专题12 期末压轴题专练（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题12 期末压轴题专练 乘法公式与几何图形（数形结合） 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 因式分解压轴题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则 ． 作辅助线构造一线三等角 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型. 【模型应用】 （2）①如图2，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．    2．（23-24八年级上·福建福州·期末）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 计算三角形面积压轴题 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，平分，点在上，若，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，和中，，，，点在上，若，则和重叠部分的面积为（    ）    A． B． C．3 D． 4．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 折叠问题压轴题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到．    (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)当点E落在下方时，设与相交于点F． ①如图2，若，试说明：； ②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图1，四边形中，，，，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为，将四边形的直角沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1） (1)若点D与点A重合，则 ， ． (2)若，四边形的直角沿直线l折叠后（如图2），点B落在四边形的边AB上的E处，直线l与AB相交于点F，猜想OF、EF、AB三者数量关系，并证明． (3)若折叠后点D恰为AB的中点（如图3），求的度数； 综合探究题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）【综合实践活动】 【问题背景】 小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的绳子，小亮寻求哥哥的帮助． 【理论准备】 哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因； 【实际操作】 小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下： （1）在房屋M墙边找一点C，使得； （2）在院子里找一点E，使得：此时发现； （3）测量出B到房屋M墙的距离，即：，； （4）测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现； 经过以上的方法可以计算出的长度． 请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度： 解：如图4，延长至F，使得，连接． …… 【成果迁移】 如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）综合实践：按照要求测量木料之间的距离． 1．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n是相互平行． 2．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． 3．测量工具：如图②，一把刻度尺．（刻度尺宽度为，两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角） 4．测量方法及求解过程 (1)小清同学完成的测量步骤及求解过程，如图③所示，测量步骤如下： 步骤一：在边m上取点A，在边n上取点B，C； 步骤二：连接，； 步骤三：把刻度尺一边与重合，另一边与交于点D，与交于点E； 步骤四：测得，，； 求解过程如下： 过点A作交于点N，交n于点M， 则________①，， 设，则________②， ∵， ∴， ∴________________④ ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离________⑤． 请补充小清同学求解过程中①②③④⑤所缺的内容； (2)小庄同学也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料之间的距离方案，请你根据图④帮助小庄同学完成测量方案，要求写出测量步骤及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示．（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案） 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）综合实践． 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 活动资源 提供长度不同的两种木棒各4根（如图） 入项任务 运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完．选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图）进行研究． 问题探究过程 发现问题 请观察以上所有图形，并研究不同（2种或2种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？ 例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍． 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积． 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？ 你的发现是 ；（请用简洁的语言描述） 提出问题 请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，． 例如：小明的结论是． 小张的结论是， 你的结论是： ； 分析问题 请用所学的数学知识证明你的结论． 例如：小明的证明方法如下． 证：∵，， ∴， 你的证明： ； 拓展创新 把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系． 你的示意图： ； 你的关系式： ． 迁移应用 根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值． 你的解答： ． ( 1 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2．（23-24八年级上·福建福州·期末）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 因式分解压轴题 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 作辅助线构造一线三等角 1．（23-24八年级上·福建南平·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型. 【模型应用】 （2）①如图2，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图3，在平面直角坐标系中，点为平面内任一点，点的坐标为，若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．    【答案】（1），；（2）①见解析；②或 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①如图2，作于，于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点是的中点； ②分两种情况讨论，如图3，过作轴于，过作轴于，与相交于，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，设，则，于是得到结论，如图4，同理可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，； 故答案为：，； （2）①如图2，作于，于，    ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； ②如图3，过作轴于，过作轴于，与相交于，    ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 点的坐标； 如图4，过作轴于，过作轴于，与相交于，    ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 设，则， ， ， ，， 又此时点在第四象限，点的坐标， 综上所述，点的坐标为或， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）（1）【问题提出】如图，在和，已知，，三点在一条直线上，，，则的长度为 ． （2）【问题提出】如图，在中，，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为 ． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． （）证明，得，，进而可以解决问题； （）过作交延长线于，证明，得，进而可以求的面积； （）过作于，过作交延长线于，根据面积为，且的长为，得，证明是等腰直角三角形，再根据，可得，，证明，可得，进而可以解决问题； 【详解】解：（）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过作交延长线于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作于，过作交延长线于， ∵面积为，且的长为， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴河流另一边森林公园的面积为， 故答案为：． 计算三角形面积压轴题 1．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线 ， 在和中 ， ，，， 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，平分，点在上，若，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，设，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的性质得，根据推出，继而得到，即，再根据，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：设，， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 3．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，和中，，，，点在上，若，则和重叠部分的面积为（    ）    A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，连接，作于点，于点，先证明，根据条件算出的面积，再求出与的比值即可解决问题． 【详解】设与相交于点，连接，作于点，于点，如图所示：       ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即和重叠部分的面积为， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系． 4．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 【答案】 /0.6 【分析】本题考查的是比的应用，等底等高的两个三角形的面积之间的关系； （1）设、、和四边形的面积都为1份；可得的面积为份，的面积为份，再进一步解答即可； （2）如图，连接，由，可得（份），（份），同理：，，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）设、、和四边形的面积都为1份； ∵， ∴， ∵与是以，为底边，而高相同， 的面积为1份， ∴的面积为份， ∴的面积为份， ∴， ∵与是以为底边，而高相同， ∴； 故答案为： （2）如图，连接， ∵， ∴（份）， ∴（份）， 同理：，， ， ∴（份）， ∵的面积为728， ∴， 故答案为： 折叠问题压轴题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）在中，，，点D是边上一点，将沿翻折后得到．    (1)如图1，当点E落在上时，求的度数； (2)当点E落在下方时，设与相交于点F． ①如图2，若，试说明：； ②如图3，连接平分交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据翻折可得，再利用外角即可求出的度数； （2）①根据翻折可得，再利用垂直可得，即可得到； ②设，根据角平分线和平行线可得，，可求得，再利用外角可得，即可得到． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵将沿翻折后得到， ∴， ∴； （2）①根据翻折可得， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质与判定，三角形的外角性质，解题的关键是理清角度之间的关系． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图1，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，向内折叠并压平，点，分别落在点和点处． 小明同学的操作如图2，点在线段上； 小红同学的操作如图3，点在上，点在上． (1)在图1中，若，求的度数； (2)直接写出图2和图3中的度数； (3)若折叠后， 求的度数(用含的代数式表示)． 【答案】(1) (2)图2中，；图3中， (3)或 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，即可求解． （2）图2根据折叠的性质得，，从而可得，即可求解；图3根据折叠的性质可得，再由 ，即可求解； （3）分两种情况：先表示出的度数，再根据和进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质得：， ， ； （2）解：图2中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即， ； 图3中，由折叠的性质得：，， ， ， ， 即； （3）解：分两种情况进行讨论： ①当与不重叠时，如图1所示： 由折叠的性质得：，， ， ， 即， ， ； ②当与重叠时，如图4所示： 由折叠的性质得：，， ， 又， ， 即， ． 综上所述：的度数为或． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图1，四边形中，，，，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为，将四边形的直角沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1） (1)若点D与点A重合，则 ， ． (2)若，四边形的直角沿直线l折叠后（如图2），点B落在四边形的边AB上的E处，直线l与AB相交于点F，猜想OF、EF、AB三者数量关系，并证明． (3)若折叠后点D恰为AB的中点（如图3），求的度数； 【答案】(1)，8 (2)数量关系为：；证明见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠的性质即可解决问题； （2）数量关系为：；由折叠的性质、等腰直角三角形的判定即可证明； （3）延长，交于点F，易证，则有，根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而就可求出． 【详解】（1）解：若点D与点A重合，则． 故答案为：，8． （2）解：数量关系为：； 证明如下： 由折叠知：， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：延长，交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠知：， ∴根据线段垂直平分线的性质得：， ∴． 由折叠可得， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，折叠的性质运用、证明三角形全等是解题的关键． 综合探究题 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）【综合实践活动】 【问题背景】 小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的绳子，小亮寻求哥哥的帮助． 【理论准备】 哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因； 【实际操作】 小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下： （1）在房屋M墙边找一点C，使得； （2）在院子里找一点E，使得：此时发现； （3）测量出B到房屋M墙的距离，即：，； （4）测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现； 经过以上的方法可以计算出的长度． 请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度： 解：如图4，延长至F，使得，连接． …… 【成果迁移】 如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离． 【答案】理论准备：见详解；实际操作：；成果迁移：150海里 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确理解题意，做出辅助线解答． （理论准备）：证明，即可求解； （实际操作）：证明，得出再证明根据即可求解； （成果迁移）：延长并截取，证明， ，根据即可求解； 【详解】（理论准备）：在和中 ， ， ； （实际操作）： 证明：由题意可得， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； （成果迁移）：延长并截取， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 海里． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）综合实践：按照要求测量木料之间的距离． 1．木料特征：如图①是一块木料，其中两边m和n是相互平行． 2．测量目标：需要测量如图①这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． 3．测量工具：如图②，一把刻度尺．（刻度尺宽度为，两端受损，可以测量木料上任意两点之间距离，但无法用刻度尺直接画出直角） 4．测量方法及求解过程 (1)小清同学完成的测量步骤及求解过程，如图③所示，测量步骤如下： 步骤一：在边m上取点A，在边n上取点B，C； 步骤二：连接，； 步骤三：把刻度尺一边与重合，另一边与交于点D，与交于点E； 步骤四：测得，，； 求解过程如下： 过点A作交于点N，交n于点M， 则________①，， 设，则________②， ∵， ∴， ∴________________④ ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离________⑤． 请补充小清同学求解过程中①②③④⑤所缺的内容； (2)小庄同学也想利用所提供的测量工具，设计另一种测量木料之间的距离方案，请你根据图④帮助小庄同学完成测量方案，要求写出测量步骤及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示．（说明：操作、说理思路相同的方案视为同一种方案） 【答案】(1)①t；②；③；④；⑤ (2)见解析 【分析】（1）根据，得出，代入相关的量求出结果即可； （2）在平行边m、n上分别取A、B两点；连接，用刻度尺测量的长度为；在上取点C，使；在点B的右侧，边n上取点D，使；连接，用刻度尺测出；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，证明即可． 【详解】（1）解：过点A作交于点N，交n于点M， 则，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离． （2）解：测量步骤如下： 步骤一：在平行边m、n上分别取A、B两点； 步骤二：连接，用刻度尺测量的长度为； 步骤三：在上取点C，使； 步骤四：在点B的右侧，边n上取点D，使； 步骤五：连接，用刻度尺测出； 求解过程如下： 根据测量可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴这块木料上平行边m和n之间的垂直距离为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，分式混合运算的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）综合实践． 活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系 活动资源 提供长度不同的两种木棒各4根（如图） 入项任务 运用以上8根木棒（不折断）摆成长方形或正方形，且木棒全部用完．选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法（如图）进行研究． 问题探究过程 发现问题 请观察以上所有图形，并研究不同（2种或2种以上）摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？ 例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍． 小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积． 聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？ 你的发现是 ；（请用简洁的语言描述） 提出问题 请用代数式表示你的发现（设两种木棒的长度分别为a，b（其中），四种图形面积分别为，，，． 例如：小明的结论是． 小张的结论是， 你的结论是： ； 分析问题 请用所学的数学知识证明你的结论． 例如：小明的证明方法如下． 证：∵，， ∴， 你的证明： ； 拓展创新 把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系． 你的示意图： ； 你的关系式： ． 迁移应用 根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值． 你的解答： ． 【答案】[发现问题]丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；[提出问题]；[分析问题]证明见解析；[拓展创新]图见解析，；[迁移应用] 【分析】本题主要考查以几何图形为背景的完全平方公式应用， [发现问题]根据正方形和长方形面积即可得到； [提出问题]结合上一问即可得到； [分析问题]利用面积公式和完全平方公式即可证明； [拓展创新]利用面积和完全平方公式求解即可； [迁移应用]x和y的大小关系结合拓展创新得结论即可求得答案． 【详解】解：[发现问题]如图，连接各点． 由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和． 故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和． [提出问题] 由发现问题得． 故答案为：． [分析问题] ∵，． ∴． 又∵， ∴． 故答案为：； [拓展创新] 示意图如图． 图中每个矩形的面积为， 小正方形的面积为． 大正方形的面积为． ∵， ∴． 故答案为： ，． [迁移应用] 若，令，． 根据，得，即， 解得． 若，令，． 同理，得，解得． ∴． 故答案为：． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$