专题02 直角三角形中的边角关系（考题猜想，易错必刷32题13种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期鲁教版

专题02 直角三角形中的边角关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 求三角函数值 · 网格中求三角函数值 · 利用特殊角的三角函数值计算 · 利用三角函数值判断角度大小 · 利用三角函数值判断三角形形状 · 用计算器求三角函数值 · 直接解直角三角形 · 构造辅助线解直角三角形 · 三角函数与其他图形综合 · 三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角 · 三角函数的实际应用（2）--方向角 · 三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度 · 三角函数的实际应用（4）--与实物体结合 1． 求三角函数值（共3小题） 1. （2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 2. （24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：根据已知，，不妨设，则， 故． 故选：B． 3. （2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 2． 网格中求三角函数值（共2小题） 4. （20-21九年级上·北京昌平·期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（   ）   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意连接BD可知，进而利用勾股定理得出BD和CD，最后即可得出tan∠ACB的值． 【详解】解：如图，连接BD， 根据图象可知， 则有， 所以． 故选：D． 5．（22-23九年级上·山东菏泽·期末）如图，、、三点在正方形网格的格点上，若将绕点A逆时针旋转得到，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据旋转的性质得出，根据勾股定理得出，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了求余弦，旋转的性质，掌握余弦的定义是解题的关键． 3． 利用特殊角的三角函数值计算（共4小题） 6. （24-25九年级上·山东济宁·期中）（1）计算：； （1）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算， （1）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据特殊角的三角函数值进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 7. （24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值的混合运算，将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值． （1）先依据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂化简，然后按照实数的混合运算顺序计算即可． （2）将特殊角的三角函数值代入，然后按照实数的混合运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9. （24-25九年级上·山东泰安·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数计算即可． 【详解】解： ． 4． 利用三角函数值判断角度大小（共3小题） 10. （23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 11. （23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 12. （22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：当时，， ∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，以及锐角的正弦值随着角度的增大而增大，是解题的关键． 5． 利用三角函数值判断三角形形状（共2小题） 13. （22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）锐角中，，则的形状是 . 【答案】等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键． 14. （22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 6． 用计算器求三角函数值（共2小题） 15. （24-25九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了计算器－三角函数．简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【详解】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：    故选：A． 16. （24-25九年级上·山东烟台·期中）用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用计算器算三角函数的方法．掌握计算器的按键顺序是解题的关键．根据用计算器算三角函数的方法：先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果． 【详解】解：先按键“”，再输入依次角的度数、 、、、、，按键“”即可得到结果． 故选：A． 7． 直接解直角三角形（共2小题） 解2个直角三角形常见思路：①利用公共边设未知数，用勾股定理; ②利用三角函数值. 17. （24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，于点，，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)的长为； (2)的长为． 【分析】（）由，则，通过，则，求出即可； （）由，则，通过，则，求出，然后由勾股定理得，最后用线段和差即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 由（）得：， ∴， ∴的长为． 18. 如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 8． 构造辅助线解直角三角形（共2小题） 构造辅助线常见思路：①作高; ②延长；③作平行 19. （22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，求的长．    【答案】 【分析】过作于，则，在中，由，，求得，，根据三角形的内角和得到，在中，根据，再根据即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ， 又∵在△ABC中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，三角形内角和．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 20. （23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 9． 三角函数与其他图形综合（共3小题） 21. （2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，全等三角形的性质，设中，，，，根据，可得，设，可得，，进而可得，问题随之得解． 【详解】设中，，，， ∴，， ∵， ∴，即， 设， ∴，， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的面积之比为：， 故选：B． 22. （24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点的坐标为，点是轴上的定点，将绕点逆时针旋转后，点与点重合，则旋转前点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据旋转的性质可得，，由此可得，再由锐角三角函数的定义得出，由勾股定理得出，过点作轴，垂足为，由锐角三角函数的定义得的长，即可得出结论． 【详解】解：已知点的坐标为， ， 绕点逆时针旋转后，点与点重合， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作轴，垂足为， ， ， 即， ， 即， ， 旋转前点的坐标是． 故选：A． 23. （24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，线段的垂直平分线l交边于点E．设，，则y与x的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜中线定理、中垂线定理、正切的定义等知识点，综合运用这些性质和定理是解题的关键． 如图：连接，再证明可得求得BD2，再根据求得x与y的关系式即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵l是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． 故答案为：． 10． 三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角（共2小题） 24. （2024九年级上·全国·专题练习）研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据． 数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．首先过点作于点，于点，构造矩形，根据、斜坡的斜面坡度，可以求出、的长度，根据在点处测得塔顶的仰角为，可以求出的长度，就是双塔的高度． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 可得四边形为矩形， ，． 斜坡的斜面坡度， ， ， ， 又， ，， ， ， 在中， ，， ， ． 答：双塔的高度是． 25. （24-25九年级上·陕西西安·期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．          国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为，然后沿直线向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为，求小雁塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键． 由题意易得，，然后可设，则有，，进而根据三角函数可建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 设，则有， ∴在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 答：小雁塔的高度的． 11． 三角函数的实际应用（2）--方向角（共2小题） 26. （24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设，为该岛的东西两端点）最近距离为海里（即海里）．在点测得岛屿的西端点在点的东北方向；航行海里后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东方向，（其中，，在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】钓鱼岛东西两端点之间的距离为海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中得出海里，进而求得海里，在解 ，求得，即可求解． 【详解】解：在中，， 海里， 海里，            在中，海里． ∴ （海里） ∴（海里）． 答：钓鱼岛东西两端点之间的距离为海里. 27. （24-25九年级上·重庆万州·期中）“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号） (2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【答案】(1)米 (2)小华先到达终点处 【分析】（1）过点作，交于点，设水平线为，根据坡度比求出，进而易得的长度，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解； （2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小华所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，设水平线为， 如下图． ，的坡度为， 则, ． 点在的正北方向， ， ， ． ， ， ， ，， ． 地在地北偏东方向上， ， ， ， ． （2）解：过点作于点，过点作于点，如下图 地在地北偏东方向上， ． 由（1）可知，， ． ，， ， ， ． ， ， ． 地在地北偏西方向上， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟）， 小华到终点所用的时间为（分钟）． ， 小华先到达终点处． 【点睛】本题考查了坡度比，方位角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，作出图形是解答关键． 12． 三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度（共3小题） 28. （24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为的山坡爬了300米到达处，紧接着又爬了坡角为的山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 【答案】大蜀山的高度约为284米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题．过点作于，过点作于，于，根据正弦的定义可以分别求出和的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案． 【详解】解：过点作于，过点作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，， 则（米）， 在中，， 则（米）， （米）， 答：大蜀山的高度约为284米． 29. （24-25九年级上·山东烟台·期中）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为2米，支架的长为4米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是多少米？（精确到米；参考数据：，，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形和锐角三角函数，等腰三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据题意可得，即，在由平角可得，即可求得，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，即可求出的值，从而求出的长，再根据，可得的长，即可根据，求得吊车的吊臂顶端点距地面的高度的米数． 【详解】解：如图，由题可知，，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米． 30. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为． (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，， 【答案】(1)坡顶B到地面的距离的长15米 (2)古塔的高度约为29米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）根据题意可得：，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， 解得：， 米，米， 答：坡顶到地面的距离的长15米； （2）解：延长交于点， 由题意得：，米， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米）， ， ， 解得：， （米）， 答：古塔的高度约为29米． 三角函数的实际应用（4）--与实物体结合（共2小题） 31. （24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键； （1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 延长，交于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 答：线段的长度为． 32. （24-25九年级上·山东烟台·期中）为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图       说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，．     ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． $$专题02 直角三角形中的边角关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 求三角函数值 · 网格中求三角函数值 · 利用特殊角的三角函数值计算 · 利用三角函数值判断角度大小 · 利用三角函数值判断三角形形状 · 用计算器求三角函数值 · 直接解直角三角形 · 构造辅助线解直角三角形 · 三角函数与其他图形综合 · 三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角 · 三角函数的实际应用（2）--方向角 · 三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度 · 三角函数的实际应用（4）--与实物体结合 1． 求三角函数值（共3小题） 1. （2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 2. （24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 3. （2024九年级下·全国·专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 2． 网格中求三角函数值（共2小题） 4. （20-21九年级上·北京昌平·期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（   ）   A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·山东菏泽·期末）如图，、、三点在正方形网格的格点上，若将绕点A逆时针旋转得到，则的值为（　　） A． B． C． D． 3． 利用特殊角的三角函数值计算（共4小题） 6. （24-25九年级上·山东济宁·期中）（1）计算：； （1）计算：． 7. （24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）计算： 8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）计算 (1) (2) 9. （24-25九年级上·山东泰安·期中）计算： 4． 利用三角函数值判断角度大小（共3小题） 10. （23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 11. （23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12. （22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 5． 利用三角函数值判断三角形形状（共2小题） 13. （22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）锐角中，，则的形状是 . 14. （22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 6． 用计算器求三角函数值（共2小题） 15. （24-25九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 16. （24-25九年级上·山东烟台·期中）用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 7． 直接解直角三角形（共2小题） 17. （24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，于点，，，． (1)求的长； (2)求的长． 18. 如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 8． 构造辅助线解直角三角形（共2小题） 19. （22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在△ABC中，，，，求的长．    20. （23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 9． 三角函数与其他图形综合（共3小题） 21. （2024·江苏无锡·一模）如图是我国古代数学家赵爽创造的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．若的度数为，且满足，则正方形与正方形的面积之比为（    ）    A． B．13 C．5 D． 22. （24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点的坐标为，点是轴上的定点，将绕点逆时针旋转后，点与点重合，则旋转前点的坐标是（   ） A． B． C． D． 23. （24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，线段的垂直平分线l交边于点E．设，，则y与x的关系式为 ． 10． 三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角（共2小题） 24. （2024九年级上·全国·专题练习）研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据． 数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号） 25. （24-25九年级上·陕西西安·期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．          国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为，然后沿直线向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为，求小雁塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 11． 三角函数的实际应用（2）--方向角（共2小题） 26. （24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设，为该岛的东西两端点）最近距离为海里（即海里）．在点测得岛屿的西端点在点的东北方向；航行海里后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东方向，（其中，，在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点之间的距离．（结果保留根号） 27. （24-25九年级上·重庆万州·期中）“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号） (2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 12． 三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度（共3小题） 28. （24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为的山坡爬了300米到达处，紧接着又爬了坡角为的山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 29. （24-25九年级上·山东烟台·期中）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为2米，支架的长为4米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是多少米？（精确到米；参考数据：，，，，） 30. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底A处测得该塔的塔顶C的仰角为，在坡顶B处测得该塔的塔顶C的仰角为． (1)求坡顶B到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，， 三角函数的实际应用（4）--与实物体结合（共2小题） 31. （24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 32. （24-25九年级上·山东烟台·期中）为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图       说明 如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） $$