精品解析：福建省宁德市古田县2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

古田县2024－2025学年第一学期期中九年级质量检测 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 方程的根是 （ ） A. B. ， C. D. ， 2. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 3. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ） A. 5个 B. 10个 C. 15个 D. 25个 4. 已知m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点E，F是菱形边的中点，，则菱形的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（ ） A. 2x2=9.5 B. 2（1+x）=9.5 C. 2（1+x）2=9.5 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 9. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 四边形ABCD是面积为1的正方形；点P为正方形内一点，且为正三角形，那么的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 将一元二次方程配方为的形式为______． 12. 如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为______． 13. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是_______． 14. 如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______． 15. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为______．（结果保留根号） 16. 如图，在正方形中，点分别在边延长线上，且，连结交于点，与边分别交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③在不添加辅助线和其它字母的前提下，与一定相似的三角形共有6个； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是_________． 三、解答题（共9题，86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 19. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 20. 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 21. 如图，现有一物体CD在路灯AB的灯泡（图上点A处）的照射下，影子顶端正好落在墙脚的点Q处.已知路灯AB距物体CD 7.5m，物体CD的高为3m，其影子长为5m.假如另有一高6m的物体EF在路灯AB与物体CD之间，EF距路灯AB 2.9m，问物体EF的影子是否会落在墙PQ上. 22. 在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． （1）连接．说明四边形为菱形； （2）求的长． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量m（件）与每件售价n（元）之间符合一次函数关系． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 24. 阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； （3）拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 25. 【问题发现】 （1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 古田县2024－2025学年第一学期期中九年级质量检测 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 方程的根是 （ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再化为两个一次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：D 2. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴==， 故选：D 3. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有（ ） A. 5个 B. 10个 C. 15个 D. 25个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据概率公式进行计算，设袋中白球约有个，根据概率公式列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：设袋中白球约有个， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴袋中白球约有10个， 故选：B． 4. 已知m是方程的一个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，可知，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， 整理，可得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式求值，理解一元二次方程的根的定义是解题关键． 5. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：该锥形瓶的主视图的底层是等腰梯形，上层是矩形， 故选：A． 6. 如图，点E，F是菱形边的中点，，则菱形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 由三角形中位线定理得，再由菱形的性质得，在中，用勾股定理求出，因此，即可根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”解决问题． 【详解】解：连接交于O，如图所示： ∵E、F是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，不能推断，故本选项符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 8. 某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（ ） A. 2x2=9.5 B. 2（1+x）=9.5 C. 2（1+x）2=9.5 D. 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 【答案】D 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元即可得出方程． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x 则2014的教育经费为：2（1+x）万元， 2015的教育经费为：2（1+x）2万元， 那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 9. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定性质，由平行四边形的性质可得，，，即得，，得到，又由得到，进而可得，即可判断；由，，可得，即得，进而由相似三角形的性质可得，即得，，即可判断；由可判断；由可得，即得，又由可得，即可得，进而得到，据此即可判断；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项错误； ∵， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 故选：． 10. 四边形ABCD是面积为1的正方形；点P为正方形内一点，且为正三角形，那么的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过P作PE⊥CD，PF⊥BC，再根据等边三角形及正方形的性质得出∠PBC及∠PCE的度数，再根据锐角三角函数的定义求出PF及PE的长，再根据S△BPC=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD即可求出答案． 【详解】过P作PE⊥CD，PF⊥BC， ∵ABCD是面积为1的正方形，△BPC为正三角形， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1， ∴∠PCE=30° ∴PF=PB×sin60°=1×=,PE=PC⋅sin30°=12， S△BPD=S四边形PBCD−S△BCD=S△PBC+S△PDC−S△BCD =×1×+×1×−×1×1= 故答案为B. 【点睛】本题考查等边三角形及正方形的性质，解题的关键是掌握三角形面积公式及等积变换. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 将一元二次方程配方为的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解方程，掌握配方法的步骤是解本题的关键，先把方程化为，再进一步解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比为， 这两个三角形的周长之比为， 设两个三角形的周长分别为，， 又这两个三角形的周长的和是， ， 解得， 故较小的三角形的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键． 13. 已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】k≤4且k≠0 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0， 即k≤4， 原方程为一元二次方程， k≠0， 综上：k的取值范围是k≤4且k≠0 故答案为k≤4且k≠0． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的应用，掌握“方程有两个实数根，则”是解题的关键. 14. 如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______． 【答案】8m 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得；即，代入数据可得答案． 【详解】解：如图：过点C作， 由题意得：△EFC是直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；即， 由题意得：， ∴， （负值舍去）， 故答案为：8m． 【点睛】本题考查了相似三角形应用，通过投影的知识结合三角形的相似． 15. 如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割（）．已知，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求出，再利用线段和差计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，点分别在边延长线上，且，连结交于点，与边分别交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③在不添加辅助线和其它字母的前提下，与一定相似的三角形共有6个； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质，利用证明，判断①，全等三角形的性质，推出，判断②，相似三角形的判定，判断③，等积法求出的长，平行线分线段成比例求出的长，线段的和差关系求出的长，判断④即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴；故①正确； ∴， ∴，即：， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故在不添加辅助线和其它字母的前提下，与一定相似的三角形共有9个，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题（共9题，86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）移项后用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 则或， 解得； 【小问2详解】 解：方程中， ， ， ∴， ∴． 18. 如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答． 【详解】解：， ， ∴， ， ∴， ． 19. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 【答案】（1） 如图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位似图形是解题关键． （1）依据点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【小问1详解】 解：位似中心为点，位似比，已知，，， ∴对应点的坐标分别是，，， 连接点， 【小问2详解】 解： 由（1）知， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ， ， ∴， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 20. 2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）144 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解； （3）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查学生总人数：（名）， 的人数（名）， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：C“科技类”所对应的圆心角度数是， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 21. 如图，现有一物体CD在路灯AB的灯泡（图上点A处）的照射下，影子顶端正好落在墙脚的点Q处.已知路灯AB距物体CD 7.5m，物体CD的高为3m，其影子长为5m.假如另有一高6m的物体EF在路灯AB与物体CD之间，EF距路灯AB 2.9m，问物体EF的影子是否会落在墙PQ上. 【答案】物体EF的影子会落在墙PQ上. 【解析】 【分析】先由题得到，再根据相似三角形的性质得到.假设墙FQ不存在，连接AE并延长交地面于点，由相似三角形的判定得到，再根据相似三角形的性质，结合题意得到答案. 【详解】∵，∴，∴，即. 解得.假设墙FQ不存在，连接AE并延长交地面于点（如图所示），则线段为物体EF的影子.由于，∴，∴，即，解得. ∵（m），∴，物体EF的影子会落在墙PQ上. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质. 22. 在矩形中，，，E、F分别是上两点，并且垂直平分，垂足为O． （1）连接．说明四边形为菱形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵垂直平分，垂足为O． ∴，． 在和中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出．根据线段垂直平分线的性质，得出，，即易证，得出，从而即可证明； （2）根据菱形的性质可设，则，结合勾股定理即可求出x的值，即得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则． 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销修，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，该泥塑每月的销售量m（件）与每件售价n（元）之间符合一次函数关系． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务一：7月份到9月份制作泥塑数的月平均增长率为；任务二：该泥塑的售价应定为50元件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：设7月份到9月份制作泥塑数的平均增长率为x，利用9月份制作泥塑数=该车间7月份制作泥塑数该车间4月份到6月份制作泥塑数的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于n的一元二次方程，解之可得出n的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】解：任务1：设7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：7月份到9月份制作泥塑数的月平均增长率为． 任务2：该泥塑每件的售价为n元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又尽可能让顾客得到实惠， ． 该泥塑的售价应定为50元/件． 24. 阅读材料，解答问题： 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，， 例：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数a，b满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数m，n满足：，，求的值； （3）拓展应用： 已知a，b，c满足，，求正整数c的最小值． 【答案】（1）， （2）2或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二方程的解以及根与系数的关系． （1）由题意可知a、b是方程的两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得，； （2）由题意可知分两种情况，或时，m、n可看作方程的两根，分别计算原式的值即可； （3）由已知得，故a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式计算出c的取值范围，取最小正整数即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵m，n满足， 当时，原式， 当时，m、n可看作方程的两根， ∴， ∴原式， 综上，的值为2或； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵， ∵正整数， ∴，即． ∴正整数c的最小值为3． 25. 【问题发现】 （1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 【答案】（1）BP=CE， 理由如下：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAE=60°， 又∵△PAE是等边三角形， ∴AP=AE，∠PAE=60°， ∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC， ∴∠BAP=∠EAC， ∴△ABP≌ACE（SAS） ∴BP=CE； （2），理由如下： 如图，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°， ∴， ∴， ∵△APE为等腰直角三角形，∠APE=90°， ∴∠PAE=45°， ∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC， ∴∠BAP=∠CAE， ∴△BAP∽△CAE， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明△ABC是等边三角形，得到AP=AE，∠PAE=60°，然后证明△ABP≌ACE即可得到答案； （2）连接AC，只需要证明△BAP∽△CAE即可得到，由此求解即可； （3）连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，证明△AFP≌△PGE，PG=AF=2，EG=FP，然后利用勾股定理求出GE的长即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G， ∵四边形ABCD是正方形，， ∴，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°， ∴ ∴∠FAP+∠AFP=90°， 又∵△APE是等腰直角三角形， ∴AP=EP，∠APE=90°， ∴∠APF+∠EPG=90°， ∴∠FAP=∠EPF， 又∵∠AFP=∠EGP=90°， ∴△AFP≌△PGE（AAS）， ∴PG=AF=2，EG=FP， 设FP=GE=x，则BG=BF+FP+PG=4+x， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $