7.1.1条件概率的性质及应用学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

条件概率的性质及应用 课标要求　1.掌握概率的乘法公式，并能解决一些简单的实际问题. 2.理解条件概率的性质，会利用条件概率的性质求解概率. 【引入】 P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以借助公式P(B|A)＝或缩小样本空间求条件概率，其中P(AB)与P(B|A)有什么区别与联系呢？ 一、概率的乘法公式 【知识梳理】 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝____________. 温馨提示　推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A). 例1 (链接教材P47例2)(1)某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________. (2)一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求： ①第一次取得白球的概率； ②第一、第二次都取得白球的概率； ③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　利用乘法公式解题的一般步骤 (1)首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解； (2)根据已知条件表示出各事件的概率P(A)，P(B|A)； (3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求出概率. 训练1 10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先抽，乙后抽，求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签而乙抽到难签的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、互斥事件的条件概率 探究 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记A表示“第一枚出现4点”，B表示“第二枚出现5点”，C表示“第二枚出现6点”. (1)求P(B|A)与P(C|A). (2)若已知第一枚出现4点，求第二枚出现大于4点的概率. (3)根据前面的计算，你能有什么发现？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 条件概率具有概率的性质：设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝________； (2)若B和C是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝________________； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝________. 温馨提示　(1)若事件A与B互斥，则P(AB)＝0，P(B|A)＝0. (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和. 例2 在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球(不放回)，在第一个球是红球的条件下，求第二个球是黄球或黑球的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求条件概率，应注意这个性质使用的前提是“B与C互斥”. 2.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，再用加法公式. 训练2 (链接教材P48例3)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【课堂达标】 1.已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝(　　) A. B. C. D. 2.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，发出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为(　　) A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72 3.若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，则P(B∪C|A)＝________. 4.袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，依次不放回抽样2次，每次抽取一球，则第二次才能取到黄球的概率为________. 条件概率的性质及应用 知识梳理 P(A)P(B|A) 例1　(1)0.4　[由题意，记“射中第一个目标”为事件A， “射中第二个目标”为事件B， 则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5， ∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4. 即这个选手过关的概率为0.4.] (2)解　设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则＝“第一次取得黑球”，由题意，得 ①P(A)＝＝. ②P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. ③P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 训练1　解　记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签，则 (1)P(A)＝＝. (2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. (3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 探究　(1)提示　P(B|A)＝，P(C|A)＝. (2)提示　P(B∪C|A)＝＝. (3)提示　若B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). 知识梳理 (1)1　(2)P(B|A)＋P(C|A)　(3)1－P(B|A) 例2　解　法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C， 则P(A)＝，P(AB)＝＝， P(AC)＝＝. ∴P(B|A)＝＝＝＝， P(C|A)＝＝＝. ∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) ＝＋＝， ∴所求的概率为. 法二　∵n(A)＝1×C＝9， n(B∪C|A)＝C＋C＝5， ∴P(B∪C|A)＝， ∴所求的概率为. 训练2　解　设Ai＝“第i次按对密码”(i＝1，2)， 则A＝A1∪1A2表示“不超过2次就按对密码”. (1)因为事件A1与事件1A2互斥， 由概率的加法公式得 P(A)＝P(A1)＋P(1A2) ＝＋＝. (2)设B＝“最后一位是偶数”， 则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B) ＝＋＝. 课堂达标 1.C　[P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.] 2.D　[记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，P(B|A)＝ ∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.] 3.　[∵B与C互斥，P(B|A)＝， P(C|A)＝， ∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝.] 4.　[记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C， 所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A) ＝×＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $$