7.1.1条件概率学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

条件概率 课标要求　1.结合古典概型，了解条件概率的定义. 2.了解事件的独立性与条件概率的关系. 3.能计算简单随机事件的条件概率. 【引入】 集市上，有这样一个游戏很受孩子们的喜欢，游戏规则是：袋中有两个球，一个白球，一个黑球，从袋中每次随机摸出1个球，若已知第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱.你觉得这个游戏公平吗？摊主会不会赔钱？ 一、条件概率的概念 探究1 抛掷一枚质地均匀的硬币两次. (1)两次都是正面向上的概率是多少？ (2)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 温馨提示　(1)P(B|A)与P(A|B)意义不同，由条件概率的定义可知P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的条件概率；而P(A|B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的条件概率. (2)P(B|A)与P(AB)，P(A)三者互不相同，P(B|A)是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A与B同时发生的概率，P(A)是事件A的概率，P(B|A)与P(B)不一定相等. 例1 判断下列哪些是条件概率： (1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率； (2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率； (3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取一张，已知抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的. 2.在条件概率的定义中，事件B在“事件A已经发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件下的概率是不同的.这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一件事在此条件下发生的概率. 训练1 下列是条件概率的是(　　) A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B.有10件产品，其中3件次品，依次不放回地抽取2件产品进行检验，在抽到一件次品的情况下，第2次抽到次品的概率 C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 二、随机事件的条件概率 例2 (链接教材P46例1)现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 迁移 本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)； (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生. 2.利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点. (3)算：利用古典概型求P(B|A)＝，n(AB)与n(A)是缩小样本空间的计数. 训练2 (1)投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为奇数”，B＝“两次的点数之和为4”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. (2)现从3名男医生和4名女医生中任选两人加入医疗队，用事件A表示“选中的两名医生性别相同”，事件B表示“选中的两名医生都是女医生”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、事件的独立性与条件概率 探究2 如果P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，那么事件A与B是否相互独立？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3 盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中不放回地各抽取1张，记“甲中奖”为事件A，“乙中奖”为事件B. (1)求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B)； (2)事件A与B是否相互独立，说明理由. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　判断两个事件是否独立的方法： (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响； (2)定义法：当P(AB)＝P(A)P(B)时，事件A，B相互独立； (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断. 训练3 已知事件A，B相互独立，且P(A)＝0.8，则P(A|B)＝(　　) A.0.2 B.0.8 C.0.16 D.0.25 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【课堂达标】 1.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 2.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 3.有5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________. 4.已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为________. 条件概率 探究1　(1)提示　两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{正正，正反，反正，反反}，其中两次都是正面向上的事件记为B，则B＝{正正}，故P(B)＝. (2)提示　将第一次出现正面向上的事件记为C，则C＝{正正，正反}，那么，在C发生的条件下，B发生的概率为.在事件C发生的条件下，事件B发生的概率产生了变化. 知识梳理 例1　解　由条件概率定义可知(1)(3)是条件概率，(2)不是条件概率. 训练1　B　[由条件概率的定义知B为条件概率.] 例2　解　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n(Ω)＝A＝30， 由分步乘法计数原理，n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A)＝＝＝. 法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 迁移　解　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. 法一　易知P(A)＝， P(AC)＝＝＝， ∴P(C|A)＝＝. 法二　∵n(A)＝AA＝20， n(AC)＝AA＝8， 所以P(C|A)＝＝＝. 训练2　(1)C　(2)C　[(1)由题意知，事件A包含的样本点是(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个， 在A发生的条件下，事件B包含的样本点是(1，3)，(3，1)，共2个， 所以P(B|A)＝. (2)根据古典概型的概率公式 P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝.] 探究2　提示　①若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0， 则P(B)＝P(B|A)＝， 则P(AB)＝P(A)·P(B)， 所以事件A与B相互独立； ②若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)， ∴P(B|A)＝ ＝＝P(B). 因此若P(A)>0时，当且仅当A与B相互独立，有P(B|A)＝P(B). 例3　解　(1)P(A)＝＝， P(B)＝＋＝， P(AB)＝＝， P(A|B)＝＝×＝. (2)法一　∵P(A|B)＝≠P(A)， ∴事件A与B不相互独立. 法二　∵P(AB)＝≠P(A)P(B)， ∴事件A与B不相互独立. 训练3　B　[由A与B相互独立， 知P(AB)＝P(A)·P(B). ∴P(A|B)＝＝ ＝P(A)＝0.8.] 课堂达标 1.A　[依题意P(A)＝，P(AB)＝， 所以P(B|A)＝＝＝.] 2.B　[P(A)＝＝， P(AB)＝＝， 由条件概率定义，得P(B|A)＝＝.] 3.　[设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B， P(A)＝，P(AB)＝＝， 则P(B|A)＝＝.] 4.　[设事件A为“猫的寿命超过10岁”，事件B为“猫的寿命超过12岁”. 依题意有P(A)＝0.9，P(B)＝P(BA)＝0.6. 则一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为P(B|A)＝＝＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $$