专题10 等腰三角形与垂直平分线（5大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题10 等腰三角形与垂直平分线 “三线合一”的应用 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在等腰三角形中，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，是四边形的对角线，，若，则点到边的距离为 ．    4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点，过点作，垂足为点． 求证： 等腰三角形的判定 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，是等腰三角形，是边上的中线．    (1)尺规作图：在边上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，．    (1)尺规作图：在边上取一点，连接，使； (2)在（1）的条件下，若，，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 等边三角形的判定 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 2．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：是等边三角形． 4．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是等边三角形． 垂直平分线（作图）及性质 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（    ）    A．0 B．6 C．7 D．9 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，直线是斜边的垂直平分线交于．若，，则的周长为    3．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，已知． (1)求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 黄金三角形 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，点D是上一点，且，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，已知等腰中，，平分．若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料  从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． 解答下列问题： (1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°； (2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线； (3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：． 构造等腰三角形的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，点D，E分别是，上的动点，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，则的度数为（    ）     A．或 B．或 C．或或 D．或或 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 ． 等腰三角形上动点问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）在等腰中，，，于，点、点分别在射线、上运动，且保证，连接． (1)当点运动到点时，如图，求的长度； (2)当点运动到点时，如图，试判断的形状并证明； (3)当点在射线其它地方运动时，还满足（2）的结论吗？请用图说明理由． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，是等边三角形，边长为，点、分别是边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，分别沿边、运动，设运动时间为，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数； (2)连接，当为何值时，为直角三角形？ 手拉手模型 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 等腰三角形与垂直平分线 “三线合一”的应用 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）对于运用等腰三角形“三线合一”性质定理的推理过程，下列合理的是（　　） A．∵，平分 B．∵，平分，， C．∵，平分，， D．∵，∴ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质可得，再根据可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】解：是等腰三角形，平分， ，． 证明如下： 在等腰中，，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在等腰三角形中，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的综合运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质可判定A，B选项；根据角平分线的性质定理可判定C选项，根据D选项的条件无法破电脑角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， A、若，则， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故该选项不符合题意； B、若，且， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故该选项不符合题意； C、若，如图所示，过点作于点，作于点， ∴，， ∴， ∴是的角平分线，故该选项不符合题意； D、当时，不能确定点是角平分线，故该选项符合题意； 故选：D ． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，是四边形的对角线，，若，则点到边的距离为 ．    【答案】 【分析】作于E，作于F，证明是的平分线，利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：作于E，作于F，    ∵， ∴，， ∵， ∴，即是的平分线， ∵，， ∴，即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点，过点作，垂足为点． 求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的外角，熟练掌握三线合一，等角对等边证明等腰三角形是解题的关键．等腰三角形三线合一得到，，根据，得到，推出，即可得到； 【详解】证明： ． 于点 ． 等腰三角形的判定 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，是等腰三角形，是边上的中线．    (1)尺规作图：在边上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图，作，交于点即可． （2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质，证明，从而得，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作；    （2）解：由（1）作图可知：， ∴ ∵，是边上的中线． ∴是的角平分线，即 ∴ ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查作平行线，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握利用尺规，经过直线外一点作直线的平行线和等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，．    (1)尺规作图：在边上取一点，连接，使； (2)在（1）的条件下，若，，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，可得，则，再结合三角形的外角的性质可得，从而可得点P符合要求； （2）结合求解，再求解，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．    （2）由（1）知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练的作线段的垂直平分线是解本题的关键． 等边三角形的判定 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，直线，，，，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角性质，等边三角形的判定，求出是银题的关键． 先由平行线的性质得，从而可求得，即可由等边三角形的判定定理得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故选：C 2．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形．其作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，等边三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据等边三角形的判定解决问题即可． 【详解】解：选项A中，，， 是等边三角形． 其余选项，都没有满足满足条件的等边三角形存在． 故选：A． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线和高线的定义易证，即得出，，从而即证垂直平分；     （2）根据四边形内角和为，可求出，即证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴，即．        ∵、分别是和的高， ∴．        又∵， ∴，           ∴，，           ∴点A，点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知，，， 在四边形中，， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形高的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，四边形内角和，等边三角形的判定等知识，涵盖知识点较多，熟练掌握是解题关键． 4．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和线段垂直平分线的作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）首先利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明，进而可得两个内角的度数为，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图所示：DE即为所求； （2）证明是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． 垂直平分线（作图）及性质 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（    ）    A．0 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明是本题的关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，直线是斜边的垂直平分线交于．若，，则的周长为    【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，由此可得的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵直线是斜边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，已知． (1)求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质． （1）利用基本作图作出的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：垂直平分， ，， ∴ 的周长为， 即， ， 即， ， 的周长为． 黄金三角形 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，点D是上一点，且，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，根据题意可得，进一步得到和，即可判定图中的等腰三角形个数． 【详解】解：在中，，，则， ∵， ∴， ∴， 则等腰三角形的个数有3个，分别是 ，． 故选C． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，利用基本作图得到平分，则可对选项进行判断；利用基本作图可得到点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：，， ， ， 由作图痕迹得到平分，点为的垂直平分线与的交点， ，所以A选项不符合题意； ，所以B选项不符合题意； ， ， ， 所以C选项不符合题意； ，， ， ， D选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，已知等腰中，，平分．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等角对等边，等边对等角可得到边长之间的关系，即可得到答案，准确找到边长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，即， 即， 在中， ∵， ∴， 即， 故选：C． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料  从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． 解答下列问题： (1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°； (2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线； (3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：． 【答案】(1)72，108 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和可求出，由已知条件可得出，再利用三角形内角和可求出． （2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证、均为等腰三角形，即可得证结论； （3）根据完美分割线的定义可得出，， ，根据折叠的性质可得出，进而可得出，根据证，即可得证结论． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵为的完美分割线，且， ∴， ∴ 故答案为：72，108； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、均为等腰三角形， ∴为的完美分割线； （3）∵是的一条完美分割线，且 ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 构造等腰三角形的分类讨论 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】以B点为圆心，AB长为半径画弧与x轴有两个加点，再以A为圆心，AB长为半径画弧与x轴还有一个焦点，AB的中垂线与x轴又有一个交点共有4个点满足△APB为等腰三角形即可． 【详解】解：如图，在x轴上共有4个这样的P点（图中实心点）． 故选：D．    【点睛】本题主要考查了等腰三角形的形状以及坐标与图形的简单结合，能够熟练掌握是解题关键． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，点D，E分别是，上的动点，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，则的度数为（    ）     A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了含直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论． 由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得． 【详解】解：，， ， 分三种情况讨论： ①当时，如图： ， ； ②当时，如图： ， ； ③当时，如图：点是的中点，点与点重合， ， ； 综上所述，为或或， 故选：D． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，写出其中一个点P的坐标是 ． 【答案】 8； （5，0）（答案不唯一） 【详解】解：如图所示，满足条件的点P有8个： 由A（4，3），根据勾股定理可得OA=5． 以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形分三种情况： 若OA=OP，则P的坐标为（5，0）或（0，5）或（﹣5，0）或（0，﹣5）； 若OA=AP，则P的坐标为（8，0）或（0，6）． 若OP=AP，则P的坐标为（，0）或（0，）． 综上所述，满足条件的点P有8个． 等腰三角形上动点问题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当与全等时，点Q的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）在等腰中，，，于，点、点分别在射线、上运动，且保证，连接． (1)当点运动到点时，如图，求的长度； (2)当点运动到点时，如图，试判断的形状并证明； (3)当点在射线其它地方运动时，还满足（2）的结论吗？请用图说明理由． 【答案】(1)2 (2)等边三角形，证明见详解 (3)满足，理由见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与等边三角形的判定等等： （1）证明，得到，然后求即可； （2）根据（1）可得：，即可得出为等边三角形； （3）过作于，证得，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ； （2）解：是等边三角形．证明如下： ， ， ， 是等边三角形． （3）解：还满足（2）的结论，理由如下： 过作于， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是等边三角形． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，是等边三角形，边长为，点、分别是边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，分别沿边、运动，设运动时间为，且它们的速度都为． (1)连接、交于点，则在点、运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数； (2)连接，当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)秒或秒 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质， （1）根据等边三角形的性质得和，根据运动得，即可得，得到，根据三角形的外角的性质解答即可； （2）设点P，Q运动x秒时，则，，分和两种情况，根据含角的直角三角形性质计算即可． 【详解】（1）的大小不发生变化，理由如下， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ∴． ∴， ∴ 则 （2）设点P，Q运动x秒时，是直角三角形， 则，， ①当时， ∵， ∴，即，解得，； ②当时， ∵， ∴，即，解得； 故当t为秒或秒时，是直角三角形． 手拉手模型 1．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴， ∴ ，故②正确； 连接，过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定， 三角形的内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 【答案】（1），；（2），，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质，理解题中“手拉手模型”，熟练掌握全等三角形的性质，利用类比方法证明是解答的关键． （1）先得到，再证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）先得到，再证明，得到，，进而利用三角形的外角性质得到，即可证得结论； （3）作，，连接，证明是等边三角形，得到，，进而得到D、C、H三点共线，则，然后证明得到即可证，从而得解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$