专题10一次函数与方程（组）、不等式（组）的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题10一次函数与方程（组）、不等式（组）的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01一次函数与一元一次方程的综合应用 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 【例1-3】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点E，F，点A的坐标为，是第二象限内的直线l上的一个动点． (1)求点E，F的坐标． (2)当点P运动到什么位置时，的面积为12？并求出此时点P的坐标． (3)在点P运动过程中，试写出的面积S与点P的横坐标x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【变式1-3】（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【问题提出】 小明在学习一次函数后，对形如（其中为常数，且）的一次函数产生了兴趣，于是对它的图像和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明已经分别画出了函数，，的图像． 请你先完成下侧列表，然后再描点、连线在图中画出函数的图像． x 0 1 y 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图像的观察、思考，你发现（为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______． 【总结经验】 (3)类比上述探究结果，推理函数（其中为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______． 【实践运用】 (4)已知一次函数（为常数，且）的图像一定过点，且与轴相交于点，若的面积为2，求出的值． 题型02一次函数与二元一次方程的综合应用 【典例分析】 【例2-1】（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【例2-3】（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，过点的直线：与直线：交于点，其中．求直线的表达式． 【变式演练】 【变式2-1】（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23八年级上·山西太原·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与x轴的交点为C． (1)求一次函数的表达式． (2)求的面积． (3)结合函数图象，直接写出方程组的解． 题型03一次函数与不等式的综合应用 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【例3-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 题型04一次函数与方程(组)或不等式(组)的综合应用 【典例分析】 【例4-1】（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（21-22八年级·山东青岛·期末）如图，直线与轴交于点，与直线相交于点．则关于的不等式组的解集是 ． 【例4-3】（22-23七年级下·山东东营·期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点，，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：      (1)关于x的方程的解是_______；关于x的方程的解是________； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)请直接写出关于x的不等式组的解集． (4)求的面积． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线 和分别与x轴交于点A，点B，则不等式组的解集为（　　）． A． B． C．或 D． 【变式4-2】（22-23八年级·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为 ．    【变式4-3】（22-23八年级·安徽淮南·期末）如图，直线分别交x轴，y轴于两点，直线分别交y轴，x轴于，B两点，直线相交于点E，已知点E的横坐标为4．    (1)方程组的解是 ，不等式组的解集是 ； (2)求直线与x，y轴围成的四边形的面积． 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数（，为常数且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．关于x，y的方程组的解为 D． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 二、填空题 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，方程组的解为 ． 6．（21-22八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知直线与直线的图象如图所示，且方程组的解为点B的坐标为，你能确定这两个一次函数的表达式吗？ 8．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)直接写出不等式的解集：______ (3)求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10一次函数与方程（组）、不等式（组）的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01一次函数与一元一次方程的综合应用 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 【例1-2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与关于的一元一次方程的解的关系．一次函数与关于的一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，据此即可得出本题答案． 【详解】解：∵由一次函数的图象交x轴于点， ∴关于的一元一次方程的解就是． 故答案为：． 【例1-3】（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点E，F，点A的坐标为，是第二象限内的直线l上的一个动点． (1)求点E，F的坐标． (2)当点P运动到什么位置时，的面积为12？并求出此时点P的坐标． (3)在点P运动过程中，试写出的面积S与点P的横坐标x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2)第二象限， (3) 【分析】（1）把，，分别代入中，即可求解； （2）根据点A的坐标可得，再根据，求得点P的纵坐标，再把纵坐标代入函数即可求解； （3）利用三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴当点P运动到第二象限，的面积为12，此时点P的坐标为； （3）解：∵点在第二象限内的直线上， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、三角形的面积，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【问题提出】 小明在学习一次函数后，对形如（其中为常数，且）的一次函数产生了兴趣，于是对它的图像和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明已经分别画出了函数，，的图像． 请你先完成下侧列表，然后再描点、连线在图中画出函数的图像． x 0 1 y 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图像的观察、思考，你发现（为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______． 【总结经验】 (3)类比上述探究结果，推理函数（其中为常数，且）的图像一定会经过的点的坐标是______． 【实践运用】 (4)已知一次函数（为常数，且）的图像一定过点，且与轴相交于点，若的面积为2，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、画函数图像、一次函数与方程的关系等知识点，掌握一次函数图象与系数的关系是解题关键． （1）先描点，然后再连线即可画出函数图像； （2）将代入解析式求解即可． （3）将代入解析式求解即可． （4）根据一次函数解析式求出点N及点A坐标，然后再求面积即可． 【详解】（1）解：由，列表如下： x 0 1 y 4 2 画出函数图像如下： （2）解：将代入可得， ∴函数的图像一定经过． 故答案为：． （3）解：将代入可得：, ∴函数的图像一定经过， 故答案为：． （4）解：将代入可得：， ∴点N坐标为， 将代入可得：， ∴点A坐标为， ∴， ∴，解得：或． 题型02一次函数与二元一次方程的综合应用 【典例分析】 【例2-1】（2024八年级上·甘肃兰州·专题练习）如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：函数与的图象交于点， 所以关于x，y的方程组的解为． 故选C． 【例2-2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，已知一次函数和的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系．观察图象得：一次函数与的图象交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：观察图象得：一次函数与的图象交于点， ∴二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【例2-3】（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，过点的直线：与直线：交于点，其中．求直线的表达式． 【答案】 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，将交点代入直线，求出点C的坐标，利用点B，C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式． 【详解】解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， 把点代入：得， 解得：， ∴， 将点，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为： 【变式演练】 【变式2-1】（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 【变式2-2】（22-23八年级上·山西太原·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解 【变式2-3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与x轴的交点为C． (1)求一次函数的表达式． (2)求的面积． (3)结合函数图象，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，两直线围成三角形面积，一次函数与二元一次方程组，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系． （1）将点代入，求出，得到．把、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，， ， 把和代入一次函数， 得， 解得，； 一次函数解析式是； （2）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，得，解得， 点， ， ， 的面积； （3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 方程组的解为． 题型03一次函数与不等式的综合应用 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据图象解答即可． 【详解】解：∵直线交坐标轴于， ∴不等式的解集为． 故选D． 【例3-2】（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象与不等式的解集，合理分析图象是解题的关键． 根据图象分析解答即可． 【详解】解：∵根据图象进行对比可得：， ∴把，代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【例3-3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知直线与轴相交于点，与轴相交于点，直线与直线相交于点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：利用数形结合的思想，通过比较两函数图象的高低确定不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）把代入直线中可得到的值，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）结合函数图象，找出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， 解得； 把，代入直线得， 解得，， 直线的函数表达式为； （2）当时，， 关于的不等式的解集为 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，掌握一次函数与不等式之间的关系是关键． 【详解】解：∵直线经过点和点，直线过点， ∴点是直线与直线的交点， ∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时，则的取值范围为， 不等式的解集为， 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标；根据直线过点，，判断出函数的增减性，即可写出不等式的解集． 【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 直线过点，， 直线随x的增大而减小， 当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：，． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数和的图像如图所示，且，． (1)关于的方程的解为_________；关于的不等式的解集为_________； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 即关于的方程的解为； ∵， ∴当时，， ∴不等式的解集为； 故答案为：4； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 题型04一次函数与方程(组)或不等式(组)的综合应用 【典例分析】 【例4-1】（20-21八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线经过点和点，直线过点A，则不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据题意可得解不等式组的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴点， 根据题意得：与交点为， 解不等式组的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分， 又， 此时自变量x的取值范围是． 即不等式组的解集为：． 故选：B． 【例4-2】（21-22八年级·山东青岛·期末）如图，直线与轴交于点，与直线相交于点．则关于的不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】利用函数图像写出直线在直线上方所对应的自变量的取值范围，然后确定直线的解集为，最后确定不等式的解集即可． 【详解】解：根据图像可知，当，， ∴关于x的不等式解集为， 当，， ∴关于x的不等式解集为， 该不等式的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用，解题关键是利用数形结合的思维分析问题． 【例4-3】（22-23七年级下·山东东营·期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点，，，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：      (1)关于x的方程的解是_______；关于x的方程的解是________； (2)请直接写出关于x的不等式的解集； (3)请直接写出关于x的不等式组的解集． (4)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）利用直线与x轴交点即为时，对应x的值，进而得出答案； （2）利用两直线交点坐标，结合图象得出答案； （3）根据函数图像分别解不等式，再取公共部分即可； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵一次函数和的图象，分别与轴交于，， ∴关于的方程的解是； 关于的方程的解是； （2）∵一次函数和的图象交于点 ∴根据图象可以得到：关于的不等式的解集为； （3）根据图象可以得到：关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为 ∴关于的不等式组的解集为； （4）∵，， ∴ ∴的面积． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线 和分别与x轴交于点A，点B，则不等式组的解集为（　　）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集．根据图象求解即可． 【详解】解：解：∵直线 和分别与x轴交于点A，点B， ∴的解集为， 故选B． 【变式4-2】（22-23八年级·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为 ．    【答案】 【分析】把点代入得，即得点的坐标，把点代入，得的值，再把代入不等式组即可求解不等式组的解集． 【详解】解：把点代入，得即点， 把点代入，得， 把代入不等式组得， 解不等式组得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题关键是如何利用代入法求的值． 【变式4-3】（22-23八年级·安徽淮南·期末）如图，直线分别交x轴，y轴于两点，直线分别交y轴，x轴于，B两点，直线相交于点E，已知点E的横坐标为4．    (1)方程组的解是 ，不等式组的解集是 ； (2)求直线与x，y轴围成的四边形的面积． 【答案】(1)， (2)11 【分析】(1)利用待定系数法求得直线的解析式，得到点E的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此利用数形结合即可求解； (2)先求得点，，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于两点， ∴，解得， ∴直线， ∵点E的横坐标为4，且在直线上， ∴， ∴点， ∴方程组的解是， 同理，可求得直线的解析式为， 令，则； ∴点， 不等式组的解集是； 故答案为：，； （2）解：对于直线， 令，则；令，则； ∴点，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解决该题型题目时，充分利用数形结合是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）一次函数（，为常数且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象，得当即时，，根据方程解的定义，判定是方程的解． 本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握其关系是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得当即时，，根据方程解的定义，得是方程的解． 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．先将点代入，求出，即可确定方程组的解． 【详解】解：将点代入， 得， 关于x，y的方程组的解为 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．关于x，y的方程组的解为 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系，借助数形结合思想逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、观察图象知，当时，直线在直线的上方，则，故结论错误； B、观察图象知，当时，，故结论正确； C、关于x，y的方程组的解是一次函数与的图象的交点坐标，由图象知，两直线交于点，则方程组的解为，故结论正确； D、由图象知，两直线与y轴交点在x轴正半轴上，即，所以，故结论正确； 故选：A． 4．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是解为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．由图象可得直线与直线相交于点即可判断选项A；由图象可得的解集为，由图象可得的解集为，即可判断选项B；求出的解集是，当时，，即可判断选项C；由图象可得方程组的解为，即可判断选项D． 【详解】解：A．由图象可得直线与直线相交于点， ∴方程的解是， 故选项错误，不符合题意； B．由图象可得的解集为， 由图象可得的解集为， ∴不等式和不等式的解集不相同， 故选项错误，不符合题意； C．将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 由图象可知，的解集是， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴当时，， ∴不等式组的解集是， 故选项正确，符合题意； D．∵直线与直线相交于点P， ∴方程组的解为， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组交点问题． 根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案． 【详解】解：直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 6．（21-22八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】根据交点在一次函数上，可以求出点的坐标，结合图象能算出不等式的解集，再算出的解集，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：将代入一次函数得， ，解得， ∴ ∴的解集为：， ∵， ∴ 所以不等式的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，以及一次函数与一元一次方程组的关系问题，求出点的坐标是本题的关键 三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知直线与直线的图象如图所示，且方程组的解为点B的坐标为，你能确定这两个一次函数的表达式吗？ 【答案】能确定，这两个一次函数的表达式为和 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，同时考查了用待定系数法求一次函数的表达式． 把的代入方程组，把B的坐标代入，运用待定系数法即可求出两个一次函数的表达式． 【详解】解：把代入方程组得 由①得， ∵点B在上， ∴， ∴， ∴， ∴这两个一次函数的表达式为和． 8．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)直接写出不等式的解集：______ (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)2.5 【分析】本题考查了两条直线相交问题、一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的有关性质和利用数形结合的思想是解题的关键． （1）将点P代入求得点P坐标，再将点B和点P代入即可求解； （2）观察函数图像可知，在点左侧且在店A的右侧时，，即可求解； （3）四边形的面积为的面积减去的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线得， ，即， 再将点和代入直线得， ，解得， 直线l1：； （2）解：把代入，得， ∴． 根据图像可得：当时，． 故答案为：； （3）解：将代入直线得，即， 将代入直线l2得，即，， 由（1）得， 四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$