专题11 最值专题（8大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题11 最值专题 利用尺规作图求最短距离 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，要在公路旁修建一个货物中转站，分别向两个开发区运货．（分别在图上找出点，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明．） (1)若要求货站到两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？ (2)若要求货站到两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？ 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找点P使最小，在图形上画出点P的位置； (3)在直线上找点Q使最大，直接写出这个最大值． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，在中，，，试解决下列问题：    (1)在边上找一点P，边上找一点Q，使最小； (2)已知，求的最小值． 求两线段之和最小值（最短路径） 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 线段相减的最大值 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为 ．    3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，，，，是内的一条射线，且，P为上一动点，则的最大值是 ．（结果表示根据需要可以含a，b，c） 利用三角形三边关系求最值 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）四边形中，，，，，则的最大值为 ．    2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，，在的同侧，，，，M为的中点．若，则长的最大值是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 三角形周长最小值 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图所示，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于E，F两点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，求周长的最小值． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 求面积最值 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ． 已知最值反求角度 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，，点P是边上一点，则当点P到的距离与点P到点B的距离之和取得最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 已知面积反求最值 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图,钝角三角形的面积是,最长边,平分,点分别是,上的动点,则的最小值为 ． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，的面积是，最长边，平分，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 最值专题 利用尺规作图求最短距离 1．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，要在公路旁修建一个货物中转站，分别向两个开发区运货．（分别在图上找出点，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明．） (1)若要求货站到两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？ (2)若要求货站到两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称和垂直平分线的应用和作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线与的交点即为货站的位置，可得货站到两个开发区的距离相等． （2）作点的对称点，连接，根据两点之间线段最短，可得货站到两个开发区的距离和最小． 【详解】（1）解：要使货站到两个开发区的距离相等，可连接，线段中垂线与的交点即为货站的位置，如图： （2）解：由于两点之间线段最短，所以过点作关于对称，连接，与的交点即为货栈站的位置，如图： 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找点P使最小，在图形上画出点P的位置； (3)在直线上找点Q使最大，直接写出这个最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；最大值为3 【分析】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接即可； （2）作点C关于的对称点D，连接交于一点，该点即为点P； （3）由于，则，而由三角形的三边关系可得，当Q、、B三点共线时取等号，从而可得答案． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示：    （2）解：如图，作点C关于的对称点D，连接交于一点，该点即为所求作的点P；    ∵点C与D关于的对称， ∴， ∴， ∵，只有当点P、B、D三点共线时等号成立， ∴当点P、B、D三点共线时，最小，即最小； （3）解：先作出A关于直线的对称点，连接并延长交于一点，该点即为点Q，如图所示：    ∵， ∴， 根据三角形的三边关系可得，当Q、、B三点共线时取等号， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，在中，，，试解决下列问题：    (1)在边上找一点P，边上找一点Q，使最小； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）寻找点A关于的对称点，过点作的垂线段即可； （2）利用等腰三角形和角平分线的性质说明的最小值等于的长即可． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，过点作于点Q，交于点P，连接，则点P，Q即为所求的点．    根据作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当、P、Q在同一直线上，且时，最小，即最小． （2）解：由（1）中作图易知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故的最小值为2． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． 求两线段之和最小值（最短路径） 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在三角形中，，，是边上的高，为边上一点，为上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接，与交于点，此时最小，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴， ， ， 即就是的最小值， ，点是边的中点， ∴， ∵，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 2．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 是等边三角形， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为5． 故答案为：5 3．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】过 作 于点 ，交 于点 ， 过 点 作 于 ，则 即为 的最小值，再根据三角形的面积公式求出 的长，即为 的最小值； 【详解】过 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 ，如图：    ∵ 平分 于点 于 ， ∴， ∴ 是 最小值，此时 与 重合， 与 重合， ∵三角形 的面积为 ， ∴， ∴， 即 的最小值为 6 ； 故选：D 【点睛】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解 的长度即为 最小值 4．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 线段相减的最大值 1．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为 ．    【答案】6 【分析】先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点N，交于点M， ∴， ∵的周长是16，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，，，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为6，此时点P是直线与直线的交点． 故答案为：6． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，，，，是内的一条射线，且，P为上一动点，则的最大值是 ．（结果表示根据需要可以含a，b，c） 【答案】a 【分析】本题考查了线段之差的最小值问题，作点关于射线的对称点，连接、、B'P．则，，是等边三角形，在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即可求解．正确作出点B的对称点是解题的关键． 【详解】解：如图， 作点关于射线的对称点，连接、，． 则，，，． ∵， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， 在中，， 当、、在同一直线上时，取最大值，即为a． ∴的最大值是a． 故答案为：a． 利用三角形三边关系求最值 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）四边形中，，，，，则的最大值为 ．    【答案】19 【分析】在的上方作等边，证明，求出的取值范围，可得结论． 【详解】解：在的上方作等边，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形三条边的关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，，在的同侧，，，，M为的中点．若，则长的最大值是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接、、、、，证明为等边三角形，即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接、、、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴的最大值为14， 故选：D． 三角形周长最小值 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形三边关系，三角形的面积与周长等知识，解题的关键是确定． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图所示，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于E，F两点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，求周长的最小值． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质及面积求出，结合垂直平分线的性质找到最小距离点即可得到答案 【详解】解：如图13-4-12所示，连接，， ∵， ∴是等腰三角形． 又∵点D为边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 3．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 求面积最值 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A．40 B．28 C．20 D．10 【答案】D 【分析】延长，交于点，可证，得出，，则，当时，最大为20，即最大为10． 本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键． 【详解】解：如图：延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， ， 当时，最大， 即最大． 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，，点分别在射线上，，，点P是直线上的一个动点，点P关于的对称点为，点P关于的对称点为，连接、、，当点P在直线上运动时，则面积的最小值是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 面积的最小值是 故答案为：18． 已知最值反求角度 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题．点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数．解题的关键是掌握下面两个知识点：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置；两个图形关于某条直线成轴对称，对应线段相等，对应角相等． 【详解】解：∵点和点在直线的同旁， ∴作点关于点的对称点，连接交直线于点，则的值最小． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 3．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，，点P是边上一点，则当点P到的距离与点P到点B的距离之和取得最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长，取，连接，过点P作，过点作于点E，交于点，证明垂直平分，得出，说明， 根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当在点处时，点P到的距离与点P到点B的距离之和最小，然后求出结果即可． 【详解】解：延长，取，连接，过点P作，过点作于点E，交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当在点处时，点P到的距离与点P到点B的距离之和最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即当点P到的距离与点P到点B的距离之和取得最小值时，等于． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 【答案】50 【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论． 【详解】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示． 根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，, ∴， ∴， 故答案为：50． 已知面积反求最值 1．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图,钝角三角形的面积是,最长边,平分,点分别是,上的动点,则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意过点作于点,交于点,过点作于点,则即为的最小值,再根据三角形面积公式求出的长,即为的最小值． 【详解】解：过点作于点,交于点,过点作于点, , ∵平分,,, ∴, ∴的最小值, ∵三角形的面积是,, ∴,即,解得:, ∴则的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题,角平分线性质,垂线段最短,三角形面积公式． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）如图，的面积是，最长边，平分，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】过点C作于点E，交AD于点M，过点M作于N，则CE的长即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长即可． 【详解】解：过点C作于点E，交AD于点M，过点M作于N， 平分，于点E， 于N， ， ， 根据垂线段最短可知，CE的长即为的最小值， 的面积是，最长边， ， ， 即的最小值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查轴对称——最短路径问题，关键是根据垂线段最短将的最小值转化为CE ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$