专题11 期末压轴题专练（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（福建专用）

专题11 期末压轴题专练 找规律型压轴题 1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，对应的数为 ，如果点与原点的距离大于，那么的值至少是 ． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）（）当数字之间满足特殊关系时，常常有一些特殊的计算规律，观察下列各式，你能发现什么规律？请用简短的文字叙述． ，，，． （）请用字母表示数证明你发现的规律． （）利用你发现的规律计算： ； ． 新定义型压轴题 1．（23-24七年级上·福建三明·期末）【阅读理解】 定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离一半，则称点C是（A，B）的相伴点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为，点D表示的数为0．点C到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点C是（A，B）的相伴点；又如，点D到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点D就不是（A，B）的相伴点，但点D是（B，A）的相伴点． 【知识应用】 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为1． (1)点E，F，G表示的数分别是，，，其中___________是（M，N）的相伴点； (2)现有一个动点P从点M出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当运动时间t为何值时，点P是（N，M）的相伴点？ 【拓展提升】 (3)如图3，A，B为数轴上两点，若点A表示的数是，点B表示的数是，现有两个动点P、Q分别从点A，B开始，同时出发，均以每秒3个单位长度的速度向右运动．当点P，Q和B中恰有一个点为其余两点的相伴点时，运动时间为___________秒（直接写出答案）． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”． (1)若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是 ； (2)如图1，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和； (3)如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”． 整式、方程压轴题 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）对整式进行如下操作：将与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①；②；③；④当n为奇数时，第n次操作结果；当n为偶数时，第n次操作结果；四个结论中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·福建宁德·期末）一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则为“型数”；，因为，则为“型数”．若四位数是“型数”，是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”，则满足条件的最小四位数的值为 ． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）某店三八节推出，，三种花束，每种花束的成本分别为105元/束，135元/束，70元/束．在3月7日，，，三种花束的单价之比为，销量之比为．在3月8日，由于供不应求，该花店适当调整价格，预计3月8日三种花束的销售额将比3月7日有所增加．，花束增加的销售额之比为；3月8日花束的单价上调25%且，花束的销售额之比为．同时三种花束的销量之比不变，若3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，则3月8日当天的利润率为 ． 数轴创新题 1．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．    (1)若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； (2)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：． ①第几次滚动后，大圆离原点最远？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留） ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？（结果保留） (3)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）数轴上点表示．点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点和点在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点从点出发．以个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速座向终点运动，点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为秒．    (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为________； (2)当________时，、两点在折线段上相遇； (3)当________时，、两点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度； (4)当为几秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 动点压轴 1．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，点是数轴上的两个点，点表示的数为，点在点右侧，距离点个单位长度，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)填空：数轴上点表示的数为________；数轴上点表示的数为___________（用含的代数式表示）． (2)若另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时出发，问点运动多少秒能追上点． (3)设和的中点分别为点，在点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A、的位置，并求出A、之间的距离； (2)若点在线段上，且，当数轴上有点满足时，求数轴上点表示的数； (3)动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，.点在移动过程中，能否与点A或重合？若都不能，请直接回答；若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合？ 动角压轴题 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 3．（23-24七年级上·福建漳州·期末）在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）． (1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则 ； (2)如图，若射线、同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线、同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”； (3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 期末压轴题专练 找规律型压轴题 1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上； （1）每次只能移动1个碟片． （2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面． 如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则（    ） A．31次 B．33次 C．62次 D．63次 【答案】D 【分析】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：时，； 时，小盘柱，大盘柱，小盘从3柱柱，完成，即； 时，小盘柱，中盘柱，小盘从2柱柱，大盘柱，再用的方法转移， 即， 以此类推，， ． 故选：D． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； 四次一个循环，因为，所以它们第2023次相遇在边上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，在数轴上，点表示，现将点沿数轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，对应的数为 ，如果点与原点的距离大于，那么的值至少是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律探究，根据点的移动规律，通过计算，由所表示的数找到规律，把代入即可解答；根据点与原点的距离大于，分是奇数和偶数两种情况列出对应的不等式，解之即可求解；通过计算探究出移动后的点表示的数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题可得：表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，， 第次移动表示的数为，当是奇数时，表示的数是；当是偶数时，表示的数是； ∴时，， 故答案为：； 当时，解得，此时的最小值 为； 当时，解得，此时的最小值 为； ∴的最小值 为， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·福建厦门·期末）（）当数字之间满足特殊关系时，常常有一些特殊的计算规律，观察下列各式，你能发现什么规律？请用简短的文字叙述． ，，，． （）请用字母表示数证明你发现的规律． （）利用你发现的规律计算： ； ． 【答案】（）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是；右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出； （），理由见解析；（）；． 【分析】（）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是；右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出； （）根据（）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明； （）根据所得规律进行计算即可； 本题考查了整式的混合运算的应用，找出题中的规律是解题的关键． 【详解】解：（）发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是；右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字的数相乘； （）设十位上的数字为，个位上的数字为， 则上述规律可表示为：； 证明： ， ， ∴左边右边， ∴成立； （）； ； 故答案为：；． 新定义型压轴题 1．（23-24七年级上·福建三明·期末）【阅读理解】 定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离一半，则称点C是（A，B）的相伴点． 例如：如图1，点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为，点D表示的数为0．点C到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点C是（A，B）的相伴点；又如，点D到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点D就不是（A，B）的相伴点，但点D是（B，A）的相伴点． 【知识应用】 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为1． (1)点E，F，G表示的数分别是，，，其中___________是（M，N）的相伴点； (2)现有一个动点P从点M出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当运动时间t为何值时，点P是（N，M）的相伴点？ 【拓展提升】 (3)如图3，A，B为数轴上两点，若点A表示的数是，点B表示的数是，现有两个动点P、Q分别从点A，B开始，同时出发，均以每秒3个单位长度的速度向右运动．当点P，Q和B中恰有一个点为其余两点的相伴点时，运动时间为___________秒（直接写出答案）． 【答案】(1)点E或 (2)或6秒 (3)或或或或或 【分析】（1）根据概念分别求出三点到M、N的距离，即可得出答案； （2）方法一：依题意得：，，，分当时，当时列出方程求解即可得出答案； 方法二：依题意得：，，，分当时，当时列出方程求解即可得出答案； （3）求出表示的数为，点Q表示的数为，根据相伴点的概念分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）点E点M的距离为9，点E点N的距离为 点E是（M，N）的相伴点； 点F点M的距离为6，点E点N的距离为3 点F不是（M，N）的相伴点； 点G点M的距离为，点E点N的距离为 点G不是（M，N）的相伴点； 综上，E是（M，N）的相伴点 （2）方法一： 解：依题意得：，， 当时，，则有： 解得： 当时，，则有： 解得： ∴综上所述，当运动时间或6秒时，点P是（N，M）的相伴点 方法二： 依题意得：，， 当时，，则有： 解得： 当时，，则有： 解得： ∴综上所述，当当运动时间t=2或6秒时，点P是（N，M）的相伴点； （3）两个动点P、Q分别从点A，B开始，同时出发，均以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为 动点P、Q运动的距离为 点P表示为，点Q表示为 ①点B是的相伴点时 则 解得； ②点B是的相伴点时 则 解得； ③点P是的相伴点时 则 解得； ④点P是的相伴点时 则 解得； ⑤点Q是的相伴点时 则 解得； ⑥点Q是的相伴点时 则 解得 综上所述，运动时间为：或或或或或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系式并理解相伴点的概念． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． (1)【理解与应用】 如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________． (2)【拓展与延伸】 已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值； ②t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①；②1或8 【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案； （2）①设运动时间为，再根据的值是个定值即可求出的值；②分点从点向点方向运动时和点从点向点方向运动两种情况分析即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）①设运动时间为，则，， 根据“点值”的定义得：，， 的值是个定值， 的值是个定值， ； ②当点从点向点方向运动时， ， ， ； 当点从点向点方向运动时， ， ， ， 的值为1或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”． (1)若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是 ； (2)如图1，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和； (3)如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”． 【答案】(1)或1 (2) (3)经过秒或秒，点N是点P、Q的“奋斗中心” 【分析】本题为新定义问题，考查了数轴上上的点表示有理数，绝对值方程等知识，理解新定义，根据题意设出未知数，列出方程是解题关键． （1）先确定点A表示的数是﹣1，设M表示的数是x，根据“青春点”的定义得到绝对值方程，解方程即可求解； （2）设点N表示的数为y，即可得到，根据N表示的数是整数，得到y的值为，求和即可求解； （3）设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”，得到经过z秒，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据“奋斗中心”的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点A表示最大的负整数， ∴点A表示的数是， 设M表示的数是x，则， 解得或1， ∴点A的“青春点”M表示的数是﹣3或1， 故答案为：或1； （2）解：设点N表示的数为y， ∵A，B间的距离为5， ∴， ∵N表示的数是整数， ∴y的值为， ∴满足条件的点N所表示的整数的和为； （3）解：设经过z秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”． 根据题意可知，经过z秒，点P表示的数是，点Q表示的数是， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过秒或秒，点N是点P、Q的“奋斗中心”． 整式、方程压轴题 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）对整式进行如下操作：将与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第一次操作；将第一次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第二次操作；将第二次的操作结果与另一个整式相加，使得与的和等于，表示为，称为第三次操作；将第三次操作的结果与另一个整式相减，使得与的差等于，表示为，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：①；②；③；④当n为奇数时，第n次操作结果；当n为偶数时，第n次操作结果；四个结论中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意可得出规律为，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ， 以此类推， 可得． 由于， ， ， ， 以此类推， 可得， 当n为奇数时，，当n为偶数时，． ∴， 故结论①错误； =22． 故结论②错误； ． 故结论③错误； ∵当n为奇数时，，当n为偶数时，， 故结论④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查规律型-数字的变化类、整式的混合运算，能够根据题意找出规律是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·福建宁德·期末）一个四位数（其中，，，，且均为整数），若，且为整数，则称为“型数”．例如：，因为，则为“型数”；，因为，则为“型数”．若四位数是“型数”，是“型数”，将的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数，也是“型数”，则满足条件的最小四位数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出代数式和等式，对与的大小关系进行分类讨论，用消元法求出的最小值即可． 【详解】解：∵为“3型数”， ∴①， ∵为“3型数”， ∴②， 由①②得， ∵是“型数”， （1）若，则不产生错位， ∴， ∴③， 联立①③得， ， ∴，即 ∵都是整数， ∴不符题意，舍去， （2）若，则产生错位， ∴是“型数”， ∴， 即④， 联立①④得， ∴， 将， 代入， ∴， 又∵， ∴, ∵， ∴当最大时，最小，此时，， ∴最小． 故答案为：． 【点睛】本题考查学生列出代数式和等式进行计算的能力，根据与的大小关系进行分类讨论是本题难点． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）某店三八节推出，，三种花束，每种花束的成本分别为105元/束，135元/束，70元/束．在3月7日，，，三种花束的单价之比为，销量之比为．在3月8日，由于供不应求，该花店适当调整价格，预计3月8日三种花束的销售额将比3月7日有所增加．，花束增加的销售额之比为；3月8日花束的单价上调25%且，花束的销售额之比为．同时三种花束的销量之比不变，若3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元，则3月8日当天的利润率为 ． 【答案】36% 【分析】设A种花束的单价为3m，B种花束的单价为4m，C种花束的单价为2m，A，，三种花束的销量分别为n，n，3n，设A花束增加额为a,则C花束的增加额为2a,B花束单价为4m(1+25%)根据A，花束的销售额之比为．列出方程，解得，然后求出3月8日三种花束的单价之和，3月7日三种花束的单价之和，根据3月8日三种花束的单价之和比3月7日三种花束的单价之和多96元列方程，解方程即可． 【详解】解：设A种花束的单价为3m，B种花束的单价为4m，C种花束的单价为2m，A，，三种花束的销量分别为n，n，3n， 设A花束增加额为a，则C花束的增加额为2a，B花束单价为4m(1+25%)=5m， ∴A种花束销售额为3mn+a，B种花束销售额为4m(1+25%)n， ∵A，花束的销售额之比为． ∴， 解得， ∴花束增加的销售额， ∴A种花束单价增加到，C种花束单价增加到， ∴3月8日三种花束的单价之和，3月7日三种花束的单价之和， ∴， 解得， 3月8日三种花束的单价分别为A：4×36=144元/束，B：5×36=180元/束，C: 元/束， 当天利率为[（144-105）×n+(180-135)×n+]÷(105n+135n+70×3n)×100%=36%． 故答案为：36%． 【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，整式的除法，掌握比例关系列代数式方法，列一元一次方程解应用题方法与步骤，整式除法的运算法则，增加额，利润率=利润÷成本是解题关键． 数轴创新题 1．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位．    (1)若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； (2)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：． ①第几次滚动后，大圆离原点最远？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？（结果保留） ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？（结果保留） (3)若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 【答案】(1) (2)①第六次，② (3)见解析 【分析】（1）求出大圆的周长，根据左移减，求解即可； （2）①确定截至每次滚动后，运动时间记录数总和的绝对值，从而确定与原点距离的大小，求出此时大圆与原点的距离即为两圆与数轴重合的点之间的距离；②确定实际运用的总时间，计算运动总距离即可； （3）分两圆同时向右滚动，同时向左滚动，大圆向右滚动，小圆向左滚动，以及大圆向左滚动，小圆向右滚动，四种情况，讨论求解即可. 【详解】（1）解：若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是， 故答案为：； （2）①第1次滚动后，， 第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，大圆离原点最远； 此时两圆与数轴重合的点之间的距离为； ②， ； ∴当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有； （3）设时间为t秒，分四种情况讨论： i）当两圆同向右滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数为：， ， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． ii）当两圆同向左滚动， 由题意得：t秒时，大圆与数轴重合的点所表示的数：， 小圆与数轴重合的点所表示的数：， ， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． iii）当大圆向右滚动，小圆向左滚动时， 同理得：， ， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． iiii）当大圆向左滚动，小圆向右滚动时， 同理得：， ， ，， 则此时两圆与数轴重合的点所表示的数分别为、． 【点睛】本题考查数轴，有理数运算，绝对值的意义，一元一次方程的实际应用，根据题意对动态问题作合理的分类讨论是解题的关键． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）数轴上点表示．点表示，点表示，点表示．如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点和点在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点从点出发．以个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速座向终点运动，点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为秒．    (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为________； (2)当________时，、两点在折线段上相遇； (3)当________时，、两点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度； (4)当为几秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 【答案】(1) (2) (3)或． (4)为秒或秒时 【分析】（1）先求得点表示的数为，点表示的数为，据此即可求解； （2）先求得点表示的数为，点表示的数为，据此即可求解；根据题意列出方程即可求解； （3）根据（2）的结论，分相遇前与相遇后分类讨论，即可求解． （4）分点在上，上，上三种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，点表示的数为，点表示的数为， ， 故答案为：． （2）当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点运动到点时，当点运动到点时，（秒）， 当点、都运动到折线段上时，即， 点表示的数为，点表示的数为； 、两点间的和谐距离； 、两点间的和谐距离； 当、两点相遇时，，解得， 故答案为：； （3）由（2）可得当、两点相遇前相距4，则 ， 解得： 相遇后相距4，则， 解得： 故答案为：或． （4）当点在上即时，点表示的数为，点表示的数为， 依题意得， 解得不合题意，舍去； 当点在折线段上，即时，点表示的数为，点表示的数为， 题意得，或， 解得或； 当点在上，即时，点表示的数为，点表示的数为，则点在点的左侧， 依题意得， 解得不合题意，舍去； 综上，当为秒或秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握一元一次方程的应用． 动点压轴 1．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，点是数轴上的两个点，点表示的数为，点在点右侧，距离点个单位长度，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)填空：数轴上点表示的数为________；数轴上点表示的数为___________（用含的代数式表示）． (2)若另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时出发，问点运动多少秒能追上点． (3)设和的中点分别为点，在点的运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)；； (2)点运动秒能追上点； (3)线段的长度不发生变化，值为． 【分析】()利用两点之间的距离计算方法求得点的所表示的数即可； ()点运动路程相差为，据此列出方程即可解答； ()分类讨论：当点在点两点之间运动时，当点运动到点的右侧时，点运动到点时，利用中点的定义和线段的和差易求出； 本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴上两点之间的距离，利用数轴得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴点表示的数为， 故答案为：； ， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得， 答：点运动秒能追上点； （3）解：线段的长度不发生变化． 如图，当点在点之间运动时，   ； 如图，当点运动到点的右侧时，   ； 当点运动到点时， ； 综上所述，线段的长度不发生变化，值为． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A、的位置，并求出A、之间的距离； (2)若点在线段上，且，当数轴上有点满足时，求数轴上点表示的数； (3)动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，.点在移动过程中，能否与点A或重合？若都不能，请直接回答；若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合？ 【答案】(1)见解析， (2)点对应的数为或 (3)当仅当时，点表示的数为，第10次移动点所得的对应点与点重合；当仅当时，点表示的数为15，第15次移动点所得的对应点与点重合 【分析】（1）根据二次方的非负性和绝对值的非负性求出a、b的值，然后再根据两点间距离公式求出A、之间的距离即可； （2）先根据点在线段上，且，得出点C表示的数为，分三种情况讨论，，，，分别求出结果即可； （3）根据移动规律依次求出前六次移动后所表示的数，从而找出规律，第次移动点所得的对应点表示的数为，且当为奇数时，点对应的数为奇数；当为偶数时，点对应的数为偶数，从而可以得出结论． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ， 数轴上标出A、得： （2）解：设点A、、、在数轴上对应的数分别为、、、， 点在线段上，且， ， ， ， ①当时，，， ， 解得：； ②当时，，， ， 解得：； ③当时，，， ， 此种情况不成立； 综合①②③得：点对应的数为或． （3）解：点能移动到与点A或重合的位置，理由如下： 第一次移动点所得的对应点表示的数为， 第二次移动点所得的对应点表示的数为， 第三次移动点所得的对应点表示的数为， 第四次移动点所得的对应点表示的数为， 第五次移动点所得的对应点表示的数为， 第六次移动点所得的对应点表示的数为， 第次移动点所得的对应点表示的数为， 观察发现：当为奇数时，点对应的数为奇数； 当为偶数时，点对应的数为偶数， 为，， 当仅当时，点表示的数为，第10次移动点所得的对应点与点重合； 当仅当时，点表示的数为15，第15次移动点所得的对应点与点A重合． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，数形结合，注意进行分类讨论． 动角压轴题 1．（23-24七年级上·福建福州·期末）将一副直角三角板按如图1摆放（，），点D，C，A都在直线上，保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转．三角板的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)当与重合时，求t的值； (2)如图2，平分，为的三等分线，且． ①当时，求的值； ②在三角板旋转一周的过程中，若，直接写出t的值为______． 【答案】(1) (2)①；②8或17或26或29 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角三等分线的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出旋转前，则当与重合时，旋转的角度为150度，即可得到； （2）①先求出，进而得到，则；②分当时， 当时， 当时，分别求出 ，进而求出，再根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴旋转前， ∴当与重合时，旋转的角度为150度， ∴； （2）解：①由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∴； ②当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，由题意得，， ∴， ∵平分，为的三等分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，或或或， 故答案为：8或17或26或29． 2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3) 【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解； （2）根据图形得出，计算，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1，， 在内部， ，， ， ， ； （2）；理由如下：如图2， ， 射线、分别在内、外部， ， ， ， ； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，， ， ， ； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则， ， ，， ， ， ， . 综合①②得． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 3．（23-24七年级上·福建漳州·期末）在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）． (1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则 ； (2)如图，若射线、同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线、同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”； (3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小． 【答案】(1)或； (2)或； (3)或． 【分析】（1）根据“二倍关联角”的概念，得到，分两种情况讨论即可得到答案； （2）分三种情况讨论：①当时；②当时；当时，分别用含t的式子表示出和,再利用“二倍关联角”的概念列方程求解即可得到答案； （3）分三种情况讨论：①当在内部时；②当在内部时；③当在外部时，利用“二倍关联角”的概念分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的“二倍关联角”，， ； 如图，当在上方时，， 如图，当在下方时，， 故答案为：或； （2）解：①当时，，， 是的“二倍关联角”， ， ， ，符合题意， ②当时，，， 是的“二倍关联角”， ， ， ，不符合题意，舍去； 当时，，， 是的“二倍关联角”， ， ， ，符合题意， 综上可知，当或时，是的“二倍关联角”； （3）解：①如图，当在内部时， ， 解得：， ②如图，当在内部时， ， 解得：， ③如图，当在外部时， ， 解得， 综上可知，的大小为或． 【点睛】本题考查了新定义——二倍关联角，利用分类讨论的思想，找准角度之间的数量关系是解题关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$