三角尺绕点逆时针旋转一周（旋转过程中和均是指小于的角），分别作出、的平分线、 (1)将三角尺旋转到如图1的位置时，点在上，直接写出图1中______度； (2)将三角尺旋转到如图2位的置时，点在的延长线上，直接写出图2中______度 (3)将三角尺旋转到图3所示的位置时，若， ①______．（用含的代数式表示） ②请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【难度】0.4 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据三角板得到，，根据角平分线的定义求出，，相加可得结果； （2）求出、，利用角平分线的定义得到，，最后根据得出结果； （3）①求出，根据角平分线的定义可得结果；②求出，根据角平分线的定义求出，再加上和即可得解． 【详解】（1）解：如图所示：，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵平分， ∴； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板中的角度运算，角的和差，解题的关键是仔细分析，得出每个小问中的的构成． 7. （21-22七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，小明将两块完全相同的含60°角的直角三角板的直角顶点C叠放在一起，保持△BCD不动 问题发现：    如图1，若∠DCE＝50°，则∠ACB＝　 　°；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　°； 问题探究： ①当直角三角形ACE绕直角顶点C旋转到如图1的位置时，猜想∠ACB与∠DCE的数量关系为 　 　； ②当△ACE绕直角顶点C旋转到如图2的位置时，图1中∠ACB与∠DCE的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 问题拓展： 如图3，将两块直角三角板重叠在一起，将直角三角形ADE绕60°角的顶点A逆时针旋转到如图所示的位置，∠EAC与∠BAD有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案】问题发现：130，40；问题探究：①∠ACB+∠DCE＝180°②结论不变，见解析；问题拓展：∠EAC+∠BAD＝120° 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】问题发现：根据角的和差定义求出∠ACD＝∠ECB＝40°，可得∠DCE＝50°．当∠ACB＝140°时，求出∠ACD＝∠ECB＝50°，可得结论； 问题探究：①结论：∠ACB+∠DCE＝180°，利用角的和差定义求解即可； ②结论不变，利用周角360°，证明即可； 问题拓展：结论：∠EAC+∠DAB＝120°，利用角的和差定义证明即可． 【详解】解：问题发现：∵∠ACE＝∠DCB＝90°，∠DCE＝50°， ∴∠ACD＝∠BCE＝40°， ∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝90°+40°＝130°． ∵∠ACB＝140°， ∴∠ACD＝∠ECB＝140°﹣90°＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：130，40； 问题探究：①如图1中，猜想：∠ACB+∠DCE＝180°． 理由：∵∠ACE＝∠DCB＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠ECB+∠DCE＝∠ACE+∠DCB＝90°+90°＝180°． 故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°．    ②如图2中，结论成立． 理由：∵∠ACE+∠DCB＝180°， 又∵∠ACB+∠DCE+∠ACE+∠DCB＝360°， ∴∠ACB+∠DCE＝360°﹣（∠ACE+∠DCB）＝180°． 问题拓展：如图2中，结论：∠EAC+∠BAD＝120°． 理由：∵∠EAD＝∠BAC＝60°， ∴∠EAC+∠BAD＝∠EAD+∠DCB+∠BAD＝∠EAD+∠BAC＝60°+60°＝120°． 【点睛】本题考查了角的和差计算，解题的关键是掌握角的和差定义，利用数形结合的定义求解． 8. （22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点О处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)___________度； (2)将图1中的三角板绕点О按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为___________度； (3)在（2）旋转过程中，当旋转至图3的位置时，使得在的内部，落在直线下方，试写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)135 (2)180 (3)，见解析 【难度】0.65 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据及邻补角可进行求解； （2）根据的初始位置和旋转后在图2的位置进行分析； （3）依据已知先计算出，则，根据与互补，则可用表示出，从而发现二者之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为135； （2）解：由初始位置旋转到图2位置时，在一条直线上，所以旋转了． 故答案为180； （3）解：， ． ， ． ． 即． 【点睛】本题主要考查了角之间的和差关系，解题时一定要结合图形分析题目． 9. （21-22七年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN=30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方． （1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．则∠BON=______°． （2）将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？ 【答案】（1）35；（2）5.5或23.5 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）先计算∠MOB的度数，再利用互余原理计算即可； （2）分ON的反向延长线平分∠AOC和ON所在射线平分∠AOC两种情形计算，先计算需要旋转的度数，除以旋转的速度即可得到旋转需要的时间. 【详解】解：（1）如图2， ∵OM平分∠BOC， ∴∠MOC=∠MOB， 又∵∠BOC=110° ∴∠MOB=55°， ∵∠MON=90°， ∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°, 故答案为：35°； （2）∵∠BOC=110° ∴∠AOC=70°， 当射线NO的延长线恰好平分锐角∠AOC时， ∵∠AOD=∠COD=35°， ∴∠BON=35°，∠BOM=55°， 即逆时针旋转的角度为55°， 由题意得，10t=55， 故t=5.5. 当ON平分∠AOC时， 逆时针旋转的角度为：360°-90°-35°=235°， 由题意得，10t=235， ∴t=23.5； 故t=5.5秒或t=23.5秒. 【点睛】本题考查了旋转的意义，角的平分线，互余的性质，分类的思想，熟练掌握性质，正确进行分类是解题的关键. 综合与实践---场地设计（期末预测） 1. 如图①是某校操场实物图，图②是该校操场示意图，共有六条跑道，每条跑道由两条直跑道和两个半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，第一条跑道长为400米，且两端半圆的半径R为36米（取3） (1)求第一条跑道两端半圆形跑道的总长度； (2)若每两条跑道之间的距离为a米，第六条跑道周长为b米，试用含a的代数式表示b； (3)若每两条跑道之间的距离a为米，现学校要进行400米比赛，如果终点相同，则第一条跑道和第五条跑道的起跑线应相差多少米？ 【答案】(1)216米 (2) (3)米 【难度】0.65 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握圆的周长公式． （1）根据圆的周长公式进行计算即可； （2）先求出直跑道的长，然后再根据圆的周长公式列式计算即可； （3）先用代数式表示出第五条跑道的总长度，然后减去第一条跑道的长度，即可得出答案． 【详解】（1）解：两端半圆形跑道的总长度为： （米）； （2）解：由（1）知，直跑道的长度为：（米）， 第六条跑道两端半圆形跑道的总长度为： 米， ∴米； （3）解：第五条跑道的总长度为： 米， 当时，（米）， ∴第一条跑道和第五条跑道的起跑线应相差米． 2. 如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米，每条跑道的宽为米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题：    (1)第2道比第1道长 米（结果保留）； (2)第3道的总长度为 米（结果用含、的代数式表示，保留，并化简） (3)若 ，且要求第1道的总长度为米， ① 求的值（结果精确到个位，取） ② 在①的条件下，操场中心（阴影部分）铺设地砖，跑道及两端的半圆铺设人工草， 若铺地砖元，人工草元，则学校共需付多少这两项铺设费用？ 【答案】(1) (2) (3)①；②学校共需付这两项铺设费用为元 【难度】0.65 【知识点】求一个数的近似数、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，圆的周长与面积公式，长方形的周长与面积，近似数与有效数字： （1）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （2）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （3）①利用长方形与圆的周长公式列出方程解答即可； ②利用长方形与圆的面积公式求得相应部分的面积，再利用面积×单价解答即可． 熟练掌握圆的周长与面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ∵最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米，每条跑道的宽为米， ∴第1道的总长度为：米， ∴第2道的总长度为：米， 那么 则第2道比第1道长米； （2）解：第3道的总长度为：米， 所以第3道的总长度为米； （3）解：①由题意得：， ∵，结果精确到个位，取 ∴ 即． ②由题意得： 铺地砖费用（元）； 铺人工草费用元； ∴（元）； 所以学校共需付这两项铺设费用为元． 3. 根据以下素材，完成任务． 如何设计比赛场地？ 素材1 如图1是某学校操场最内侧的跑道，由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为，半圆形弯道的直径为． 素材2 如图1，为了设计比赛场地，兴趣小组通过查阅资料，得知学校操场最内侧跑道的周长为：． 素材3 如图2，兴趣小组设计了“铁饼投掷”项目的圆形比赛场地和“掷标枪”项目的四边形比赛场地，． 任务1 分析数量关系 分别求出，的长度． 任务2 确定场地面积 先用含，，的代数式表示两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和），再求的值（取3）． 【答案】（1）， （2）， 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】（1）根据题意，校操场最内侧的跑道长两端直道长两端半圆形的弯道长，即，据此即可求出，的长度； （2）两项比赛场地的总面积圆的面积四边形阴影面积圆的面积长方形面积的一半三角形的面积，据此即可用含，，的代数式表示出两项比赛场地的总面积，再将，，的值代入计算即可求出的值． 【详解】解：（1）， 得：，， ，； （2）根据题意，可得： ， 将，，代入，得： ． 【点睛】本题主要考查了列代数式，等式的性质，整式的加减运算，代数式求值，含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握圆的周长公式、圆的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键． 综合实践（期末预测） 1. 综合与实践 如何设计装饰布，优化透光面积 素材1 小亮家进行装修，窗户的装饰布由两片不透光的四分之一圆组成（半径相同），如图1所示．已知长方形窗户的长为，宽为． 素材2 小亮想改变窗户的透光面积，他购买了4片形状为四分之一圆的装饰布，半径均为． 问题解决 任务1 分析数量关系 结合素材1，用含，的代数式表示窗户的透光面积为________（结果保留） 任务2 确定透光面积 结合素材1，当，时，求窗户的透光面积．（取14） 任务3 设计悬挂方案 结合素材2，请你帮小亮设计一种悬挂装饰布的方案，要求：①四片装饰布都要使用，且保持形状不变；②每片装饰布必须全部挂在窗户顶部；③装饰布不可以出现重叠；④设计图要呈现对称美．画出示意图，并算出设计方案中窗户透光的面积．（取） 【答案】任务1：；任务2：；任务3：图见解析，． 【难度】0.65 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】此题主要考查了列代数式，整式的加减，求代数式的值． 任务1：根据窗户透光面积为“长方形的面积两个四分之一圆的面积”列出代数式即可； 任务2：当，代入任务一中的代数式进行计算即可； 任务3：根据设计的示意图，可得“窗户透光面积长方形的面积四个四分之一圆的面积”列出代数式． 【详解】解：任务1，∵长方形窗户的长为，宽为，两个四分之圆的半径为， 窗户透光面积； 故答案为：； 任务2：当，时，，窗户透光面积； 任务3：设计示意图如下图所示： 此时窗户透光面积， 2. 根据以下素材，探索完成任务． 不同方案利润问题的探索 素材1 某校开展爱心义卖活动，小方和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块12元的价格买了30块长方形木板，每块木板的长和宽分别为和． 素材2 木板可按图1虚线裁割，裁去四个边长相同的小正方形（阴影部分），把裁出的五个长方形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长为．木板也可按图2虚线裁割出两块木板（阴影部分是余料），给图1制成的盒子配上盖子．除购买木板支出和销售手工制品收入，其它费用忽略不计． 素材3 方案1：木板都制成无盖长方体收纳盒； 方案2：木板制成有盖的长方体收纳盒，且每个收纳盒配一个盖子； 方案3：在方案2的基础上，每块图2的余料可以另制作1个小玩具． 素材4 义卖时的售价如标签所示：（所有手工制品全部售出） 问题解决 任务1 求出收纳盒的高度 收纳盒的高度_______； 任务2 不同分配方案利润相同的探索 当方案1与方案2利润相同时，求a的值； 任务3 不同分配方案最大利润的探索 当a值为39时，为使获得的利润最大，应选用哪种方案，并说明理由． 【答案】任务1：5；任务2：42；任务3：应选方案3，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元一次方程的应用． 任务1：利用收纳盒的高度（长方形木板的长制成无盖长方体收纳盒底面的长）计算即可得解； 任务2：设用块长方形木板按图裁割，则用块长方形木板按图裁割，根据题意列出方程求解即可； 任务3：分别计算出各个方案的利润，比较即可得解． 【详解】解：任务1：根据题意得：， 故收纳盒的高度为； 任务：设用块长方形木板按图裁割，则用块长方形木板按图裁割， 根据题意可得：， 解得：， ∴， ∴方案可制成个有盖的长方体收纳盒， ∵方案1与方案2利润相同， ∴， 解得：； 任务：应选方案3，理由如下： 选用方案可获得的总利润为（元）， 选用方案可获得的总利润为（元）， 选用方案可获得的总利润为（元）， ∵， ∴为了获得的利润最大，应选用方案． 3. 【项目式学习】：根据素材，探索完成任务． 材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体． 简单多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：，这一关系式被称为欧拉公式． 任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； 任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求的值； 任务三：在任务二的条件下，已知，求代数式的值． 【答案】任务一：12；任务二：20；任务三：35 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的关系，即欧拉公式，代数式求值，理解掌握欧拉公式是解题的关键． 任务一直接由欧拉公式求解即可； 任务二：顶点数为，面数为，棱数为，代入欧拉公式求解即可； 任务三：由任务二可知，得，代入，得，然后将变形为，再整理体代入即可求解． 【详解】解：任务一：由题意得：，解得：，故这个多面体的顶点数为； 任务二：由题意得，顶点数为，面数为，棱数为， 依照欧拉公式建立等式： ，即， 则的值为； 任务三：由任务二可知，则， 又， 则， 化简后，， 故． 4. 【问题情境】 李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． 【操作探究】 (1)同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案______（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．    (2)小李刚好有一张边长为的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．设底面边长为，则这个纸盒的底面积是______，高是______（用含的代数式表示）．    (3)小红所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为的无盖正方体纸盒摆成如图所示的几何体．    ①求这个几何体的体积； ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加______个正方体纸盒． 【答案】(1)②③ (2)， (3)①②3 【难度】0.85 【知识点】从不同方向看几何体、正方体几种展开图的识别、列代数式 【分析】本题考查了正方体的折叠问题及简单图形的三视图，能够根据图形进行抽象概括是解题的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可； （2）根据题意列代数式表示即可； （3）①先计算一个无盖正方体纸盒的体积，再用一个无盖正方体纸盒的体积乘以个数即可得到答案； ②可分别在第二排的第一，第三，第四个位置各添加1块． 【详解】（1）解：根据正方体的展开图，可知：你觉得图案②③经过折叠能围成正方体纸盒， 故答案为：②③； （2）解：设底面边长为，则这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （3）解：①； ②如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从上面看和从左面看的形状图不变，最多可以再添加3块小正方体，分别在第二排的第一，第三，第四个位置各添加1块． 故答案为：3． 5. 根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点为直线上一点，，. 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点与三角尺①的顶点重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放. 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程. 【答案】任务1：，；任务2：；任务3：，，， 【难度】0.4 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查余角和补角定义及三角板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想． 任务1：利用直角三角形两锐角之和为直角及平角的定义来解题； 任务2：设，通过角的和差关系列出方程求解即可； 任务3：根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】解：任务1： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴与互余的角有：，； 任务2：∵， ∴可设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 任务3： 当与边的夹角为时， ①当在下方时， ，， ； ， ， ②当在上方时， ，，， ； 当与边的夹角为时， ①当在下方时， ，， ， ， ②当在上方时， ，， ， 综上：另一条直角边与边的夹角可能是，，，， 6. 根据以下素材，探索完成任务． 时钟里的数学问题 素材1 时钟是我们日常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中均匀分布，分针分钟转动一周是，时针分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转度，时针转速为每分钟转度． 素材2 当时钟显示时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑时，时针与分针所成角度为；从：到．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此点分时，时针与分针所成角度是． 素材3 当时针和分针所成角度时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示时，此时，时针和分针所成角度，因此就是一个美妙时刻． 解决问题 任务1 当时钟显示分时，求时针与分针所成角度． 任务2 时钟显示：时，时针与分针所成角度为，在：到：的分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻． 任务3 ：之后的下一个美妙时刻是______， 一天个小时内，共有______个美妙时刻． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：； 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题考查了时钟中分针与时针的角度问题，考查了角度的计算，一元一次方程的应用等知识，属于研究性学习内容，难度较大． 任务：按照题干素材，点整，时针与分针所成角度是；从而求得时针与分针的夹角； 任务：设点分时，时针与分针垂直，由题意，得，解方程即可得解； 任务：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，则时针每分钟少旋转，则可求得下一个美妙时刻所经过的时间为分，进而求得下一个美妙时刻，再利用一天的时间除以下一个美妙时刻所经过的时间即可求解． 【详解】解：任务： 当时钟显示：时，时针与分针所成角度为 任务：设点分时，时针与分针垂直， 由题意，得， 解得 答：所求的时间为（也可写成时分）． 任务：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转， 则时针每分钟少旋转， 到达下一个美妙时刻需要的时间为分时分， ∴之后的下一个美妙时刻是 一天有分钟， ， 即一天有个美妙时刻， 故答案为：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$